素数をやさしく解説：見分け方と、どこで役に立つのか

お子さんが、どれが素数かを選ぶプリントを持って帰ってきて、9と51に丸をつけ、2には手をつけていない。素数は簡単に見えますが、91のような数が出てきたとたんに当てずっぽうが始まります。素数の決まりは1つだけで、100までの数ならおよそ1分で片がつく短い調べ方があります。

素数とはどんな数ですか？

素数とは、1より大きい整数で、約数が1とその数自身しかない数です。合成数はそれ以外に約数をもつので、同じ数を等しいグループに分ける分け方が2通り以上あります。

おはじきを並べると目に見えます。7個は7個1列にしか並びませんが、12個は1 × 12、2 × 6、3 × 4と並べられます。

50までの素数は2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47です。15個しかないので、九九と同じように見た瞬間に分かるようにしておく値打ちがあります。

2は偶数でただ1つの素数です。ほかの偶数はどれも1と自分自身のほかに2を約数にもち、約数が3つ以上になるので合成数です。

1が素数ではない理由

1は素数でも合成数でもありません。約数が1つしかないからです。決まりは異なる約数がちょうど2つあることを求めていて、1はそのうち1つしか用意できません。

数学者は1をわざと外しています。1より大きい整数はどれも素数の積にただ1通りに分かれ、これを算術の基本定理と呼びます。1を素数に入れてしまうと、12は2 × 2 × 3とも、1 × 2 × 2 × 3とも、1 × 1 × 2 × 2 × 3とも書けてしまい、「ただ1通り」が意味を失います。

理由を聞かれたお子さんには、こう答えてあげてください。素因数分解が1通りのままでいられるように、1は外してある。

素数は学校の算数や社会のどこに出てきますか？

素数は、小学校の算数の「約数と倍数」の柱を支えています。アメリカの州共通基礎スタンダード 4.OA.B.4は4年生に「1から100までの整数について、かけ算になる数の組をすべて見つける」ことと「1から100までの整数が素数か合成数かを判断する」ことを求めています。

イギリスは同じ内容を5年目に置いています。イングランドの算数・数学のナショナルカリキュラムは「100までの数が素数かどうかを確かめ、19までの素数を覚える」ことを求めます。

日本の並びは少し違います。小学校学習指導要領は第5学年に「約数、倍数について知ること」を置き、用語として最大公約数と最小公倍数を挙げますが、「素数」という語は小学校には出てきません。素数が正式に登場するのは中学1年で、中学校学習指導要領は第1学年の用語・記号に「自然数　素数」を並べ、内容の取扱いで「自然数を素数の積として表すことを取り扱うものとする」と定めています。つまり日本の小学生にとって素数は、約数の学習の一歩先にある話で、先に見せておくと中学の入口が軽くなります。

学校の外では、ネット決済が他人に読まれないでいられる理由が素数です。公開鍵暗号はとても大きな素数を2つかけ合わせて、その積だけを公開します。安全さは、その積を元の2つに戻すのがどれほど大変かに寄りかかっています。

約数や分数とのつながり

素因数分解は、分数を約分する道具です。だから分数の計算より先に来ます。84/126を約分するには、両方を素数に分けます。84 = 2 × 2 × 3 × 7、126 = 2 × 3 × 3 × 7。共通する素数は2 × 3 × 7 = 42なので、84 ÷ 42 = 2、126 ÷ 42 = 3、つまり84/126 = 2/3です。

日本では、この最大公約数で割るやり方そのものが第5学年の「約分」で、学習指導要領は最大公約数を形式的に求めることに偏らず、場面に即して扱うよう求めています。倍数のゲームは同じ関係を反対側から、つまりある数の倍数がどこまで届くかという形で練習します。

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素数かどうかを調べる手順

100までの数は、2、3、5、7のどれでも割り切れなければ素数です。この4回の確認で120までは足ります。次の素数11が最初に効いてくるのは11 × 11 = 121だからです。

1. 0と1と2を先に片づける。 0と1は素数でも合成数でもなく、2は素数、3から先の偶数はすべて合成数です。
2. 2で割る。 nrichの割り切れるかどうかの見分け方によれば「一の位が偶数なら、その数は2で割り切れる」ので、下1けたが0、2、4、6、8なら外れます。
3. 3で割る。 各位の数をたします。その和が3の倍数なら、元の数も3の倍数です。51なら和は6で、51 = 3 × 17。57なら和は12で、57 = 3 × 19です。
4. 5で割る。 一の位が0か5なら5で割り切れます。ひと目で済みます。
5. 7で割る。120をこえたら11でも割る。 どちらもひと目の見分け方がないので、実際に割って整数になるか見ます。91が捕まるのはここで、91 ÷ 7 = 13です。
6. 元の数をこえたら止める。 いま試している割る数を2回かけた値が元の数をこえたら、もう見つかる約数は残っていません。その数は素数です。

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どこで止めるか：平方根

止める位置の決まりは、調べる手間を短くします。素数だと示すには、その数の平方根までの数で割ってみれば足ります。平方根より大きい約数があるなら、組になるもう一方は平方根より小さいので、そちらに先に出会っているはずだからです。

97で試します。10 × 10 = 100は97をこえているので、確認は10より下で終わり、残るのは2、3、5、7だけです。どれでも割り切れないので、97は素数です。なお「平方根」という語を習うのは中学3年なので、小学生には「その数を2回かけて元の数をこえたら止める」と言い換えてください。平方数のゲームは、どの2乗がどのあたりに来るかという感覚を育てます。

