Vad är roten ur ett tal, och hur räknar man ut det?

Roten ur ett tal, kvadratroten, är det tal som ger talet när det multipliceras med sig självt, så √49 = 7 eftersom 7 × 7 = 49. Om talet är ett kvadrattal plockar du fram svaret ur minnet. Annars placerar du talet mellan två kvadrattal, uppskattar och kontrollerar genom att kvadrera. Primtalsfaktorisering och miniräknare fungerar också.

Roten ur 64 är 8, eftersom 8 × 8 = 64. Talet 64 är ett kvadrattal, det åttonde i ordningen. Talet −8 ger också 64 när det kvadreras, men rottecknet √ betyder den positiva roten, så √64 = 8.

Roten ur 2 är ungefär 1,414, eftersom 1,414 × 1,414 = 1,999396. Roten ur 2 är irrationell: decimalerna tar aldrig slut och upprepar sig aldrig, så varje nedskrivet värde är en approximation. Common Core-standarden 8.EE.A.2 kräver att elever i årskurs 8 i USA vet att √2 är irrationell.

Roten ur 16 är 4, eftersom 4 × 4 = 16. Ett vanligt fel är att svara 8, vilket är 16 halverat. Att halvera och att dra roten ur ger samma svar bara för 0 och 4, där 4 : 2 = 2 och √4 = 2.

Kan en kvadratrot vara negativ?

Ett tal har en negativ kvadratrot utöver den positiva: 7 × 7 = 49 och (−7) × (−7) = 49. Rottecknet √ står bara för den positiva roten, så √49 = 7 och den negativa roten skrivs −√49 = −7. Ett negativt tal som −4 har ingen reell kvadratrot.

Roten ur: så räknar du ut en kvadratrot

Ditt barn i årskurs 7 har kört fast på √50, och miniräknarens svar 7,0710678 ser ut att komma från ingenstans. Roten ur låter som ett nytt räknesätt, men det är kvadrering baklänges, och kvadrattalen från gångertabellen rymmer nästan alla svar. När det sambandet sitter kan du räkna ut en kvadratrot för hand och kontrollera den på några sekunder.

Vad är en kvadratrot?

Kvadratroten ur ett tal är det tal som ger talet när du multiplicerar det med sig självt. √49 = 7 eftersom 7 × 7 = 49, och √100 = 10 eftersom 10 × 10 = 100. Tecknet √ kallas rottecken, och du läser √49 som ”roten ur 49”.

Läroboken Prealgebra från OpenStax ger definitionen på en rad: ett tal vars kvadrat är m kallas en kvadratrot ur m. Att kvadrera och att dra roten ur tar ut varandra på samma sätt som multiplikation och division gör. Guiden om potenser tar upp kvadreringshalvan.

En bild gör sambandet konkret. En kvadrat av 49 plattor har 7 plattor längs varje sida, så roten ur en area är sidans längd.

Fem kvadrater av plattor med 1, 4, 9, 16 och 25 plattor, var och en märkt med sin multiplikation, från 1 × 1 = 1 till 5 × 5 = 25, och sin kvadratrot, från √1 = 1 till √25 = 5.

Kvadrattal: de 15 första

Kvadrattal är resultaten när ett heltal multipliceras med sig självt. Deras kvadratrötter är heltal, så varje kvadrattal är också ett faktum om roten ur.

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
n²	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169	196	225

Den engelska läroplanen i matematik ber elever i Year 5 att känna igen och använda kvadrattal och kubiktal och skrivsätten ² och ³. De tio första raderna kommer direkt från gångertabellen, och därför lönar sig guiden om hur du lär dig gångertabellen snabbt även här.

Så räknar du ut roten ur, steg för steg

Roten ur ett tal räknar du ut i fyra steg: kontrollera om det är ett kvadrattal, placera talet mellan två kvadrattal, uppskatta och kontrollera genom att kvadrera. Ta √50 som räknat exempel.

Fråga om det är ett kvadrattal. Om talet finns bland kvadrattalen plockar du fram roten ur minnet: √144 = 12. Talet 50 finns inte i listan, så gå vidare.
Hitta de två kvadrattalen runt omkring. 50 ligger mellan 49 = 7² och 64 = 8², så √50 ligger mellan 7 och 8.
Uppskatta utifrån avstånden. 50 ligger 1 över 49 och 14 under 64, så √50 ligger mycket närmare 7. Avståndet från 49 till 64 är 15, så en bra första gissning är 7 + 1⁄15, ungefär 7,07.
Kontrollera genom att kvadrera. 7,07 × 7,07 = 49,9849, vilket ligger nära 50. En miniräknare ger √50 ≈ 7,0711, så uppskattningen stämmer på två decimaler.

