MathIt BlogLa racine carrée expliquée : ce que c'est et comment la trouver
Qu'est-ce qu'une racine carrée et comment la calculer ?
La racine carrée d'un nombre positif est le nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne ce nombre : √49 = 7 car 7 × 7 = 49. Si le nombre est un carré parfait, on retrouve la racine de mémoire. Sinon, on l'encadre entre deux carrés parfaits, on estime, puis on vérifie en élevant au carré. La décomposition en facteurs premiers et la calculatrice marchent aussi.
À retenir
- La racine carrée défait l'élévation au carré, donc √49 = 7 car 7 × 7 = 49.
- Les 15 premiers carrés parfaits vont de 1 à 225, et les connaître par cœur transforme la plupart des racines carrées en simple rappel.
- La racine carrée d'un nombre qui n'est pas un carré parfait se trouve entre deux nombres entiers, donc √50 est entre 7 et 8 et vaut environ 7,07.
- La racine carrée d'une somme n'est pas la somme des racines carrées : √(9 + 16) = √25 = 5, alors que √9 + √16 = 7.
- Le symbole √ désigne la racine carrée positive, donc √49 = 7, et un nombre négatif comme −4 n'a pas de racine carrée.
Votre enfant de 4e bloque sur √50, et la réponse de la calculatrice, 7,0710678, semble tombée du ciel. La racine carrée ressemble à une opération nouvelle, mais c'est l'élévation au carré faite à l'envers, et les carrés tirés des tables de multiplication contiennent presque toutes les réponses. Une fois ce lien établi, vous pouvez trouver une racine carrée à la main et la vérifier en quelques secondes.
Qu'est-ce qu'une racine carrée ?
La racine carrée d'un nombre positif est le nombre positif qui donne ce nombre quand on le multiplie par lui-même. √49 = 7 car 7 × 7 = 49, et √100 = 10 car 10 × 10 = 100. Le symbole √ s'appelle le radical, et √49 se lit « racine carrée de 49 ».
Le manuel OpenStax Prealgebra donne la définition en une ligne : un nombre dont le carré est m s'appelle une racine carrée de m. Élever au carré et prendre la racine carrée se défont l'une l'autre, comme la multiplication et la division. Le guide sur les puissances traite de la moitié « au carré ».
Une image rend le lien concret. Un carré fait de 49 carreaux a 7 carreaux de côté, donc la racine carrée d'une aire est la longueur du côté. Le programme de mathématiques du cycle 4 introduit d'ailleurs la racine carrée « en lien avec des situations géométriques (longueur du côté d'un carré d'aire donnée, théorème de Pythagore) ».
Les nombres carrés : les 15 premiers carrés parfaits
Les nombres carrés, qu'on appelle aussi carrés parfaits, sont les résultats d'un nombre entier multiplié par lui-même. Leurs racines carrées sont des nombres entiers, donc chaque carré parfait est aussi un fait de racine carrée.
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n² | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 |
En France, la notation arrive en 5e, où le programme du cycle 4 demande de « découvrir la notion de puissance d'un nombre et sa notation dans le cas du carré et du cube ». En 4e et en 3e, un automatisme attendu est de « donner les carrés des nombres entiers compris entre 0 et 12 ». Les dix premières colonnes viennent tout droit des tables, et c'est pourquoi l'article sur comment apprendre les tables de multiplication rapidement sert aussi ici.
Comment trouver une racine carrée, étape par étape
Une racine carrée se trouve en quatre étapes : vérifier si le nombre est un carré parfait, l'encadrer entre deux carrés parfaits, estimer, puis vérifier en élevant au carré. Prenons √50 comme exemple.
- Demandez-vous si c'est un carré parfait. Si le nombre figure parmi les carrés, retrouvez la racine : √144 = 12. Le nombre 50 n'y est pas, donc on passe à la suite.
- Trouvez les deux carrés parfaits qui l'entourent. 50 se trouve entre 49 = 7² et 64 = 8², donc √50 est entre 7 et 8.
- Estimez d'après les écarts. 50 est à 1 au-dessus de 49 et à 14 au-dessous de 64, donc √50 est bien plus près de 7. L'écart de 49 à 64 vaut 15, donc une bonne première estimation est 7 + 1⁄15, environ 7,07.
- Vérifiez en élevant au carré. 7,07 × 7,07 = 49,9849, ce qui est proche de 50. Une calculatrice donne √50 ≈ 7,0711, donc l'estimation est juste à deux décimales.
Les mêmes quatre étapes marchent pour tout nombre entier. Pour √30, les voisins sont 25 et 36, donc la racine est entre 5 et 6, un peu en dessous du milieu, et 5,5 × 5,5 = 30,25 le confirme. C'est exactement l'objectif de 4e : « encadrer la racine carrée d'un entier par deux nombres entiers consécutifs ».
