Hva er kvadratrot, og hvordan finner du den?

Kvadratroten av et tall er verdien som gir tallet når du ganger den med seg selv, så √49 = 7 fordi 7 × 7 = 49. Er tallet et kvadrattall, kan du hente svaret fra hukommelsen. Ellers plasserer du tallet mellom to kvadrattall, gjør et overslag og kontrollerer ved å kvadrere. Primtallsfaktorisering og kalkulator virker også.

Hva er kvadratroten av 64?

Kvadratroten av 64 er 8, fordi 8 × 8 = 64. Tallet 64 er et kvadrattall, det åttende i rekken. Tallet −8 gir også 64 når det kvadreres, men rottegnet √ betyr den positive roten, så √64 = 8.

Hva er kvadratroten av 2?

Kvadratroten av 2 er omtrent 1,414, fordi 1,414 × 1,414 = 1,999396. Kvadratroten av 2 er irrasjonal: desimalene tar aldri slutt og gjentar seg aldri, så enhver skrevet verdi er en tilnærming. Common Core-standarden 8.EE.A.2 ber elever i åttende skoleår vite at √2 er irrasjonal.

Hva er kvadratroten av 16?

Kvadratroten av 16 er 4, fordi 4 × 4 = 16. En vanlig glipp er å svare 8, som er 16 halvert. Å halvere og å ta kvadratroten gir bare samme svar for 0 og 4, der 4 : 2 = 2 og √4 = 2.

Kan en kvadratrot være negativ?

Et tall har en negativ kvadratrot i tillegg til en positiv: 7 × 7 = 49 og (−7) × (−7) = 49. Rottegnet √ står bare for den positive roten, så √49 = 7, og den negative roten skrives −√49 = −7. Et negativt tall som −4 har ingen reell kvadratrot.

Kvadratrot forklart: slik finner du kvadratroten

Barnet ditt på 8. trinn står fast på √50, og kalkulatorsvaret 7,0710678 ser ut som det kom fra løse luften. En kvadratrot høres ut som en ny regneart, men den er kvadrering baklengs, og kvadrattallene fra gangetabellen gir nesten alle svarene. Når den sammenhengen er klar, kan du finne en kvadratrot for hånd og kontrollere den på sekunder.

Hva er en kvadratrot?

Kvadratroten av et tall er verdien som gir tallet når du ganger den med seg selv. √49 = 7 fordi 7 × 7 = 49, og √100 = 10 fordi 10 × 10 = 100. Tegnet √ kalles rottegnet, og du leser √49 som «kvadratroten av 49».

Læreboka OpenStax Prealgebra gir definisjonen på én linje: «Et tall som har kvadratet m, kalles en kvadratrot av m.» Kvadrering og kvadratrot opphever hverandre slik multiplikasjon og divisjon gjør. Guiden om potenser dekker kvadrerings-halvdelen.

En tegning gjør sammenhengen konkret. Et kvadrat av 49 fliser har 7 fliser langs hver side, så kvadratroten av et areal er lengden av siden.

Fem kvadrater av fliser med 1, 4, 9, 16 og 25 fliser, hvert merket med gangestykket, fra 1 × 1 = 1 til 5 × 5 = 25, og kvadratroten, fra √1 = 1 til √25 = 5.

Kvadrattall: de 15 første

Kvadrattall er resultatene du får når du ganger et helt tall med seg selv. Kvadratrøttene deres er hele tall, så hvert kvadrattall er også et faktum om kvadratrøtter.

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
n²	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169	196	225

Den nasjonale læreplanen i matematikk i England ber elevene i Year 5 «kjenne igjen og bruke kvadrattall og kubikktall og skrivemåten for i andre (²) og i tredje (³)». De ti første radene kommer rett fra gangetabellen, og derfor lønner guiden om hvordan du lærer gangetabellen raskt seg her også.

Slik finner du en kvadratrot, steg for steg

En kvadratrot finner du i fire steg: sjekk om tallet er et kvadrattall, plasser det mellom to kvadrattall, gjør et overslag og kontroller ved å kvadrere. Ta √50 som eksempel.

