O que é raiz quadrada e como calcular?

A raiz quadrada de um número é o valor que, multiplicado por ele mesmo, dá esse número, então √49 = 7 porque 7 × 7 = 49. Para calcular, lembre a resposta se o número for um quadrado perfeito. Se não for, coloque o número entre dois quadrados perfeitos, estime e confira elevando ao quadrado. A fatoração em primos e a calculadora também funcionam.

Qual é a raiz quadrada de 64?

A raiz quadrada de 64 é 8, porque 8 × 8 = 64. O número 64 é um quadrado perfeito, o oitavo da lista. O número −8 também dá 64 quando elevado ao quadrado, mas o sinal √ indica a raiz positiva, então √64 = 8.

Qual é a raiz quadrada de 2?

A raiz quadrada de 2 é cerca de 1,414, porque 1,414 × 1,414 = 1,999396. A raiz quadrada de 2 é irracional: a parte decimal nunca termina e nunca se repete, então qualquer valor escrito é uma aproximação. A BNCC pede no 9º ano reconhecer um número irracional como um número real com representação decimal infinita e não periódica (EF09MA02).

Qual é a raiz quadrada de 16?

A raiz quadrada de 16 é 4, porque 4 × 4 = 16. Um deslize comum é responder 8, que é a metade de 16. Dividir por 2 e tirar a raiz quadrada só dão o mesmo resultado para 0 e para 4, em que 4 ÷ 2 = 2 e √4 = 2.

A raiz quadrada pode ser negativa?

Um número positivo tem uma raiz quadrada negativa além da positiva: 7 × 7 = 49 e (−7) × (−7) = 49. O sinal √ indica só a raiz positiva, então √49 = 7, e a raiz negativa se escreve −√49 = −7. Um número negativo como −4 não tem raiz quadrada real.

Raiz quadrada: o que é e como calcular

Seu filho do 8º ano travou em √50, e a resposta da calculadora, 7,0710678, parece ter vindo do nada. A raiz quadrada parece uma operação nova, mas é a potência de expoente 2 feita ao contrário, e os quadrados da tabuada guardam quase todas as respostas. Quando essa ligação fica clara, dá para calcular uma raiz quadrada à mão e conferir em segundos.

O que é raiz quadrada?

A raiz quadrada de um número é o valor que dá esse número quando multiplicado por ele mesmo. √49 = 7 porque 7 × 7 = 49, e √100 = 10 porque 10 × 10 = 100. O sinal √ se chama radical, e √49 se lê "raiz quadrada de 49".

O livro OpenStax Prealgebra dá a definição numa linha: um número cujo quadrado é m se chama raiz quadrada de m. Elevar ao quadrado e tirar a raiz quadrada desfazem um ao outro, como a multiplicação e a divisão. O guia de potenciação explica a metade do quadrado.

Um desenho deixa a ligação concreta. Um quadrado feito de 49 azulejos tem 7 azulejos em cada lado, então a raiz quadrada de uma área é a medida do lado.

Cinco quadrados de azulejos com 1, 4, 9, 16 e 25 azulejos, cada um com a sua multiplicação, de 1 × 1 = 1 até 5 × 5 = 25, e a sua raiz quadrada, de √1 = 1 até √25 = 5.

Quadrados perfeitos: os 15 primeiros

Os quadrados perfeitos são os resultados de multiplicar um número natural por ele mesmo. As raízes quadradas deles são números inteiros, então cada quadrado perfeito também é um fato de raiz quadrada.

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
n²	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169	196	225

O currículo nacional de matemática da Inglaterra pede no Year 5 (crianças de 9 a 10 anos) reconhecer e usar números quadrados e cúbicos e a notação ² e ³. As dez primeiras colunas saem direto da tabuada, e é por isso que o texto sobre como aprender a tabuada rápido também ajuda aqui.

Como calcular raiz quadrada, passo a passo

A raiz quadrada se calcula em quatro passos: ver se é um quadrado perfeito, colocar o número entre dois quadrados perfeitos, estimar e conferir elevando ao quadrado. Pegue √50 como exemplo.

