解方程：一步、两步和两边都有未知数的一元一次方程

三张公园门票加 5 元停车费，一共花了 41 元，你想知道一张门票多少钱。这句话就是方程 3x + 5 = 41。学会解方程，它就变成两行计算：先去掉停车费，再把剩下的钱平均分成三份，所以一张门票 12 元。同样的几招，能解孩子从小学高年级到初一带回家的所有一元一次方程，从一步方程、两步方程，到两边都有未知数的方程。

“解方程”是什么意思？

解方程，就是求出使方程左右两边相等的未知数的值，这个值叫作方程的解。x + 7 = 15 的解是 8，因为 8 + 7 = 15，换成别的数都不行。OpenStax《Prealgebra》把方程的解定义为“代入方程后能使等式成立的未知数的值”。

天平是方程最直观的样子。左边秤盘放着 3x + 2，右边放着 14，天平平衡，因为两边一样重。每个标着 x 的盒子里，都藏着同样多的小方块。

两边各拿走 2 个方块，天平依然平衡：三个盒子对 12 个方块。再把两边都平均分成三份，一个盒子对 4 个方块，所以 x = 4。检验一下：3 × 4 + 2 = 14。

两件事：撤掉运算，保持平衡

解方程归根到底是两件事。第一件，按相反的顺序撤掉对 x 做过的运算。在 3x + 5 里，x 先乘 3，再加 5，所以先撤掉 5，再撤掉 3，这正是把运算顺序倒过来走一遍。

第二件，保持平衡。国内课本叫“等式的性质”，OpenStax 把其中一条写作等式的减法性质：对任意数 a、b、c，如果 a = b，那么 a − c = b − c。加上同一个数、乘同一个数、除以同一个不为 0 的数，也都一样，所以你对一边做什么，就要对另一边做什么。

解方程怎么解：一步一步来

五个步骤能解任何一元一次方程。简单的方程可以跳过几步，但顺序从来不变。

1. 化简两边。 去括号、合并同类项，两边分别做，所以 2(x − 4) 变成 2x − 8。
2. 把含 x 的项移到同一边。 两边同时加上或减去一个含 x 的项，直到 x 只出现在一边。初中课本把这一步叫“移项”：把一项从等号一边移到另一边，要改变符号。OpenStax 建议把 x 留在系数较大的一边，计算通常更简单。
3. 撤掉加减。 含 x 的项加了一个数，两边就同时减去它；减了一个数，两边就同时加上它。
4. 撤掉乘除。 两边同时除以 x 前面的系数；如果 x 被一个数除，两边就同时乘这个数。
5. 代入检验。 把答案代回原方程，分别算出两边。两边相等，就做完了。

用上面的门票题，把步骤标出来：

• 3x + 5 = 41（没有要化简的，x 也已经只在一边）
• 3x = 36（第 3 步：两边同时减 5）
• x = 12（第 4 步：两边同时除以 3）
• 检验：3 × 12 + 5 = 36 + 5 = 41

带括号的方程要用到第 1 步。2(x − 4) = 10 去括号得 2x − 8 = 10，两边加 8 得 2x = 18，再除以 2 得 x = 9。检验：2 × (9 − 4) = 2 × 5 = 10。

也可以先两边同时除以 2，得到 x − 4 = 5，同样得出 x = 9。美国教育科学研究院（IES）给代数教师的实践指南建议教学生有意识地在不同的代数解法之间做选择，比较这两条路，就是这种选择的一个小例子。

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最容易错的地方

大多数错答，来自只对一边做了运算。在 3x + 5 = 41 里只把左边减 5，右边的 41 不动，就会得到 3x = 41 和 x = 41 ÷ 3，这个答案过不了检验。每次都在两边下面写出做了什么运算，直到养成习惯。

符号错误是第二个陷阱。在 5x − 2 = 3x + 10 里，−2 在左边，所以两边要加 2；如果减 2，就会得到 2x = 8 和 x = 4，检验时左边是 18，右边是 22。

一步方程、两步方程和两边都有 x 的方程对比

一元一次方程常见的有三种样子，样子决定了第一步怎么走。对比表里每一行的答案都代入检验过。

两边都有 x 的那一行完整写出来：5x − 2 = 3x + 10 变成 2x − 2 = 10，再变成 2x = 12，最后 x = 6。检验：5 × 6 − 2 = 28，3 × 6 + 10 = 28。

哪个年级学哪种方程

国内把方程放在初中。教育部《义务教育数学课程标准（2022年版）》在第三学段（五、六年级）要求“根据具体情境理解等式的基本性质”，并探索用字母表示数量关系；到第四学段（七至九年级）要求“掌握等式的基本性质；能解一元一次方程”，还要“能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性”。现行不少小学教材在五年级上学期有“简易方程”单元，初一上学期再系统学习一元一次方程。

