平方根の意味とルートの計算：求め方と見当のつけ方

中3のお子さんが√50で手が止まり、電卓の7.0710678という答えもどこから出てきたのか分からない。平方根は新しい計算に見えますが、2乗を逆にたどるだけで、九九から生まれる平方数がほとんどの答えをにぎっています。そのつながりが分かれば、ルートの計算を手でして、数秒で確かめられます。

平方根とは？

平方根は、2乗する（同じ数を2回かける）ともとの数になる数です。7 × 7 = 49なので√49 = 7、10 × 10 = 100なので√100 = 10です。√は根号といい、「ルート」と読みます。√49は「ルート49」と読みます。

OpenStaxの初等代数は「2乗するとmになる数を、mの平方根という」と1行で定義しています。2乗することと平方根を求めることは、かけ算とわり算のように、たがいに逆の計算です。2乗のほうは累乗（指数）の解説で説明しています。

図にすると、つながりが目に見えます。49枚のタイルでできた正方形は、1辺に7枚並んでいます。つまり、面積の平方根が1辺の長さです。

平方数：1から15までの2乗

平方数は、整数を2乗してできる数です。平方数の平方根は整数なので、平方数を1つ覚えれば平方根も1つ覚えたことになります。

最初の9つは九九の「いんいちがいち」から「くくはちじゅういち」まで、同じ数どうしの答えそのものです。イングランドの算数・数学の学習プログラムも5年目に「平方数と立方数、2乗（²）と3乗（³）の記号を知って使う」ことを求めています。九九を早く覚える方法がここでも役に立ちます。

ルートの求め方を順番に

平方根は4つの手順で求めます。平方数かどうかを見る、前後の平方数ではさむ、見当をつける、2乗して確かめる、です。√50で考えましょう。

1. 平方数かどうかを見る。 平方数の表にあれば、答えを思い出します。√144 = 12です。50は表にないので、次に進みます。
2. 前後の平方数を見つける。 50は49 = 7²と64 = 8²の間にあるので、√50は7と8の間です。
3. 距離から見当をつける。 50は49より1大きく、64より14小さいので、√50は7にずっと近い数です。49から64までの差は15なので、7 + 1/15、およそ7.07がよい最初の予想です。
4. 2乗して確かめる。 7.07 × 7.07 = 49.9849で、50に近い数です。電卓では√50 ≈ 7.0711なので、見当は小数第2位まで合っています。

どんな整数でも同じ4つの手順が使えます。√30なら、前後の平方数は25と36なので、平方根は5と6の間のまん中より少し下で、5.5 × 5.5 = 30.25がそれを裏づけます。

ブラウザで無料で遊ぶ平方数小4〜小6

つまずきやすいところ：和の平方根

和の平方根は、平方根の和ではありません。√(9 + 16) = √25 = 5ですが、√9 + √16 = 3 + 4 = 7です。根号の中を先に計算してから、平方根をとります。

OpenStaxも例を2つ並べて同じことを示しています。1つは先にそれぞれの平方根をとってからたし、もう1つは根号の中で先にたしてから平方根をとっています。かけ算なら分けられて、√(4 × 9) = √36 = 6、√4 × √9 = 2 × 3 = 6です。

平方根の4つの求め方をくらべる

平方根の求め方は、思い出す、見当をつけて確かめる、素因数分解、電卓の4つです。それぞれ向いている数と、学校で使う時期がちがいます。

素因数分解が使えるのは、平方数ではどの素数も偶数回ずつ出てくるからです。324 = 2² × 3⁴なので、√324 = 2 × 3² = 18で、18 × 18 = 324で確かめられます。因数の木のかき方は素数の解説にあり、そこでわり切れるかを調べるのがその数の平方根まででよいのも、同じ理由です。

何年生でどの方法を使うか

どの求め方を先に使うかは学年で決まります。最初は思い出す方法で、平方数は小2の九九から始まっています。

日本では平方根を中3で学びます。中学校学習指導要領は第3学年で「数の平方根の必要性と意味を理解すること」と「数の平方根を含む簡単な式の計算をすること」を求めています。素因数分解は中1で、「自然数を素数の積として表すこと」を扱います。

アメリカでは8年生で学び、州共通基礎スタンダード 8.EE.A.2が「小さな平方数の平方根を求める」ことと「√2が無理数であることを知る」ことを求めています。スタンダード8.NS.A.2は、小数を切り捨てて√2が1と2の間、さらに1.4と1.5の間にあることを示す見当のつけ方もあげています。電卓は最後に、見当を確かめる道具として使います。

