Cómo sacar la raíz cuadrada de un número: métodos y ejemplos

Tu hijo de 1.º de ESO (12 a 13 años) se ha atascado con √50, y el resultado de la calculadora, 7,0710678, parece salido de la nada. La raíz cuadrada suena a operación nueva, pero es elevar al cuadrado al revés, y los cuadrados de las tablas de multiplicar guardan casi todas las respuestas. Cuando esa relación está clara, puedes sacar una raíz cuadrada a mano y comprobarla en segundos.

¿Qué es la raíz cuadrada?

La raíz cuadrada de un número es el valor que da ese número al multiplicarlo por sí mismo. √49 = 7 porque 7 × 7 = 49, y √100 = 10 porque 10 × 10 = 100. El signo √ se llama radical, y √49 se lee «raíz cuadrada de 49».

El libro de texto OpenStax Prealgebra da la definición en una línea: «un número cuyo cuadrado es m se llama raíz cuadrada de m». Elevar al cuadrado y sacar la raíz cuadrada se deshacen la una a la otra, igual que la multiplicación y la división. La guía de potencias cubre la mitad del cuadrado.

Un dibujo hace concreta la relación. Un cuadrado de 49 baldosas tiene 7 baldosas en cada lado, así que la raíz cuadrada de un área es la longitud del lado.

Los cuadrados perfectos: los 15 primeros

Los cuadrados perfectos son los resultados de multiplicar un número entero por sí mismo. Sus raíces cuadradas son números enteros, así que cada cuadrado perfecto es también un resultado de raíz cuadrada.

En España, el currículo de Educación Primaria de la LOMLOE (Real Decreto 157/2022) incluye en el tercer ciclo, 5.º y 6.º de primaria (10 a 12 años), la «potencia como producto de factores iguales. Cuadrados y cubos». El currículo nacional de matemáticas de Inglaterra pide en Year 5 (9 a 10 años) «reconocer y usar los números cuadrados y cúbicos, y la notación del cuadrado (²) y del cubo (³)». Las diez primeras columnas salen directamente de las tablas de multiplicar, y por eso la guía de cómo aprender las tablas de multiplicar rápido también rinde aquí.

Cómo sacar la raíz cuadrada paso a paso

La raíz cuadrada se saca en cuatro pasos: comprobar si es un cuadrado perfecto, situar el número entre dos cuadrados perfectos, estimar y comprobar elevando al cuadrado. Toma √50 como ejemplo resuelto.

1. Pregúntate si es un cuadrado perfecto. Si el número está entre los cuadrados perfectos, recuerda la raíz: √144 = 12. El 50 no está en la lista, así que sigue.
2. Busca los dos cuadrados perfectos que lo rodean. El 50 está entre 49 = 7² y 64 = 8², así que √50 está entre 7 y 8.
3. Estima a partir de las distancias. El 50 está 1 por encima de 49 y 14 por debajo de 64, así que √50 está mucho más cerca de 7. Del 49 al 64 hay 15, así que una buena primera estimación es 7 + 1⁄15, unos 7,07.
4. Comprueba elevando al cuadrado. 7,07 × 7,07 = 49,9849, que está cerca de 50. La calculadora da √50 ≈ 7,0711, así que la estimación acierta en dos decimales.

Los mismos cuatro pasos sirven para cualquier número entero. Para √30, los vecinos son 25 y 36, así que la raíz está entre 5 y 6, un poco por debajo de la mitad, y 5,5 × 5,5 = 30,25 lo confirma.

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El fallo más común: la raíz de una suma

La raíz cuadrada de una suma no es la suma de las raíces cuadradas. √(9 + 16) = √25 = 5, mientras que √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Calcula primero todo lo que hay bajo el radical y después saca la raíz.

OpenStax lo muestra con una pareja de ejemplos resueltos: «en ⓐ sacamos primero cada raíz cuadrada y luego las sumamos. En ⓑ sumamos primero bajo el radical y luego hallamos la raíz cuadrada». La multiplicación sí se separa, así que √(4 × 9) = √36 = 6 y √4 × √9 = 2 × 3 = 6.

Cuatro formas de sacar la raíz cuadrada, comparadas

Las cuatro formas de sacar la raíz cuadrada son recordarla, estimar y comprobar, descomponer en factores primos y usar la calculadora. Cada una encaja con un número distinto y con un momento distinto del colegio.

La descomposición en factores primos funciona porque en un cuadrado perfecto cada primo aparece un número par de veces. 324 = 2² × 3⁴, así que √324 = 2 × 3² = 18, y 18 × 18 = 324 lo confirma. La guía de los números primos enseña a hacer el árbol de factores, y su prueba de divisibilidad se detiene en la raíz cuadrada del número por la misma razón.

Qué método en cada curso

El curso decide qué método de raíz cuadrada va primero. Recordar va primero, porque los cuadrados llegan al final de primaria con las tablas de multiplicar y la notación ².

En España, el currículo de la ESO (Real Decreto 217/2022) incluye de 1.º a 3.º de ESO (12 a 15 años) las «relaciones inversas entre las operaciones (adición y sustracción; multiplicación y división; elevar al cuadrado y extraer la raíz cuadrada)». En Estados Unidos, las raíces cuadradas llegan en 8.º grado (13 a 14 años): el estándar Common Core 8.EE.A.2 pide «calcular raíces cuadradas de cuadrados perfectos pequeños» y «saber que √2 es irracional».