L'erreur fréquente : la racine d'une somme
La racine carrée d'une somme n'est pas la somme des racines carrées. √(9 + 16) = √25 = 5, alors que √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Calculez d'abord tout ce qui se trouve sous le radical, puis prenez la racine.
OpenStax fait la même remarque avec deux calculs mis côte à côte : dans le premier, on prend chaque racine puis on additionne ; dans le second, on additionne sous le radical puis on prend la racine. La multiplication, elle, se sépare : √(4 × 9) = √36 = 6 et √4 × √9 = 2 × 3 = 6.
Quatre façons de trouver une racine carrée côte à côte
Les quatre façons de trouver une racine carrée sont le rappel, l'encadrement avec vérification, la décomposition en facteurs premiers et la calculatrice. Chacune convient à un type de nombre et à un moment de la scolarité.
| Méthode | Principe | Idéale pour | Limites |
|---|---|---|---|
| Rappel | Reconnaître un carré connu : √81 = 9 | Carrés parfaits jusqu'à 225 ou 400 | Demande de connaître les carrés par cœur |
| Encadrement et vérification | Placer entre deux carrés, estimer, élever l'estimation au carré | √50 ≈ 7,07, vérifications rapides, contrôles sans calculatrice | Donne une valeur approchée, en général à 1 ou 2 décimales |
| Décomposition en facteurs premiers | Décomposer en nombres premiers, diviser chaque exposant par 2 : √144 = √(2⁴ × 3²) = 2² × 3 = 12 | Grands carrés parfaits comme 324 ou 576 | Lente pour les grands nombres ; pas de résultat entier pour les autres |
| Calculatrice | Touche √, ou =RACINE(50) dans un tableur | Tout nombre, toute précision | Cache si le résultat est vraisemblable |
La décomposition en facteurs premiers marche parce qu'un carré parfait contient chaque nombre premier un nombre pair de fois. 324 = 2² × 3⁴, donc √324 = 2 × 3² = 18, et 18 × 18 = 324 le confirme. L'article sur les nombres premiers montre comment construire l'arbre de décomposition, et son test de divisibilité s'arrête à la racine carrée du nombre pour la même raison.
Quelle méthode à quelle classe
La classe décide quelle méthode vient en premier. Le rappel passe d'abord, car les carrés arrivent avec la notation ² en 5e, en s'appuyant sur les tables de multiplication.
En France, la racine carrée elle-même arrive en 4e : le programme demande de « comprendre et connaitre la définition de la racine carrée d'un nombre positif » et de l'encadrer entre deux entiers consécutifs. En 3e, l'élève résout des équations de la forme x² = a. Aux États-Unis, le standard Common Core 8.EE.A.2 place le même travail en grade 8, l'équivalent de la 4e.
Le standard 8.NS.A.2 y ajoute l'estimation : en tronquant l'écriture décimale de √2, montrer que √2 est entre 1 et 2, puis entre 1,4 et 1,5. La décomposition en facteurs premiers trouve sa place en 4e et en 3e, et la calculatrice vient en dernier, comme contrôle d'une estimation.
Conseils pratiques pour retenir les racines carrées
Les racines carrées tiennent quand les carrés sont automatiques, donc apprenez-les jusqu'à 15², et jusqu'à 20² si votre enfant se dirige vers le calcul littéral. Cinq minutes par jour sur le jeu des nombres carrés font revenir 13² = 169 et 14² = 196 sans calcul.
Utilisez le dernier chiffre comme filtre. Un carré parfait ne se termine que par 0, 1, 4, 5, 6 ou 9, donc jamais par 2, 3, 7 ou 8.
La règle du dernier chiffre écarte 47, 83 et 572 d'un seul coup d'œil. Elle ne fait que filtrer : 26 se termine par 6 et n'est pourtant pas un carré.
Reliez les racines au calcul mental. √2 500 = 50 car 50 × 50 = 2 500, et √1 600 = 40 pour la même raison. Le guide des astuces de calcul mental qui marchent contient d'autres raccourcis de ce genre.
Jouer gratuitement dans le navigateurTables de multiplicationCE2 et +Une règle d'entraînement : toujours élever le résultat au carré
Élever le résultat au carré est la seule habitude qui attrape toutes les erreurs de racine carrée. Si √196 a donné 13, alors 13 × 13 = 169 montre l'erreur, et 14 × 14 = 196 montre la correction. Demandez cette vérification à chaque exercice jusqu'à ce que votre enfant la fasse sans qu'on le lui demande.
Comment vérifier les progrès sur les racines carrées
Cinq signaux montrent si les racines carrées ont du sens, et chacun prend moins d'une minute.
- Rappel : demandez √121, √169 et √225. Les réponses 11, 13 et 15 doivent venir en moins de trois secondes chacune.