Spør om det er et kvadrattall. Står tallet blant kvadrattallene, henter du roten fra hukommelsen: √144 = 12. Tallet 50 står ikke på lista, så gå videre.
Finn de to kvadrattallene rundt det. 50 ligger mellom 49 = 7² og 64 = 8², så √50 ligger mellom 7 og 8.
Gjør et overslag ut fra avstandene. 50 er 1 over 49 og 14 under 64, så √50 ligger mye nærmere 7. Avstanden fra 49 til 64 er 15, så en god første gjetning er 7 + 1⁄15, omtrent 7,07.
Kontroller ved å kvadrere. 7,07 × 7,07 = 49,9849, som er nær 50. En kalkulator gir √50 ≈ 7,0711, så overslaget stemmer med to desimaler.

De samme fire stegene virker for alle hele tall. For √30 er naboene 25 og 36, så roten ligger mellom 5 og 6, litt under midten, og 5,5 × 5,5 = 30,25 bekrefter det.

En tallinje fra 36 til 64 med √36 = 6, √49 = 7 og √64 = 8 over kvadrattallene, 50 markert ett steg forbi 49 og fjorten steg før 64, og 7 < √50 < 8 i en ramme.

Spill gratis i nettleserenKvadrattall4.–6. trinn

Delen mange gjør feil: røtter av summer

Kvadratroten av en sum er ikke summen av kvadratrøttene. √(9 + 16) = √25 = 5, mens √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Regn ut alt under rottegnet først, og ta så roten.

OpenStax viser det samme med et par utregnede eksempler: «I ⓐ tok vi hver kvadratrot først og la dem så sammen. I ⓑ la vi sammen under rottegnet først og fant så kvadratroten.» Multiplikasjon lar seg dele opp, så √(4 × 9) = √36 = 6 og √4 × √9 = 2 × 3 = 6.

Fire måter å finne en kvadratrot på, side om side

De fire måtene å finne en kvadratrot på er å huske, å anslå og kontrollere, primtallsfaktorisering og kalkulator. Hver av dem passer til et eget tall og et eget tidspunkt i skolen.

Metode	Slik virker den	Best til	Begrensninger
Huske	Finn tallet blant kjente kvadrattall: √81 = 9	Kvadrattall opp til 225 eller 400	Krever at kvadrattallene sitter
Anslå og kontrollere	Plasser mellom to kvadrattall, gjett, kvadrer gjetningen	√50 ≈ 7,07, raske kontroller, prøver uten kalkulator	Gir en tilnærming, vanligvis 1–2 desimaler
Primtallsfaktorisering	Del i primtall og halver hver eksponent: √144 = √(2⁴ × 3²) = 2² × 3 = 12	Store kvadrattall som 324 eller 576	Tregt for store tall; gir ikke et helt svar for tall som ikke er kvadrattall
Kalkulator	Trykk √ eller skriv =ROT(50) i et regneark	Alle tall, med hvilken som helst nøyaktighet	Skjuler om svaret er fornuftig

Primtallsfaktorisering virker fordi et kvadrattall har hvert primtall et partall antall ganger. 324 = 2² × 3⁴, så √324 = 2 × 3² = 18, og 18 × 18 = 324 bekrefter det. Guiden om primtall viser hvordan du lager et faktortre, og delelighetstesten der stopper ved kvadratroten av tallet av samme grunn.

Hvilken metode på hvilket trinn

Trinnet avgjør hvilken metode for kvadratrot som kommer først. I Norge skal eleven etter 8. trinn kunne «regne med potenser og kvadratrøtter og forklare framgangsmåter og resultater», ifølge kompetansemålene etter 8. trinn i LK20. Å huske kommer først, fordi kvadrattallene bygger på gangetabellen.

I USA kommer kvadratrøtter i åttende skoleår: Common Core-standarden 8.EE.A.2 ber elevene «regne ut kvadratrøtter av små kvadrattall» og «vite at √2 er irrasjonal».

Standard 8.NS.A.2 legger til overslag: «ved å kutte desimalutviklingen av √2, vis at √2 ligger mellom 1 og 2, og så mellom 1,4 og 1,5». Primtallsfaktorisering passer på ungdomsskolen, og kalkulatoren kommer sist, som en kontroll av et overslag.

Praktiske tips så kvadratrøttene sitter

Kvadratrøtter sitter når kvadrattallene går automatisk, så lær dem til 15², og til 20² hvis barnet ditt er på vei mot algebra. Fem minutter om dagen med spillet med kvadrattall får 13² = 169 og 14² = 196 til å komme uten utregning.

Bruk det siste sifferet som filter. Et kvadrattall ender bare på 0, 1, 4, 5, 6 eller 9, så et tall som ender på 2, 3, 7 eller 8, er aldri et kvadrattall.