Samma fyra steg fungerar för varje heltal. För √30 är grannarna 25 och 36, så roten ligger mellan 5 och 6, lite under mitten, och 5,5 × 5,5 = 30,25 bekräftar det.

En tallinje från 36 till 64 med √36 = 6, √49 = 7 och √64 = 8 ovanför kvadrattalen, 50 markerat ett steg efter 49 och fjorton steg före 64, och 7 < √50 < 8 i en ruta.

Spela gratis i webbläsarenKvadrattalÅk 4–6

Det många gör fel: roten ur en summa

Roten ur en summa är inte summan av rötterna. √(9 + 16) = √25 = 5, medan √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Räkna ut allt under rottecknet först och dra sedan roten ur.

OpenStax visar samma sak med ett räknat par: i det ena exemplet drogs varje rot först och adderades sedan, i det andra adderades talen under rottecknet först och roten drogs efteråt. Multiplikation går däremot att dela upp, så √(4 × 9) = √36 = 6 och √4 × √9 = 2 × 3 = 6.

Fyra sätt att räkna ut roten ur, sida vid sida

De fyra sätten att räkna ut roten ur är att minnas, att uppskatta och kontrollera, att primtalsfaktorisera och att använda miniräknare. Vart och ett passar ett visst tal och ett visst skede i skolan.

Metod	Så fungerar den	Bäst för	Begränsningar
Minnet	Matcha talet mot ett känt kvadrattal: √81 = 9	Kvadrattal upp till 225 eller 400	Kvadrattalen måste sitta
Uppskatta och kontrollera	Placera mellan två kvadrattal, gissa, kvadrera gissningen	√50 ≈ 7,07, snabba kontroller, prov utan miniräknare	Ger ett närmevärde, oftast med 1–2 decimaler
Primtalsfaktorisering	Dela upp i primtal, halvera varje exponent: √144 = √(2⁴ × 3²) = 2² × 3 = 12	Stora kvadrattal som 324 eller 576	Långsamt för stora tal; inget heltalssvar för andra tal
Miniräknare	Tryck på √ eller skriv =ROT(50) i ett kalkylark	Alla tal, med valfri noggrannhet	Döljer om svaret är rimligt

Primtalsfaktorisering fungerar eftersom ett kvadrattal har varje primtal ett jämnt antal gånger. 324 = 2² × 3⁴, så √324 = 2 × 3² = 18, och 18 × 18 = 324 bekräftar det. Guiden om primtal visar hur du bygger faktorträdet, och dess delbarhetstest slutar vid roten ur talet av samma skäl.

Vilken metod i vilken årskurs

Årskursen avgör vilken metod som kommer först. Minnet kommer först, eftersom kvadrattalen dyker upp tillsammans med gångertabellen och skrivsättet ².

I Sverige tar kursplanen i matematik i Lgr22 upp reella tal och deras egenskaper, tal i potensform och enkla andragradsekvationer i årskurs 7–9, och där hör kvadratrötterna hemma. I USA kommer kvadratrötterna i årskurs 8: Common Core-standarden 8.EE.A.2 ber eleverna räkna ut kvadratrötter ur små kvadrattal och veta att √2 är irrationell.

Standarden 8.NS.A.2 lägger till uppskattning: genom att korta av decimalutvecklingen för √2 ska eleven visa att √2 ligger mellan 1 och 2 och sedan mellan 1,4 och 1,5. Primtalsfaktorisering passar i årskurs 7 och 8, och miniräknaren kommer sist, som kontroll av en uppskattning.

Praktiska tips så att kvadratrötterna sitter

Kvadratrötter sitter när kvadrattalen är automatiska, så lär dig dem upp till 15², och till 20² om ditt barn är på väg mot algebran. Fem minuter om dagen med spelet om kvadrattal får 13² = 169 och 14² = 196 att komma tillbaka utan uträkning.

Använd sista siffran som filter. Ett kvadrattal slutar bara på 0, 1, 4, 5, 6 eller 9, så 2, 3, 7 och 8 avslutar aldrig ett kvadrattal.