素数を見つける3つの方法：試し割り、エラトステネスのふるい、約数の組

素数を見つける方法は3つあります。試し割りは1つの数を決め、ふるいは一覧をまとめて作り、約数の組は合成数がなぜ合成数なのかを見せます。

どれを選ぶか

100までの素数を全部そろえたいなら、エラトステネスのふるいが勝ちます。1回のふるいで25個すべてが出てくるからです。1から100までを10 × 10の表に書き、1を消し、2に丸をつけてほかの2の倍数を消します。次に3に丸をつけてその倍数を消し、5と7でも同じことをします。

100までの表なら2、3、5、7の倍数を消すだけで足ります。次の素数11が、まだ消えていない数に最初に届くのは11 × 11 = 121だからです。最後まで残ったものが素数です。

決まりは言えるのに手ごたえがない子には、約数の組が合います。約数の組のゲームがその方法を扱います。24は合成数だと言われるより、1 × 24の隣に4 × 6が並ぶのを見るほうがずっと効きます。

素因数分解をやってみる

素因数分解は、ある数を素数の積で書き表すことです。1より大きい整数には、そういう積がちょうど1通りだけあります。84ならその積は2 × 2 × 3 × 7で、どの道を通っても変わりません。

1つ目の道は、入る中でいちばん小さい素数で割り続けるやり方です。84 ÷ 2 = 42、42 ÷ 2 = 21、21 ÷ 3 = 7、そして7は素数。割った数を読み上げると2 × 2 × 3 × 7、よく2² × 3 × 7と書かれます。

大きい数でも同じです。360 ÷ 2 = 180、180 ÷ 2 = 90、90 ÷ 2 = 45、45 ÷ 3 = 15、15 ÷ 3 = 5なので、360 = 2³ × 3² × 5です。

樹形図で分ける

樹形図は、その数を好きな2つの数の積に分け、さらにその2つを分け、どの枝の先も素数になるまで続けます。84を4 × 21から始めると、4 = 2 × 2、21 = 3 × 7となり、枝の先は2、2、3、7です。

同じ84を12 × 7から始めると、12 = 3 × 4、4 = 2 × 2となり、枝の先はやはり2、2、3、7です。木の形は変わるのに素数は変わりません。これが算術の基本定理を紙の上に描いたものです。お子さんに両方の木を作ってもらってください。2つの並びが一致した瞬間が、分かった瞬間です。

身についたかどうかを確かめるには

素数が身についたかどうかは、5つの合図で分かります。どれも1分もかかりません。

• 決まりを声に出して言えるか。 例を出さずに、素数とは何かを聞いてください。「約数がちょうど2つ、1と自分自身」なら正解、「割れない数」は不正解です。
• 例外を挙げられるか。 偶数に素数はあるかと聞きます。答えは2、2だけです。
• 50までの素数を30秒で。 順番に言ってもらいます。2から47までの15個で、1も9も入りません。
• 難しい数を、理由つきで判定できるか。 91を出して、答えと途中の計算を求めます。「7 × 13だから合成数」と答えられれば方法が身についています。「素数」と答える子は形だけで当てています。
• 分解して、かけ戻せるか。 60の素因数分解を聞き、次にそれをかけ戻してもらいます。2 × 2 × 3 × 5 = 60が出れば、行きと帰りの両方ができています。

5分でできる確認

長いテストより、5分の確認のほうが役に立ちます。アメリカの算数につまずく子どもを支えるための実践ガイド（What Works Clearinghouse）は、教師が「計算の流ちょうさを育てる手立ての1つとして、時間を区切った活動を定期的に取り入れる」ことをすすめています。

同じガイドは「明確で簡潔な数学の言葉を教える」ことも求めています。ここでは4つの言葉を正確に使うということです。素数、合成数、約数、倍数。約数と倍数を取り違える子は、考え方ではなく言葉でつまずいています。

わり算のゲームは、この手順が寄りかかっている暗算の土台を育てます。割り切れるかどうかの確認は、どれもわり算の問題だからです。

よくある間違いと、まぎらわしい数

6つの間違いで、素数のプリントの誤答のほとんどが説明できます。どれも一言で直せます。

• 1を素数にする。 1は約数が1つしかないので「ちょうど2つ」の決まりを満たさず、素数でも合成数でもありません。
• 2を合成数にする。 2は偶数でただ1つの素数です。「偶数は合成数」と覚えた子には、この例外をプリントの上に書いておいてあげてください。
• 0まで調べる。 0は素数でも合成数でもありません。0より大きいどの整数でも割り切れてしまうからです。
• 9や21を素数にする。 奇数であることと素数であることは別です。9 = 3 × 3、21 = 3 × 7。
• 51や57を素数にする。 どちらも各位の和で3の倍数だと分かります。51 = 3 × 17、57 = 3 × 19。
• 91を素数にする。 91は2でも3でも5でも割り切れないので、5で止める調べ方だと素数と判定されます。7で割ると13になり、91 = 7 × 13です。

負の数や分数はこの話の外です。素数と合成数は1より大きい整数について決めた言葉だからです。

素数のチェックリスト

• 決まりを言う。 約数がちょうど2つ、1と自分自身。
• 2を押さえる。 偶数でただ1つの素数で、一覧を半分にする例外。
• 順に確かめる。 2、3、5、7、120をこえたら11。
• 止める位置を守る。 割る数を2回かけて元の数をこえたら、その数は素数。
• 答えを確かめる。 素因数をかけ戻して、元の数と見比べる。

最後の2行は、説明より練習のほうが早く直ります。印刷できる小学4年生向けのかけ算プリントには答えもついていますし、九九を早く覚える方法は割り切れるかどうかの確認が頼っている暗算の層を扱います。学年ごとに身につけたい算数を読むと、素数が学習の流れのどこに座っているかが見えます。

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