平方根讲解：什么是平方根，怎样求一个数的平方根

初中的孩子卡在 √50 上，计算器给出 7.0710678，看起来像是凭空冒出来的。平方根听上去像一种新运算，其实就是把平方倒过来做，而乘法口诀里的平方数几乎藏着所有答案。把这层关系想清楚，你就能用笔算出平方根，几秒钟就验算完。

什么是平方根？

如果一个数的平方等于 a，这个数就叫作 a 的平方根。7 × 7 = 49，所以 7 是 49 的一个平方根；10 × 10 = 100，所以 10 是 100 的一个平方根。符号 √ 叫作根号，√49 读作“根号 49”，表示 49 的算术平方根。

OpenStax《Prealgebra》用一句话下了定义：平方等于 m 的数，叫作 m 的平方根。平方和开平方互为逆运算，就像乘法和除法一样。平方这一半见乘方这篇。

画个图更直观。用 49 块瓷砖拼成一个正方形，每条边是 7 块，所以面积的算术平方根就是边长。

完全平方数：前 15 个

完全平方数，也叫平方数，是一个整数乘它自己得到的数。它们的算术平方根是整数，所以每个完全平方数也是一条平方根口诀。

国内在初中第四学段学平方根。教育部《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求学生“了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根”，还要“会用平方运算求百以内完全平方数的平方根”。英格兰的数学国家课程更早，五年级就要求认识和使用平方数、立方数以及 ² 和 ³ 的写法。表里前九个数直接来自九九乘法口诀，所以怎样快速背会乘法口诀在这里同样有用。

平方根怎么求：一步一步来

求一个数的算术平方根分四步：看是不是完全平方数，夹在两个完全平方数之间，估算，再平方验算。下面以 √50 为例。

1. 看它是不是完全平方数。 如果这个数在平方数表里，直接说出平方根：√144 = 12。50 不在表里，往下走。
2. 找出它前后的两个完全平方数。 50 在 49 = 7² 和 64 = 8² 之间，所以 √50 在 7 和 8 之间。
3. 按距离估算。 50 比 49 大 1，比 64 小 14，所以 √50 离 7 近得多。49 到 64 相差 15，第一次可以估 7 + 1/15，约等于 7.07。
4. 平方验算。 7.07 × 7.07 = 49.9849，很接近 50。计算器给出 √50 ≈ 7.0711，所以估算值精确到了两位小数。

同样四步适用于任何整数。求 √30，前后两个平方数是 25 和 36，所以平方根在 5 和 6 之间，比中间稍小一点；5.5 × 5.5 = 30.25 证实了这一点。

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最容易错的地方：和的平方根

和的平方根不等于平方根的和。√(9 + 16) = √25 = 5，而 √9 + √16 = 3 + 4 = 7。根号下面的式子要先算完，再开平方。

OpenStax 用一组例题讲的也是这一点：一道先分别开平方再相加，另一道先在根号下相加再开平方，结果不一样。乘法却可以拆开：√(4 × 9) = √36 = 6，√4 × √9 = 2 × 3 = 6。

四种求平方根的方法对比

求平方根有四种方法：直接想、估算再验算、分解质因数和用计算器。每种方法适合不同的数，也适合不同的学习阶段。

分解质因数能用，是因为完全平方数里每个质因数都出现偶数次。324 = 2² × 3⁴，所以 √324 = 2 × 3² = 18，18 × 18 = 324 验证无误。质数讲解讲了怎样画因数树，它的整除检验只试到这个数的平方根为止，原因也在这里。

哪个阶段用哪种方法

学习阶段决定先用哪种方法。直接想排在第一，因为平方数早在乘法口诀和面积计算里就出现了。

国内常见教材在初一下学期或初二上学期学平方根，具体看教材版本。课程标准还要求学生“能用有理数估计一个无理数的大致范围”，并“会用计算器计算平方根和立方根”。美国放在八年级：共同核心标准 8.EE.A.2 要求求出较小的完全平方数的平方根，并知道 √2 是无理数。