美国按共同核心州立数学标准，六年级学一步方程：6.EE.B.7 要求列出并解 x + p = q 和 px = q 形式的方程。七年级 7.EE.B.4a 学 px + q = r 和 p(x + q) = r 形式的两步方程，八年级 8.EE.C.7 学一般的一元一次方程，包括需要用分配律去括号、合并同类项的方程，两边都有未知数的方程就在这里出现。

解方程的实用窍门

每一步单独写一行，是最有用的习惯。等号上下对齐，在两边旁边写出这一步做的运算，哪一行出了错就一目了然。

• 互逆的运算： 加法和减法互为逆运算，乘法和除法互为逆运算，两个方向都成立。
• 系数是负数： 7 − 2x = 13 两边减 7 得 −2x = 6，两边除以 −2 得 x = −3。检验：7 − 2 × (−3) = 7 + 6 = 13。除以负数的规则见负数讲解。
• 只有一个解： 一边只有一个含 x 的项的一元一次方程，只有一个解，所以算出第二个“解”，说明哪里出了错。

分数和生活中的问题

x 被一个数除的方程，用乘法解。四个朋友 AA 制，每人付 9 元，账单就是 x/4 = 9，两边乘 4 得 x = 36 元。这类方程和比例很接近，见比的讲解。

大人在生活中碰到两步方程的次数，比自己意识到的多。出租车起步价 10 元，之后每公里 2 元，这趟一共 26 元：2m + 10 = 26，所以 2m = 16，m = 8 公里。

手机套餐每月 25 元，开卡时另交 40 元，一共已经付了 190 元：25m + 40 = 190，所以 25m = 150，m = 6 个月。把一句话变成方程是另一门本事，数学应用题怎么做讲了怎么做。

怎么检查解方程学得怎么样

解方程的进步，体现在五个几分钟就能测出来的信号上，不管你是检查孩子作业的家长，还是重新学代数的大人。

• 代入： 不用提醒，每个答案都自己检验吗？美国标准 6.EE.B.5 要求学生用代入法判断一个数能不能使方程或不等式成立。
• 第一步： 给出 6x + 4 = 40，动笔之前能说出“先减 4”吗？解是 x = 6。
• 两边： 每一行都在两边做了同样的运算吗？
• 括号： 3(x + 2) = 21 能用两种方法解吗？先除得 x + 2 = 7，先去括号得 3x + 6 = 21，最后都是 x = 5。
• 从文字到方程： 能列出并解出“5 本练习本和一支 4 元的笔一共 29 元”吗？方程是 5n + 4 = 29，所以每本 n = 5 元。

五分钟小测

对比表里每一行各出一道方程，五分钟就知道该练哪一类。一步方程都对、却做错 5x − 2 = 3x + 10 的人，需要练第 2 步，把 x 移到一边。卡在 4x = 28 的人，缺的是除法口诀，求因数游戏能很快补上。

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常见错误和特殊情况

解方程时，大多数错答出自四种错误，每种都有一个快速的纠正办法。

• 去括号只乘第一项： 2(x − 4) 是 2x − 8，不是 2x − 4。从 2 画箭头指向括号里的每一项。
• 先除后减： 在 3x + 5 = 41 里先除，就要把包括 5 在内的每一项都除以 3，会出现分数。先撤掉加减。
• 漏掉负数解： 4x + 20 = 8 得 4x = −12，x = −3。解是负数完全没问题，检验 4 × (−3) + 20 = 8 证实了它。
• 除以负数时变号： −3x = 15 得 x = −5，因为 15 ÷ (−3) = −5。你记得的“要变方向”说的是不等式，不是方程。

x 消失了：无解还是有无数个解

有些方程化简着化简着，x 就完全没了，剩下的那一行告诉你答案。美国标准 8.EE.C.7a 要求学生把方程逐步化简，直到得到 x = a、a = a 或 a = b 这样的形式，再判断属于哪种情况。

2x + 1 = 2x + 3 两边同时减 2x，剩下 1 = 3，不成立，所以方程无解。2(x + 1) = 2x + 2 去括号得 2x + 2 = 2x + 2，减去 2x 剩下 2 = 2，永远成立，所以任何数都是它的解。

解方程检查清单和下一步

• 化简： 去括号，两边分别合并同类项。
• 移项： 把含 x 的项都移到一边，最好是系数较大的那一边。
• 撤掉加减： 两边同时加上或减去同一个数。
• 撤掉乘除： 两边同时除以或乘 x 的系数。
• 检验： 代入原方程，比较两边。
• 特殊情况： 剩下 1 = 3 这样不成立的式子，方程无解；剩下 2 = 2 这样总成立的式子，有无数个解。

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