El estándar 8.NS.A.2 añade la estimación: «truncando el desarrollo decimal de √2, mostrar que √2 está entre 1 y 2, luego entre 1,4 y 1,5». La descomposición en factores primos encaja en 7.º y 8.º grado, y la calculadora llega al final, como comprobación de una estimación.

Consejos prácticos para que las raíces cuadradas se queden

Las raíces cuadradas se quedan cuando los cuadrados salen solos, así que apréndelos hasta 15², y hasta 20² si tu hijo va camino del álgebra. Cinco minutos al día con el juego de los números cuadrados hacen que 13² = 169 y 14² = 196 salgan sin hacer la cuenta.

Usa la última cifra como filtro. Un cuadrado perfecto solo termina en 0, 1, 4, 5, 6 o 9, así que nunca termina en 2, 3, 7 u 8.

La regla de la última cifra descarta 47, 83 y 572 de un vistazo. La regla solo filtra: 26 termina en 6 y aun así no es un cuadrado.

Relaciona las raíces con el cálculo mental. √2500 = 50 porque 50 × 50 = 2500, y √1600 = 40 por la misma razón. La guía de trucos de cálculo mental que funcionan tiene más atajos de este tipo.

Juega gratis en el navegadorTablas de multiplicar3.º de primaria y +

Una norma práctica: eleva siempre el resultado al cuadrado

Elevar el resultado al cuadrado es el hábito que detecta cualquier raíz cuadrada equivocada. Si √196 salió 13, entonces 13 × 13 = 169 muestra el despiste, y 14 × 14 = 196 muestra la corrección. Pide la comprobación en cada ejercicio de deberes hasta que tu hijo la haga sin que se lo pidas.

Cómo comprobar los avances con las raíces cuadradas

Cinco señales muestran si las raíces cuadradas tienen sentido, y cada una lleva menos de un minuto.

• Recordar: Pide √121, √169 y √225. Las respuestas 11, 13 y 15 deben llegar en menos de tres segundos cada una.
• Situar: Pregunta entre qué dos números enteros está √90. La respuesta es 9 y 10, porque 81 < 90 < 100.
• Estimar: Pide √65 con un decimal. Unos 8,1 es correcto, porque 65 está 1 por encima de 64.
• Sumas bajo el radical: Propón √(36 + 64). La respuesta es 10, y 14 significa que se sacaron primero las raíces.
• El porqué: Pregunta por qué √0,25 = 0,5. «Porque 0,5 × 0,5 = 0,25» muestra la idea; «porque es la mitad» no.

Una prueba de cinco minutos

Una prueba de cinco minutos mezcla una pregunta de cada tipo y se repite dos veces por semana con números nuevos. Puntúa la comprobación además del resultado: un alumno que escribe √50 ≈ 7,07 y lo eleva al cuadrado hasta 49,98 entiende las raíces. La página del juego de matemáticas para sexto reúne práctica para el curso en que se juntan los cuadrados y las potencias.

Errores frecuentes con la raíz cuadrada y casos límite

Cinco errores explican la mayoría de las raíces cuadradas equivocadas, y cada uno tiene un remedio de una línea.

• √16 = 8: Se ha dividido el número entre 2. Eleva el resultado al cuadrado: 8 × 8 = 64, así que la raíz es 4.
• √(9 + 16) = 7: Se sacaron las raíces antes de sumar. Suma primero: √25 = 5.
• √50 = 25: El mismo despiste de la mitad con un número mayor. Sitúa el 50 entre 49 y 64.
• √2 = 1,414 exactamente: √2 es irracional, así que escribe √2 ≈ 1,414; 1,414 × 1,414 = 1,999396.
• √49 = ±7: El signo radical da un solo resultado. Escribe √49 = 7, y −√49 = −7 para la raíz negativa.

Los números negativos piden cuidado. Tanto 7 × 7 como (−7) × (−7) dan 49, así que el 49 tiene dos raíces cuadradas, y el signo √ elige la positiva, llamada raíz cuadrada principal. OpenStax lo dice sin rodeos: «el signo radical, √, indica la raíz cuadrada positiva».

Raíces cuadradas de números negativos

Un número negativo no tiene raíz cuadrada real, porque cualquier número real multiplicado por sí mismo da cero o un número positivo. OpenStax dice que «no hay ningún número real cuyo cuadrado sea −169», así que √−4 no tiene respuesta real. La guía de los números negativos explica por qué menos por menos da más, que es la razón de esta regla.

Tu lista de comprobación de la raíz cuadrada y siguientes pasos

• Sabe los cuadrados: de 1² a 15² de memoria, con 225 como el último.
• Sitúa el número: busca los cuadrados perfectos de debajo y de encima.
• Estima por la distancia: más cerca del cuadrado menor significa más cerca de la raíz menor.
• Opera primero bajo el radical: √(a + b) nunca se separa en √a + √b.
• Eleva el resultado al cuadrado: la comprobación lleva diez segundos y detecta cualquier despiste.

El currículo de Inglaterra lleva las raíces más lejos en Key Stage 3 (11 a 14 años), donde se pide «distinguir entre las representaciones exactas de las raíces y sus aproximaciones decimales». Esa es la línea entre √2 y 1,414, y los cinco hábitos de arriba preparan para ella.

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