Regelen om det siste sifferet utelukker 47, 83 og 572 med ett blikk. Regelen filtrerer bare: 26 ender på 6 og er likevel ikke et kvadrattall.

Knytt røtter til hoderegning. √2 500 = 50 fordi 50 × 50 = 2 500, og √1 600 = 40 av samme grunn. Guiden om hoderegningstriks som virker har flere snarveier av den typen.

Spill gratis i nettleserenGangetabeller3. trinn+

En øvingsregel: kvadrer alltid svaret

Å kvadrere svaret er den ene vanen som fanger hver gale kvadratrot. Ble √196 til 13, viser 13 × 13 = 169 glippen, og 14 × 14 = 196 viser rettelsen. Be om kontrollen på hver lekseoppgave til barnet ditt gjør det uten å bli bedt om det.

Slik sjekker du framgangen med kvadratrøtter

Fem tegn viser om kvadratrøtter gir mening, og hvert tar under ett minutt.

Huske: Spør etter √121, √169 og √225. Svarene 11, 13 og 15 bør komme på under tre sekunder hver.
Plassering: Spør mellom hvilke to hele tall √90 ligger. Svaret er 9 og 10, fordi 81 < 90 < 100.
Overslag: Spør etter √65 med én desimal. Omtrent 8,1 er riktig, fordi 65 er 1 over 64.
Summer under tegnet: Gi √(36 + 64). Svaret er 10, og 14 betyr at røttene ble tatt først.
Begrunnelsen: Spør hvorfor √0,25 = 0,5. «Fordi 0,5 × 0,5 = 0,25» viser ideen, mens «fordi den halverer» ikke gjør det.

En test på fem minutter

En test på fem minutter blander én oppgave av hver type og gjentas to ganger i uka med nye tall. Gi poeng for kontrollen i tillegg til svaret: en elev som skriver √50 ≈ 7,07 og kvadrerer det til 49,98, forstår røtter. Siden med mattespill for 6. trinn samler øving på trinnet der kvadrattall og potenser møtes.

Vanlige feil med kvadratrot og spesialtilfeller

Fem feil står bak de fleste gale kvadratrøttene, og hver av dem har en løsning på én linje.

√16 = 8: Tallet ble halvert. Kvadrer svaret: 8 × 8 = 64, så roten er 4.
√(9 + 16) = 7: Røttene ble tatt før addisjonen. Legg sammen først: √25 = 5.
√50 = 25: Den samme halveringsglippen på et større tall. Plasser 50 mellom 49 og 64 i stedet.
√2 = 1,414 nøyaktig: √2 er irrasjonal, så skriv √2 ≈ 1,414; 1,414 × 1,414 = 1,999396.
√49 = ±7: Rottegnet gir ett svar. Skriv √49 = 7, og −√49 = −7 for den negative roten.

Negative tall krever omtanke. Både 7 × 7 og (−7) × (−7) er 49, så 49 har to kvadratrøtter, og rottegnet √ velger den positive, som kalles hovedroten. OpenStax sier det rett ut: «Rottegnet √ står for den positive kvadratroten.»

Kvadratroten av negative tall

Et negativt tall har ingen reell kvadratrot, fordi et reelt tall ganget med seg selv alltid blir null eller positivt. OpenStax skriver at «det finnes ikke noe reelt tall som har kvadratet −169», så √−4 har ikke noe reelt svar. Guiden om negative tall forklarer hvorfor minus ganger minus blir pluss, og det er grunnen bak regelen.

Sjekklisten din for kvadratrøtter, og neste steg

Lær kvadrattallene: 1² til 15² utenat, med 225 som det siste.
Plasser tallet: finn kvadrattallene under og over det.
Anslå ut fra avstanden: nærmere det laveste kvadrattallet betyr nærmere den laveste roten.
Regn under tegnet først: √(a + b) deles aldri opp i √a + √b.
Kvadrer svaret: kontrollen tar ti sekunder og fanger hver glipp.

Læreplanen i England tar røtter videre på Key Stage 3, der elevene skal «skille mellom eksakte uttrykk for røtter og desimaltilnærmingene deres». Det er grensen mellom √2 og 1,414, og de fem vanene over forbereder barnet på den.

MathIt er en gratis app for iOS og Android med rundt 90 spilltyper, adaptiv vanskegrad og daglig øving, så kvadrattallene blir vanskeligere først når de lettere sitter. Tjueto av spillene, kvadrattall blant dem, kan spilles gratis i nettleseren uten innlogging.