Worteltrekken uitgelegd: wat een wortel is en hoe je hem berekent

Je kind in de brugklas loopt vast op √50, en het antwoord van de rekenmachine, 7,0710678, lijkt uit het niets te komen. Worteltrekken klinkt als een nieuwe bewerking, maar het is kwadrateren achterstevoren, en de kwadraten uit de tafels bevatten bijna elk antwoord. Zodra dat verband duidelijk is, kun je een wortel met de hand berekenen en in een paar seconden controleren.

Wat is een wortel?

De wortel van een getal is het getal dat met zichzelf vermenigvuldigd dat getal geeft. √49 = 7 omdat 7 × 7 = 49, en √100 = 10 omdat 10 × 10 = 100. Het teken √ heet het wortelteken, en √49 lees je als "de wortel uit 49" of "wortel 49".

Het leerboek Prealgebra van OpenStax geeft de definitie in één zin: "een getal waarvan het kwadraat m is, heet een vierkantswortel van m." Kwadrateren en worteltrekken maken elkaar ongedaan, zoals vermenigvuldigen en delen. De gids over machten behandelt de kant van het kwadrateren.

Een plaatje maakt het verband concreet. Een vierkant van 49 tegels heeft 7 tegels langs elke zijde, dus de wortel van een oppervlakte is de lengte van de zijde.

Kwadraten: de eerste 15 kwadraatgetallen

Kwadraten, ook kwadraatgetallen of vierkantsgetallen, zijn de uitkomsten als je een heel getal met zichzelf vermenigvuldigt. Hun wortels zijn hele getallen, dus elk kwadraat is ook een wortelfeit.

Het nationale curriculum wiskunde van Engeland vraagt leerlingen in Year 5, ongeveer groep 7, om "kwadraten en derdemachten te herkennen en te gebruiken, met de notatie voor kwadraat (²) en derde macht (³)". De eerste tien rijen komen rechtstreeks uit de tafels, en daarom betaalt het stuk over snel de tafels leren zich ook hier terug.

Een wortel berekenen, stap voor stap

Een wortel bereken je in vier stappen: kijk of het een kwadraat is, zet het getal tussen twee kwadraten, schat en controleer door te kwadrateren. Neem √50 als voorbeeld.

1. Vraag of het een kwadraat is. Staat het getal bij de kwadraten, dan weet je de wortel: √144 = 12. Het getal 50 staat er niet bij, dus ga door.
2. Zoek de twee kwadraten eromheen. 50 ligt tussen 49 = 7² en 64 = 8², dus √50 ligt tussen 7 en 8.
3. Schat met de afstanden. 50 ligt 1 boven 49 en 14 onder 64, dus √50 ligt veel dichter bij 7. Van 49 tot 64 is 15, dus een goede eerste schatting is 7 + 1⁄15, ongeveer 7,07.
4. Controleer door te kwadrateren. 7,07 × 7,07 = 49,9849, en dat ligt dicht bij 50. Een rekenmachine geeft √50 ≈ 7,0711, dus de schatting klopt op twee decimalen.

Dezelfde vier stappen werken voor elk heel getal. Bij √30 zijn de buren 25 en 36, dus de wortel ligt tussen 5 en 6, iets onder het midden, en 5,5 × 5,5 = 30,25 bevestigt dat.

Gratis spelen in je browserKwadratenGroep 6–8

Waar het misgaat: wortels van sommen

De wortel van een som is niet de som van de wortels. √(9 + 16) = √25 = 5, terwijl √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Reken eerst alles onder het wortelteken uit en trek dan pas de wortel.

OpenStax laat hetzelfde zien met een uitgewerkt paar: "In ⓐ namen we eerst elke wortel en telden ze daarna op. In ⓑ telden we eerst onder het wortelteken op en zochten daarna de wortel." Vermenigvuldigen mag je wel splitsen, dus √(4 × 9) = √36 = 6 en √4 × √9 = 2 × 3 = 6.

Vier manieren om een wortel te berekenen naast elkaar

De vier manieren om een wortel te berekenen zijn herinneren, schatten en controleren, ontbinden in priemfactoren en de rekenmachine. Elke manier past bij een ander getal en een ander moment op school.

Ontbinden in priemfactoren werkt omdat in een kwadraat elk priemgetal een even aantal keer voorkomt. 324 = 2² × 3⁴, dus √324 = 2 × 3² = 18, en 18 × 18 = 324 bevestigt dat. Het stuk over priemgetallen laat zien hoe je een factorboom maakt, en de deelbaarheidstoets daar stopt om dezelfde reden bij de wortel van het getal.

Welke manier in welk leerjaar

Het leerjaar bepaalt welke manier eerst komt. Herinneren komt eerst, want kwadraten bouwen voort op de tafels en de notatie ².

In Nederland noemen de conceptkerndoelen rekenen en wiskunde van SLO voor de onderbouw van het voortgezet onderwijs "machtsverheffen en worteltrekken" naast de vier hoofdbewerkingen, en ze zeggen dat leerlingen daar "kennis maken met nieuwe getallen, zoals irrationele getallen". In de VS komen wortels in grade 8: Common Core-standaard 8.EE.A.2 vraagt leerlingen "wortels van kleine kwadraten uit te rekenen" en "te weten dat √2 irrationaal is".

Standaard 8.NS.A.2 voegt schatten toe: "laat door de decimalen van √2 af te kappen zien dat √2 tussen 1 en 2 ligt, dan tussen 1,4 en 1,5". Ontbinden in priemfactoren past in de VS bij grade 7 en 8, en de rekenmachine komt het laatst, als controle op een schatting.