Pergunte se é um quadrado perfeito. Se o número está na lista dos quadrados perfeitos, lembre a raiz: √144 = 12. O 50 não está na lista, então siga em frente.
Encontre os dois quadrados perfeitos em volta. O 50 fica entre 49 = 7² e 64 = 8², então √50 está entre 7 e 8.
Estime pelas distâncias. O 50 está 1 acima de 49 e 14 abaixo de 64, então √50 fica bem mais perto de 7. A distância de 49 a 64 é 15, então um bom primeiro palpite é 7 + 1⁄15, cerca de 7,07.
Confira elevando ao quadrado. 7,07 × 7,07 = 49,9849, que é próximo de 50. A calculadora dá √50 ≈ 7,0711, então a estimativa está certa até a segunda casa decimal.

Os mesmos quatro passos valem para qualquer número inteiro. Para √30, os vizinhos são 25 e 36, então a raiz fica entre 5 e 6, um pouco abaixo do meio, e 5,5 × 5,5 = 30,25 confirma.

Uma reta numérica de 36 a 64 com √36 = 6, √49 = 7 e √64 = 8 sobre os quadrados perfeitos, o 50 marcado um passo depois do 49 e quatorze passos antes do 64, e 7 < √50 < 8 num quadro.

Jogue grátis no navegadorNúmeros ao quadrado4.º–6.º ano

O erro mais comum: a raiz de uma soma

A raiz quadrada de uma soma não é a soma das raízes quadradas. √(9 + 16) = √25 = 5, enquanto √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Resolva primeiro tudo o que está dentro do radical e depois tire a raiz.

O OpenStax mostra o mesmo com um par de exemplos resolvidos: no primeiro, cada raiz é tirada antes e depois somada; no segundo, a soma dentro do radical vem primeiro e só então se tira a raiz. A multiplicação se separa, então √(4 × 9) = √36 = 6 e √4 × √9 = 2 × 3 = 6.

Quatro jeitos de calcular raiz quadrada lado a lado

Os quatro jeitos de calcular uma raiz quadrada são a memória, a estimativa com conferência, a fatoração em primos e a calculadora. Cada um serve para um tipo de número e um momento da escola.

Método	Como funciona	Melhor para	Limites
Memória	Comparar o número com um quadrado conhecido: √81 = 9	Quadrados perfeitos até 225 ou 400	Exige os quadrados decorados
Estimativa e conferência	Colocar entre dois quadrados, chutar, elevar o chute ao quadrado	√50 ≈ 7,07, conferências rápidas, provas sem calculadora	Dá uma aproximação, em geral com 1 ou 2 casas decimais
Fatoração em primos	Decompor em fatores primos e dividir cada expoente por 2: √144 = √(2⁴ × 3²) = 2² × 3 = 12	Quadrados perfeitos grandes, como 324 ou 576	Lenta para números grandes; sem resposta inteira para quem não é quadrado
Calculadora	Apertar √ ou digitar =RAIZ(50) numa planilha	Qualquer número, qualquer precisão	Esconde se a resposta faz sentido

A fatoração funciona porque num quadrado perfeito cada fator primo aparece um número par de vezes. 324 = 2² × 3⁴, então √324 = 2 × 3² = 18, e 18 × 18 = 324 confirma. O texto sobre números primos mostra como montar a árvore de fatores, e o teste de divisibilidade dele para na raiz quadrada do número pelo mesmo motivo.

Qual método em cada ano

O ano escolar decide qual método de raiz quadrada vem primeiro. A memória vem antes, porque os quadrados chegam com a tabuada e com a notação ².

No Brasil, a BNCC pede no 8º ano "resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como potência de expoente fracionário" (EF08MA02). Nos Estados Unidos, o padrão 8.EE.A.2 do Common Core também coloca as raízes de quadrados perfeitos pequenos no 8º ano americano, junto com saber que √2 é irracional.

O padrão 8.NS.A.2 acrescenta a estimativa: truncando a expansão decimal de √2, mostrar que √2 está entre 1 e 2, depois entre 1,4 e 1,5. A fatoração em primos se encaixa no 7º e no 8º ano, e a calculadora vem por último, como conferência de uma estimativa.

Dicas práticas para a raiz quadrada ficar

A raiz quadrada fica na memória quando os quadrados perfeitos são automáticos, então aprenda até 15², e até 20² se seu filho está chegando à álgebra. Cinco minutos por dia no jogo dos quadrados perfeitos fazem 13² = 169 e 14² = 196 voltarem sem conta.

