四則演算の順番：一歩ずつ計算してみる

きまりを一文で言うと？

式はこの順で進めます。かっこの中が先、次に累乗、次にかけ算とわり算を左から順に、最後にたし算とひき算を左から順に。きまりはこれで全部です。以下はすべて、この一文をていねいに当てはめただけです。

このきまりが何ではないかを知っておくと役に立ちます。ここには証明も、自然の法則もありません。4 + 3 × 5を読んだ人が全員同じ数にたどり着くように決めた、書き方の約束です。約束がなければ、先に足す人は35、先にかける人は19になり、どちらが読み違えたのか誰にも言えません。約束があるので、答えは19です。3 × 5を先にして、4をたします。

かっこは上書きのスイッチです。きまりで表せることは、かっこならもっとはっきり表せます。だから式が読みにくいときは、かっこを足すのがいつでも正しい直し方です。

海外の PEMDAS や BODMAS は別のきまりですか？

いいえ。同じ約束を、学んだ国ごとにちがう頭文字で覚えているだけです。日本語の言い方、つまり「かっこの中を先に、累乗を次に、かけ算とわり算を先に、左から順に」と、中身は完全に同じです。文字は変わりますが、手の順番は変わりません。

気づいておくとよいことが3つあります。

• 頭のPとBはどちらもかっこです。E、O、Iはどれも累乗、つまり3の2乗や2の3乗を指します。
• PEMDASはMがDより前、BODMASはDがMより前に並びます。これは何も変えません。2つは同じ強さで、頭文字はどちらかを先に印刷するしかなかっただけです。算数のほうは気にしていません。
• どの並びも、いちばん大事な一手を隠しています。同じ強さなら左から、という決め手です。

多くの人が間違えるのはどこですか？

頭文字を6つの段として数えてしまうことです。段は4つです。かけ算とわり算が1つの段を分け合い、たし算とひき算がもう1つを分け合うからです。

1. かっこ。いちばん内側から。
2. 累乗。
3. かけ算とわり算を、左から順に。
4. たし算とひき算を、左から順に。

同じ段の中では、式を文のように左から読み、先に出てきたほうを取ります。短い3行が、それぞれ頭文字が誘う間違った答えつきで、そこを見せてくれます。

• 10 − 4 + 3 = 6 + 3 = 9。10 − 7 = 3ではありません。
• 100 ÷ 5 ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10。100 ÷ 2.5 = 40ではありません。
• 20 − 12 ÷ 4 × 2 = 20 − 3 × 2 = 20 − 6 = 14。20 − 12 ÷ 8 = 18.5ではありません。

どの場合も、間違った答えは、左から読むかわりに頭文字を1文字ずつ守ったところから出ています。自分で確かめるなら、1つの式に×と÷が両方、または+と−が両方あるとき、どちらが左にあるかを先に口に出してください。

例題5つを一歩ずつ

やさしい順に5行、1回のかけ算から、入れ子のかっこと累乗まで。どれも1行に1手で書いてあります。まねしてほしいのはこの形です。

1. 4 + 3 × 5

かけ算はたし算より強いので、先に来ます。

1. 3 × 5 = 15
2. 4 + 15 = 19

答えは19。

2. 8 + 2 × (7 − 3)

中身が何であれ、かっこが先です。

1. 7 − 3 = 4
2. 2 × 4 = 8
3. 8 + 8 = 16

答えは16。

3. 20 − 12 ÷ 4 × 2

かっこも累乗もないので、3段目から始めて左から読みます。わり算のほうが左にあるので、先に来ます。

1. 12 ÷ 4 = 3
2. 3 × 2 = 6
3. 20 − 6 = 14

答えは14。

4. 5 + 2 × 3の2乗

累乗がついているのは3だけで、2 × 3にではありません。

1. 3の2乗 = 9
2. 2 × 9 = 18
3. 5 + 18 = 23

答えは23。累乗が出てくると2乗はいつも顔を出すので、形で覚えておく価値があります。平方数のゲームがそこを練習します。

5. 2 × (3 + (10 − 4) ÷ 2)の2乗 − 7

入れ子のかっこです。いちばん内側を片づけ、外側のかっこを同じ4段で仕上げ、そのあと累乗、かけ算、ひき算の順に進みます。

1. 10 − 4 = 6。式は 2 × (3 + 6 ÷ 2)の2乗 − 7 になります
2. かっこの中は、たし算よりわり算が先。6 ÷ 2 = 3
3. 3 + 3 = 6。式は 2 × 6の2乗 − 7 になります
4. 6の2乗 = 36
5. 2 × 36 = 72
6. 72 − 7 = 65