- Encadrement : demandez entre quels deux nombres entiers se trouve √90. La réponse est 9 et 10, car 81 < 90 < 100.
- Estimation : demandez √65 au dixième près. Environ 8,1 est juste, car 65 est à 1 au-dessus de 64.
- Somme sous le radical : donnez √(36 + 64). La réponse est 10, et 14 signifie que les racines ont été prises d'abord.
- La raison : demandez pourquoi √0,25 = 0,5. « Parce que 0,5 × 0,5 = 0,25 » montre l'idée ; « parce que c'est la moitié » ne la montre pas.
Un test de cinq minutes
Un test de cinq minutes mélange une question de chaque type et se répète deux fois par semaine avec de nouveaux nombres. Notez la vérification autant que le résultat : un élève qui écrit √50 ≈ 7,07 et l'élève au carré pour trouver 49,98 a compris les racines. La page du jeu de maths pour la 6e rassemble l'entraînement de la classe où les carrés et les puissances se rencontrent.
Erreurs fréquentes et cas particuliers sur la racine carrée
Cinq erreurs causent la plupart des racines carrées fausses, et chacune se corrige en une ligne.
- √16 = 8 : le nombre a été divisé par 2. Élevez le résultat au carré : 8 × 8 = 64, donc la racine est 4.
- √(9 + 16) = 7 : les racines ont été prises avant l'addition. Additionnez d'abord : √25 = 5.
- √50 = 25 : la même division par 2 sur un nombre plus grand. Encadrez plutôt 50 entre 49 et 64.
- √2 = 1,414 exactement : √2 est irrationnel, donc écrivez √2 ≈ 1,414 ; 1,414 × 1,414 = 1,999396.
- √49 = ±7 : le radical ne donne qu'un résultat. Écrivez √49 = 7, et −√49 = −7 pour le nombre négatif.
Les nombres négatifs demandent de l'attention. 7 × 7 et (−7) × (−7) valent tous deux 49, donc deux nombres ont 49 pour carré, et le symbole √ choisit le positif. OpenStax le dit sans détour : le radical √ désigne la racine carrée positive.
Racine carrée d'un nombre négatif
Un nombre négatif n'a pas de racine carrée parmi les nombres réels, car tout nombre réel multiplié par lui-même donne zéro ou un nombre positif. OpenStax écrit qu'aucun nombre réel n'a pour carré −169, donc √−4 n'a pas de réponse. L'article sur les nombres négatifs explique pourquoi un négatif multiplié par un négatif donne un positif, ce qui est la raison de cette règle.
Votre liste de contrôle sur la racine carrée et la suite
- Connaître les carrés : de 1² à 15² par cœur, avec 225 en dernier.
- Encadrer le nombre : trouvez les carrés parfaits juste en dessous et juste au-dessus.
- Estimer d'après les écarts : plus près du petit carré, plus près de la petite racine.
- Calculer d'abord sous le radical : √(a + b) ne se sépare jamais en √a + √b.
- Élever le résultat au carré : la vérification prend dix secondes et attrape toutes les erreurs.
Le programme de 3e pousse les racines plus loin, avec la résolution d'équations de la forme x² = a et des « problèmes utilisant la racine carrée ». C'est là que la différence entre √2 et 1,414 devient importante, et les cinq habitudes ci-dessus y préparent.
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Questions fréquentes
Quelle est la racine carrée de 64 ?
La racine carrée de 64 est 8, car 8 × 8 = 64. Le nombre 64 est un carré parfait, le huitième de la liste. Le nombre −8 donne aussi 64 quand on l'élève au carré, mais le symbole √ désigne la racine positive, donc √64 = 8.
Quelle est la racine carrée de 2 ?
La racine carrée de 2 vaut environ 1,414, car 1,414 × 1,414 = 1,999396. La racine carrée de 2 est irrationnelle : son écriture décimale ne s'arrête jamais et ne se répète jamais, donc toute valeur écrite est une approximation. Le programme français de 4e propose de démontrer que √2 n'est pas un nombre décimal.
Quelle est la racine carrée de 16 ?
La racine carrée de 16 est 4, car 4 × 4 = 16. Une erreur fréquente consiste à répondre 8, qui est la moitié de 16. Prendre la moitié et prendre la racine carrée ne donnent le même résultat que pour 0 et 4, où 4 : 2 = 2 et √4 = 2.
Une racine carrée peut-elle être négative ?
Un nombre positif a deux nombres dont le carré lui est égal, l'un positif et l'autre négatif : 7 × 7 = 49 et (−7) × (−7) = 49. Le symbole √ ne désigne que le nombre positif, donc √49 = 7, et l'autre s'écrit −√49 = −7. Un nombre négatif comme −4 n'a pas de racine carrée parmi les nombres réels.