平方根を身につける練習のこつ

平方数がすぐ出てくるようになると、平方根も身につきます。15²まで、高校の数学に進むなら20²まで覚えましょう。平方数のゲームで毎日5分練習すると、13² = 169や14² = 196が計算せずに出てくるようになります。

一の位をふるいに使いましょう。平方数の一の位は0、1、4、5、6、9のどれかで、2、3、7、8で終わる平方数はありません。

この一の位のきまりで、47、83、572はひと目で平方数でないと分かります。ただし、ふるいにかけるだけです。26は6で終わりますが、平方数ではありません。

平方根を暗算と結びつけましょう。50 × 50 = 2,500なので√2,500 = 50、同じ理由で√1,600 = 40です。この種類の工夫は本当に使える暗算のこつにもっとあります。

ブラウザで無料で遊ぶ九九小3〜

練習のきまり：答えをいつも2乗する

答えを2乗することは、平方根の間違いをすべて見つけられるただ1つの習慣です。√196が13になったら、13 × 13 = 169で間違いに気づき、14 × 14 = 196で正しい答えが分かります。言われなくても確かめるようになるまで、宿題の1問ごとに確かめてもらいましょう。

平方根が身についたかを確かめるには

5つのサインで、平方根が分かっているかどうかが分かります。どれも1分もかかりません。

• 思い出す： √121、√169、√225を聞きます。11、13、15がそれぞれ3秒以内に出てくれば十分です。
• はさむ： √90はどの2つの整数の間にあるかを聞きます。81 < 90 < 100なので、9と10の間です。
• 見当： √65を小数第1位まで聞きます。65は64より1大きいので、およそ8.1が正解です。
• 根号の中の和： √(36 + 64)を出します。答えは10で、14と答えたら先に平方根をとっています。
• 理由： √0.25 = 0.5になるのはなぜかを聞きます。「0.5 × 0.5 = 0.25だから」なら分かっていて、「半分だから」ではまだです。

5分の確認

5分の確認は、種類ごとに1問ずつまぜ、数を変えて週に2回くり返します。答えだけでなく確かめも見ます。√50 ≈ 7.07と書いて2乗し49.98と確かめる生徒は、平方根が分かっています。6年生向けの算数ゲームのページには、2乗や累乗につながる学年の練習があります。

平方根でよくある間違いとまぎらわしい場合

平方根の誤答のほとんどは5つの間違いから来ていて、どれも1行で直せます。

• √16 = 8： 半分にしています。答えを2乗すると8 × 8 = 64なので、平方根は4です。
• √(9 + 16) = 7： たす前に平方根をとっています。先にたして√25 = 5です。
• √50 = 25： 大きな数での同じ「半分」の間違いです。50を49と64の間に置きます。
• √2 = 1.414ちょうど： √2は無理数なので、√2 ≈ 1.414と書きます。1.414 × 1.414 = 1.999396です。
• √49 = ±7： 根号は1つの答えだけを表します。√49 = 7で、負の平方根は−√49 = −7と書きます。

負の数には注意が必要です。7 × 7も(−7) × (−7)も49なので、49には平方根が2つあり、日本の中学校では「49の平方根は±7」と答えます。√の記号はそのうち正のほうを選びます。OpenStaxも「根号√は正の平方根を表す」とはっきり書いています。

負の数の平方根

負の数には実数の平方根がありません。どんな実数も、2乗すると0か正の数になるからです。OpenStaxは「2乗すると−169になる実数はない」と書いていて、√−4にも実数の答えはありません。負の数どうしをかけると正になる理由は、負の数の解説で説明しています。

平方根のチェックリストと次の一歩

• 平方数を覚える： 1²から15²まで、最後は225。
• 数をはさむ： 前後の平方数を見つける。
• 距離で見当をつける： 小さいほうの平方数に近ければ、平方根も小さいほうの整数に近い。
• 根号の中を先に： √(a + b)を√a + √bに分けない。
• 答えを2乗する： 10秒の確かめで、どんな間違いも見つかる。

イングランドのカリキュラムは中学段階でさらに進み、「平方根の正確な表し方と小数による近似値を区別する」ことを求めています。これは√2と1.414のちがいで、上の5つの習慣がその準備になります。

MathIt は iOS と Android の無料アプリで、約90種類のゲームがあり、一人ひとりに合わせて難しさが変わり、毎日練習できます。やさしい平方数が正しく答えられてから、むずかしい平方数に進みます。平方数のゲームをふくむ22種類のゲームは、登録なしでブラウザで無料で遊べます。