美国标准 8.NS.A.2 还加了估算：截取 √2 的小数，说明 √2 在 1 和 2 之间，再在 1.4 和 1.5 之间。分解质因数适合初中阶段，计算器放在最后，用来检查估算。

让平方根记得牢的几个办法

平方数背熟了，平方根才记得牢，所以平方数要背到 15²；如果孩子马上要学二次根式和一元二次方程，就背到 20²。每天在平方数游戏里练五分钟，13² = 169、14² = 196 就能脱口而出。

用个位数做筛子。完全平方数的个位只可能是 0、1、4、5、6 或 9，所以个位是 2、3、7、8 的数一定不是完全平方数。

一眼就能排除 47、83 和 572。这条规则只能用来筛：26 的个位是 6，照样不是完全平方数。

把平方根和口算连起来。√2500 = 50，因为 50 × 50 = 2500；√1600 = 40 也是同样的道理。这类窍门更多见真正管用的口算技巧。

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一条练习规矩：答案一定要平方验算

把答案平方，这一个习惯就能抓住所有算错的平方根。如果 √196 算成了 13，13 × 13 = 169 会暴露错误，14 × 14 = 196 就是正确答案。每道作业题都要求验算，直到孩子不用提醒自己就会做。

怎么检查是否学会了平方根

五个信号能看出平方根有没有真正弄懂，每个用不了一分钟。

• 直接想： 问 √121、√169 和 √225。答案 11、13 和 15，每个应该在三秒内说出来。
• 夹逼： 问 √90 在哪两个整数之间。答案是 9 和 10，因为 81 < 90 < 100。
• 估算： 让孩子把 √65 估到一位小数。约 8.1 是对的，因为 65 只比 64 大 1。
• 根号下的和： 出 √(36 + 64)。答案是 10；答 14，说明先分别开了平方。
• 说理由： 问为什么 √0.25 = 0.5。答“因为 0.5 × 0.5 = 0.25”说明懂了；答“因为除以 2”说明没懂。

五分钟小测

五分钟小测每类题各出一道，每周做两次，每次换新数。批改时既看答案，也看验算：写出 √50 ≈ 7.07，又平方得到 49.98 的学生，是真懂平方根。六年级数学游戏页面集中了平方和乘方相遇那个年级的练习。

平方根的常见错误和特殊情况

平方根的错答大多出自五种错误，每种都有一句话的纠正。

• √16 = 8： 把 16 除以了 2。平方验算：8 × 8 = 64，所以算术平方根是 4。
• √(9 + 16) = 7： 先开平方再相加。应该先加：√25 = 5。
• √50 = 25： 同样是除以 2 的错误，只是数大了。应该把 50 夹在 49 和 64 之间。
• √2 正好等于 1.414： √2 是无理数，应该写 √2 ≈ 1.414；1.414 × 1.414 = 1.999396。
• √49 = ±7： 根号表示算术平方根，只有一个答案。写 √49 = 7；要表示 49 的两个平方根，写 ±√49 = ±7。

负数要特别小心。7 × 7 和 (−7) × (−7) 都等于 49，所以 49 有两个平方根，它们互为相反数，根号 √ 取的是正的那个，也就是算术平方根。OpenStax 也写明：根号 √ 表示正的平方根。

负数有没有平方根

负数没有平方根，因为任何数乘它自己，结果不是 0 就是正数。OpenStax 指出，没有哪个实数的平方是 −169，所以 √−4 在实数范围内没有答案。负数讲解讲了为什么负数乘负数得正数，这正是这条规则背后的原因。

平方根检查清单和下一步

• 背熟平方数： 1² 到 15²，最后一个是 225。
• 夹在中间： 找出它前后的两个完全平方数。
• 按距离估算： 离下面的平方数近，平方根就离下面的整数近。
• 先算根号下面： √(a + b) 永远不能拆成 √a + √b。
• 平方验算： 验算只要十秒钟，能抓住每一个错误。

到了初中后面，课程标准还要求学生会用二次根式（根号下仅限于数）的加、减、乘、除法则进行简单的四则运算。这时要分清准确值 √2 和近似值 1.414，上面五个习惯正是为此打底。

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