Regeln om sista siffran utesluter 47, 83 och 572 med en blick. Regeln filtrerar bara: 26 slutar på 6 och är ändå inget kvadrattal.

Koppla rötterna till huvudräkning. √2 500 = 50 eftersom 50 × 50 = 2 500, och √1 600 = 40 av samma skäl. Guiden om huvudräkningsknep som fungerar har fler genvägar av det slaget.

Spela gratis i webbläsarenMultiplikationstabellerÅk 3+

En regel för övningen: kvadrera alltid svaret

Att kvadrera svaret är den enda vana som fångar varje felaktig kvadratrot. Om √196 blev 13 visar 13 × 13 = 169 felet, och 14 × 14 = 196 visar rättelsen. Be om kontrollen på varje läxuppgift tills ditt barn gör den utan att bli tillsagt.

Så kontrollerar du framstegen med kvadratrötter

Fem signaler visar om kvadratrötter är begripliga, och var och en tar under en minut.

Minnet: Fråga efter √121, √169 och √225. Svaren 11, 13 och 15 ska komma på under tre sekunder vardera.
Placering: Fråga mellan vilka två heltal √90 ligger. Svaret är 9 och 10, eftersom 81 < 90 < 100.
Uppskattning: Be om √65 med en decimal. Ungefär 8,1 stämmer, eftersom 65 ligger 1 över 64.
Summor under tecknet: Ge √(36 + 64). Svaret är 10, och 14 betyder att rötterna drogs först.
Skälet: Fråga varför √0,25 = 0,5. ”För att 0,5 × 0,5 = 0,25” visar idén; ”för att man halverar” gör det inte.

Ett test på fem minuter

Ett test på fem minuter blandar en uppgift av varje sort och upprepas två gånger i veckan med nya tal. Bedöm kontrollen lika väl som svaret: en elev som skriver √50 ≈ 7,07 och kvadrerar till 49,98 förstår rötter. Sidan med mattespel för årskurs 6 samlar övning för åldern då kvadrattal och potenser möts.

Vanliga fel och gränsfall med roten ur

Fem fel orsakar de flesta felaktiga kvadratrötter, och vart och ett har en fix på en rad.

√16 = 8: Talet halverades. Kvadrera svaret: 8 × 8 = 64, så roten är 4.
√(9 + 16) = 7: Rötterna drogs före additionen. Addera först: √25 = 5.
√50 = 25: Samma halveringsfel på ett större tal. Placera 50 mellan 49 och 64 i stället.
√2 = 1,414 exakt: √2 är irrationell, så skriv √2 ≈ 1,414; 1,414 × 1,414 = 1,999396.
√49 = ±7: Rottecknet ger ett svar. Skriv √49 = 7, och −√49 = −7 för den negativa roten.

Negativa tal kräver omsorg. Både 7 × 7 och (−7) × (−7) blir 49, så 49 har två kvadratrötter, och rottecknet väljer den positiva, som kallas principalroten. OpenStax säger det rakt ut: rottecknet √ står för den positiva kvadratroten.

Roten ur negativa tal

Ett negativt tal har ingen reell kvadratrot, eftersom varje reellt tal gånger sig självt är noll eller positivt. OpenStax konstaterar att det inte finns något reellt tal vars kvadrat är −169, så √−4 har inget reellt svar. Guiden om negativa tal förklarar varför negativt gånger negativt blir positivt, vilket är skälet bakom regeln.

Din checklista för kvadratrötter och nästa steg

Kunna kvadrattalen: 1² till 15² utantill, med 225 som det sista.
Placera talet: hitta kvadrattalen under och över det.
Uppskatta efter avstånd: närmare det lägre kvadrattalet betyder närmare den lägre roten.
Räkna under tecknet först: √(a + b) delas aldrig upp i √a + √b.
Kvadrera svaret: kontrollen tar tio sekunder och fångar varje fel.

Den engelska läroplanen tar rötterna vidare i Key Stage 3, där eleverna ska skilja mellan exakta rötter och deras närmevärden i decimalform. Det är gränsen mellan √2 och 1,414, och de fem vanorna ovan förbereder för den.

MathIt är en gratis app för iOS och Android med ungefär 90 speltyper, anpassad svårighetsgrad och daglig övning, så kvadrattalen blir svårare först när de enklare kommer rätt. Tjugotvå av spelen, kvadrattalen bland dem, går att spela gratis i en webbläsare utan konto.