Use o último algarismo como filtro. Um quadrado perfeito só termina em 0, 1, 4, 5, 6 ou 9, então 2, 3, 7 e 8 nunca terminam um.

A regra do último algarismo descarta 47, 83 e 572 numa olhada. A regra só filtra: 26 termina em 6 e mesmo assim não é quadrado perfeito.

Ligue as raízes ao cálculo mental. √2.500 = 50 porque 50 × 50 = 2.500, e √1.600 = 40 pelo mesmo motivo. O guia de truques de cálculo mental que funcionam tem mais atalhos desse tipo.

Jogue grátis no navegadorTabuada3.º ano e +

Uma regra para praticar: sempre eleve a resposta ao quadrado

Elevar a resposta ao quadrado é o hábito que pega toda raiz quadrada errada. Se √196 deu 13, então 13 × 13 = 169 mostra o deslize, e 14 × 14 = 196 mostra a correção. Peça a conferência em toda questão da lição de casa até seu filho fazer sem que ninguém peça.

Como acompanhar o progresso com raiz quadrada

Cinco sinais mostram se a raiz quadrada faz sentido, e cada um leva menos de um minuto.

Memória: Peça √121, √169 e √225. As respostas 11, 13 e 15 devem vir em menos de três segundos cada.
Localização: Pergunte entre quais dois números inteiros fica √90. A resposta é 9 e 10, porque 81 < 90 < 100.
Estimativa: Peça √65 com uma casa decimal. Cerca de 8,1 está certo, porque 65 está 1 acima de 64.
Soma dentro do radical: Dê √(36 + 64). A resposta é 10, e 14 quer dizer que as raízes foram tiradas antes.
O motivo: Pergunte por que √0,25 = 0,5. "Porque 0,5 × 0,5 = 0,25" mostra a ideia; "porque é a metade" não mostra.

Um teste de cinco minutos

Um teste de cinco minutos mistura uma questão de cada tipo e se repete duas vezes por semana com números novos. Corrija a conferência além da resposta: o aluno que escreve √50 ≈ 7,07 e eleva ao quadrado para obter 49,98 entende a raiz. A página do jogo de matemática para o 6º ano reúne prática do ano em que os quadrados e as potências se encontram.

Erros comuns de raiz quadrada e casos especiais

Cinco erros causam a maioria das raízes quadradas erradas, e cada um tem uma correção de uma linha.

√16 = 8: O número foi dividido por 2. Eleve a resposta ao quadrado: 8 × 8 = 64, então a raiz é 4.
√(9 + 16) = 7: As raízes foram tiradas antes da soma. Some primeiro: √25 = 5.
√50 = 25: O mesmo deslize da metade, num número maior. Coloque o 50 entre 49 e 64.
√2 = 1,414 exatamente: √2 é irracional, então escreva √2 ≈ 1,414; 1,414 × 1,414 = 1,999396.
√49 = ±7: O radical dá uma resposta só. Escreva √49 = 7, e −√49 = −7 para a raiz negativa.

Os números negativos pedem cuidado. Tanto 7 × 7 quanto (−7) × (−7) dão 49, então 49 tem duas raízes quadradas, e o sinal √ escolhe a positiva, chamada raiz quadrada principal. O OpenStax diz isso com clareza: o radical √ indica a raiz quadrada positiva.

Raiz quadrada de número negativo

Um número negativo não tem raiz quadrada real, porque qualquer número real multiplicado por ele mesmo dá zero ou um resultado positivo. O OpenStax diz que não existe número real cujo quadrado seja −169, então √−4 não tem resposta real. O texto sobre números negativos explica por que negativo vezes negativo dá positivo, que é o motivo por trás da regra.

Sua lista de verificação de raiz quadrada e próximos passos

Saiba os quadrados: de 1² a 15² de cor, com 225 como o último.
Localize o número: encontre os quadrados perfeitos abaixo e acima dele.
Estime pela distância: mais perto do quadrado menor quer dizer mais perto da raiz menor.
Resolva dentro do radical primeiro: √(a + b) nunca vira √a + √b.
Eleve a resposta ao quadrado: a conferência leva dez segundos e pega todo deslize.

A BNCC leva as raízes mais longe no 9º ano, quando o aluno reconhece "um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica" (EF09MA02). Essa é a linha entre √2 e 1,414, e os cinco hábitos acima preparam para ela.

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