答えは65。

1行に1手で書くのは手間ではありません。左から読み落とすのを止める習慣であり、計算の順序のゲームが間違いを見せるときに使う形でもあります。

なぜ 6 ÷ 2(1 + 2) で意見が割れるのですか？

計算が難しいからではなく、式の書き方が悪いからです。数年ごとに 6 ÷ 2(1 + 2) や 8 ÷ 2(2 + 2) のような式が広まり、コメントの半分が1、もう半分が9や16と言い、どちらもきまりを持ち出せます。

教わったとおりに約束を当てはめると、こうなります。

• 6 ÷ 2(1 + 2) は 6 ÷ 2 × 3 になり、3 × 3 = 9
• 8 ÷ 2(2 + 2) は 8 ÷ 2 × 4 になり、4 × 4 = 16

ここでの 2(1 + 2) は、記号を省いたかけ算です。標準の読み方はこれをふつうのかけ算として扱うので、わり算と同じ強さになり、左から順が順番を決めます。

もう一方は、2(1 + 2) を1つにくっついた量として読みます。記号を省いたかけ算が、わり算の記号よりも強く結びついて見えるからです。この読み方だと 6 ÷ 6 = 1、8 ÷ 8 = 1 になります。まったくの思いつきではありません。文字式では 2x を1つのかたまりとして読みますし、電卓の機種によって本当に答えが分かれるので、同じ部屋の2台がちがう数を出します。

つまり言い争いの中身は計算ではなく、どの頭文字もカバーしなかった書き方のすき間です。まじめに数学を書く人は、あの行を世に出しません。次のどちらかに書き、そうすれば争うところは何も残りません。

• (6 ÷ 2) × (1 + 2) = 9
• 6 ÷ (2 × (1 + 2)) = 1

この話題全体から取るべき教訓はこれです。読む人が2通りに取れるなら、かっこを足す。

よくある4つの間違い

4つの誤りで、間違った答えのほとんどが説明できます。うち3つは、左から順よりも頭文字を信じたところから来ます。

1. かけ算とわり算を別の段にする。 20 − 12 ÷ 4 × 2 で 4 × 2 = 8 を先にすると 20 − 1.5 = 18.5 になります。答えは14です。
2. たし算とひき算を別の段にする。 10 − 4 + 3 で 4 + 3 を先にすると3になります。答えは9です。
3. 累乗が隣まで飲み込む。 2 × 3の2乗 では累乗は3だけにかかるので 2 × 9 = 18 であって、(2 × 3)の2乗 = 36 ではありません。
4. 書くつもりだったかっこを落とす。 分数の線は上と下をまとめますが、1行に書いたわり算の記号はまとめません。3 + 1 の全部を下に置くつもりで 12 ÷ 3 + 1 と書くと、3ではなく5になります。12 ÷ (3 + 1) と打ってください。

きまりを体に入れるには？

長い式ではなく、短い混合の式を、4つの段を目の前に置いて解くことです。きまりを読むのは2分ですが、時間に追われながら使うのは別の技術です。

それを速くするものが4つあります。

1. 化け物のような式ではなく、演算が3つの式を練習する。20 − 12 ÷ 4 × 2 のほうが、半ページもある式より多くを教えます。順番だけを試しているからです。
2. いま行った一手を、例題のように1行ずつ書く。
3. 土台の計算を先に速くする。12 ÷ 4 に3秒かかるなら、きまりそのものに残る注意がありません。本当に使える暗算のコツがその層を扱います。
4. 1回の練習で演算を混ぜる。かけ算だけのプリントでは順番は試されません。混ざったプリントなら試されます。印刷できる小学5年生向けのまとめプリントがそのためのもので、答えもついています。

日本では四則の混じった式とかっこは小学4年で登場し、累乗と文字式は中学1年に入ってから扱います。文字が来ると 3(x + 4) − 2 のような行は読み方が1つしかなくなり、xを求めるゲームもそれが読める前提で作られています。小学5年生向けの算数ゲームのページに、その前後のブラウザゲームがまとまっています。

MathIt の約90種類のゲームのうち22種類は登録なしでブラウザで動きます。iOS と Android の無料アプリでは難しさが答えに合わせて動くので、短い式が取れるようになってから、式は長く、かっこは深くなります。