Praktische tips zodat wortels blijven hangen

Wortels blijven hangen als de kwadraten automatisch gaan, dus leer ze tot 15², en tot 20² als je kind richting algebra gaat. Vijf minuten per dag met het spel met kwadraten zorgt dat 13² = 169 en 14² = 196 zonder rekenen terugkomen.

Gebruik het laatste cijfer als filter. Een kwadraat eindigt alleen op 0, 1, 4, 5, 6 of 9, dus op 2, 3, 7 of 8 eindigt er nooit een.

De regel van het laatste cijfer sluit 47, 83 en 572 in één oogopslag uit. De regel filtert alleen: 26 eindigt op 6 en is toch geen kwadraat.

Koppel wortels aan hoofdrekenen. √2500 = 50 omdat 50 × 50 = 2500, en √1600 = 40 om dezelfde reden. De gids met trucs voor hoofdrekenen die werken heeft meer van zulke korte wegen.

Gratis spelen in je browserTafelsGroep 5+

Een oefenregel: kwadrateer altijd het antwoord

Het antwoord kwadrateren is de ene gewoonte die elke foute wortel vangt. Kwam √196 uit op 13, dan laat 13 × 13 = 169 de vergissing zien, en 14 × 14 = 196 de verbetering. Vraag bij elke huiswerkvraag om de controle, tot je kind het zonder vragen doet.

Zo controleer je de vooruitgang met wortels

Vijf signalen laten zien of wortels begrepen zijn, en elk kost minder dan een minuut.

• Herinneren: Vraag naar √121, √169 en √225. De antwoorden 11, 13 en 15 moeten elk binnen drie seconden komen.
• Plaatsen: Vraag tussen welke twee hele getallen √90 ligt. Het antwoord is 9 en 10, want 81 < 90 < 100.
• Schatten: Vraag naar √65 op één decimaal. Ongeveer 8,1 is goed, want 65 ligt 1 boven 64.
• Sommen onder het teken: Geef √(36 + 64). Het antwoord is 10, en 14 betekent dat de wortels eerst getrokken zijn.
• De reden: Vraag waarom √0,25 = 0,5. "Omdat 0,5 × 0,5 = 0,25" laat het idee zien; "omdat het de helft is" niet.

Een toets van vijf minuten

Een toets van vijf minuten neemt van elke soort één vraag en komt twee keer per week terug met nieuwe getallen. Beoordeel de controle net zo goed als het antwoord: een leerling die √50 ≈ 7,07 schrijft en dat kwadrateert tot 49,98, begrijpt wortels. Het rekenspel voor groep 8 bundelt oefening voor het leerjaar waarin kwadraten en machten samenkomen.

Veelgemaakte fouten en randgevallen bij wortels

Vijf fouten veroorzaken de meeste foute wortels, en elke fout heeft een oplossing van één regel.

• √16 = 8: Het getal is gehalveerd. Kwadrateer het antwoord: 8 × 8 = 64, dus de wortel is 4.
• √(9 + 16) = 7: De wortels zijn voor het optellen getrokken. Tel eerst op: √25 = 5.
• √50 = 25: Dezelfde halveerfout bij een groter getal. Zet 50 liever tussen 49 en 64.
• √2 = 1,414 precies: √2 is irrationaal, dus schrijf √2 ≈ 1,414; 1,414 × 1,414 = 1,999396.
• √49 = ±7: Het wortelteken geeft één antwoord. Schrijf √49 = 7, en −√49 = −7 voor de negatieve wortel.

Negatieve getallen vragen aandacht. Zowel 7 × 7 als (−7) × (−7) is 49, dus 49 heeft twee wortels, en het teken √ kiest de positieve, de hoofdwortel. OpenStax zegt het zonder omwegen: "Het wortelteken, √, staat voor de positieve wortel."

Wortels van negatieve getallen

Een negatief getal heeft geen reële wortel, want elk reëel getal keer zichzelf is nul of positief. OpenStax zegt dat "er geen reëel getal is waarvan het kwadraat −169 is", dus √−4 heeft geen reëel antwoord. Het stuk over negatieve getallen legt uit waarom negatief keer negatief positief is, en dat is de reden achter de regel.

Je checklist voor wortels en de volgende stappen

• Ken de kwadraten: 1² tot 15² uit het hoofd, met 225 als laatste.
• Plaats het getal: zoek het kwadraat eronder en het kwadraat erboven.
• Schat met de afstand: dichter bij het lagere kwadraat betekent dichter bij de lagere wortel.
• Eerst onder het teken: √(a + b) splits je nooit in √a + √b.
• Kwadrateer het antwoord: de controle kost tien seconden en vangt elke vergissing.

Het curriculum van Engeland gaat in Key Stage 3, ongeveer de brugklas tot klas 3, verder met wortels: leerlingen "maken onderscheid tussen exacte schrijfwijzen van wortels en hun decimale benaderingen". Dat is de grens tussen √2 en 1,414, en de vijf gewoontes hierboven bereiden daarop voor.

MathIt is een gratis app voor iOS en Android met ongeveer 90 speltypen, een moeilijkheid die zich aanpast aan elke speler en dagelijkse oefening, zodat kwadraten pas moeilijker worden als de makkelijke goed gaan. Tweeëntwintig van de spellen, waaronder het spel met kwadraten, spelen gratis in de browser zonder account.