多角形とは何か：名前の付け方と見分け方をやさしく解説

小学2年生のお子さんが図形のプリントを持ち帰り、「多角形はどれ？」と聞いてくる。六角形も円も同じくらい親しみやすく見えます。多角形とは何かは、1つの決まりで答えられます。まっすぐな辺で囲まれた、平らで閉じた図形です。この決まりがあれば、多角形の名前は辺を数え、いくつかの性質を確かめるだけで分かります。

多角形とは？小学校で大切な理由

多角形とは、平らで閉じていて、まっすぐな辺だけでできた図形で、辺は少なくとも3本あります。OpenStax Contemporary Mathematicsは「多角形とは、直線の辺の数で分類される、閉じた2次元の図形である」と1行で定義しています。辺はその両はしでだけ出会い、その点を頂点（かど）と呼びます。

多角形は、小学校の図形の学習全体に出てきます。小学校学習指導要領では、小学2年生で三角形、四角形、正方形、長方形を、小学4年生で平行四辺形、ひし形、台形を学び、小学5年生で「三角形や四角形など多角形についての簡単な性質」と正多角形を学びます。アメリカのCommon Coreの2.G.A.1は2年生に、角の数などの特徴をもつ図形を見分けてかき、三角形、四角形、五角形、六角形、立方体を見分けることを求めています。学年ごとの流れは学年別に身につけたい算数にまとめています。

言葉の成り立ちも助けになります。英語の polygon は「多くの（poly）角（gon）」という意味で、日本語の「多角形」もそのまま「多くの角をもつ形」です。

多角形かどうか：円、開いた図形、曲線、立方体

図形が多角形でないのは、平ら、閉じている、まっすぐな辺だけ、辺が3本以上、という4つの決まりのどれか1つでも破るときです。子どもがよくつまずくのは次の4つです。

• 円： 円には曲がった線が1本あるだけで、まっすぐな辺がないので、多角形ではありません。
• 開いた図形： はしがつながっていないまっすぐな線のジグザグは閉じていないので、多角形ではありません。
• 曲がった辺のある図形： 3本のまっすぐな辺と丸い上の部分でできた「墓石」のような形は、1本の辺が曲がっているので多角形ではありません。
• 立方体や箱： 立方体は立体です。立方体の面は正方形で、それぞれの面は多角形ですが、立方体そのものは多角形ではありません。

辺が交わる図形は5つ目の場合です。まっすぐな線で8の字をかき、真ん中で2本の辺が交わる図形は単純な多角形ではなく、学校の算数では扱いません。お子さんに指でふちをなぞってもらい、指が自分の通った道を横切ったら、その図形は数に入りません。

多角形の名前の付け方の手順

多角形の名前は、多角形かどうかの確認から角の形まで、5つのチェックで決まります。紙の図形やパターンブロックを使い、声に出して進めましょう。

1. 多角形か確かめる。 指でふちをなぞります。同じ点で始まって終わり、辺はまっすぐで、交わりがないことを確かめます。
2. 辺を数える。 最初の辺にえんぴつで点を打って、どこから数え始めたか分かるようにし、ぐるりと数えます。辺の数はいつも頂点の数と同じです。
3. 数を名前に合わせる。 3本は三角形、4本は四角形、5本は五角形、6本は六角形、7本は七角形、8本は八角形、9本は九角形、10本は十角形です。日本語では数字に「角形」をつけるだけなので、英語の tri、quad、penta のような接頭語を覚える必要はありません。
4. 正多角形かどうか確かめる。 OpenStaxは「多角形のすべての辺の長さが等しく、すべての角が等しいとき、正多角形と呼ぶ」と書いています。辺を定規で測り、図形を重ねて角を比べます。
5. 凸か凹か確かめる。 凸多角形は、どの頂点も外側を向いています。凹多角形は、矢印の切れこみや星のように、内側にへこんだ頂点が少なくとも1つあります。

名前はこのチェックを重ねて作ります。ハチの巣の部屋なら「正六角形」、矢印なら「へこみのある七角形」のようになります。

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まちがえやすいところ：正方形は長方形でもあり、ひし形でもある

正方形は、いくつもの仲間に入ります。多くの大人はその反対に覚えています。長方形は4つの角がすべて直角な四角形なので、正方形もふくまれます。ひし形は4つの辺の長さがすべて等しい四角形なので、正方形はそこにもふくまれます。

Common Coreの5.G.B.3は理由をはっきり書いています。「すべての長方形には4つの直角があり、正方形は長方形なので、すべての正方形には4つの直角がある。」次の5.G.B.4は、5年生に性質をもとに図形を階層に分類することを求めています。逆は成り立ちません。ほとんどの長方形は、辺がすべて等しくはないので正方形ではありません。

三角形から十角形までの多角形の名前、辺、角

多角形の名前は辺の数で決まり、角の和は公式で決まります。OpenStaxは、n本の辺をもつ多角形の内角の和を(n − 2) × 180°、正多角形の1つの角を(n − 2) × 180° ÷ nとしています。この公式が成り立つのは、1つの頂点から引いた線が、どんな凸多角形もn − 2個の三角形に分け、三角形1つが180°だからで、そのことは三角形と角の種類で説明しています。日本では、多角形の内角の和を中学2年生で学びます。

八角形の一時停止標識は、アメリカの交通のきまりです。連邦の交通規制設備統一マニュアル（MUTCD）の2B.05節は、「STOP標識は、赤い地に白い文字とふちどりの八角形とする」と定めています。8本の辺が等しいので、角が135°の正八角形です。日本の「止まれ」の標識は、これとちがって赤い逆三角形です。

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すき間なくしきつめられる図形

正多角形で床をすき間なくしきつめられるのは、1つの角が360°をちょうどわり切るときだけです。正三角形（60° × 6 = 360°）、正方形（90° × 4 = 360°）、正六角形（120° × 3 = 360°）は1点のまわりにすき間なく集まるので、ハチの巣やタイルに使われます。正五角形の108°は360°をわり切れないので、正五角形のタイルにはいつもすき間ができます。

家で見つける四角形の仲間

四角形は4本の辺をもつ多角形で、日本では小学2年生で正方形と長方形を、小学4年生で平行四辺形、ひし形、台形を学びます。Common Coreの3.G.A.1も3年生に、ひし形、長方形、正方形を四角形の例として見分け、そのどれにも入らない四角形をかくことを求めています。お子さんが出会う四角形の種類は次のとおりです。

• 平行四辺形： 2組の向かい合う辺がそれぞれ平行な四角形。
• 長方形： 4つの角がすべて直角な四角形。
• ひし形： 4つの辺の長さがすべて等しい四角形。
• 正方形： 長方形でもありひし形でもあり、4つの角がすべて直角で、4つの辺の長さがすべて等しい四角形。
• 台形： 日本の教科書では「向かい合った1組の辺が平行な四角形」と教えます（平行四辺形も台形にふくめるかどうかは国や本によって言い方がちがうので、お子さんの教科書で確かめましょう）。
• たこ形： となり合う2組の辺の長さがそれぞれ等しい四角形で、平行な辺はなくてもかまいません。

台所で探すと、仲間分けが身につきます。シリアルの箱の面は長方形、クラッカーは正方形のこともあり、斜めに切ったケーキは平行四辺形になることがあります。お子さんにそれぞれ2回名前を言ってもらいましょう。「正方形、そして長方形。」

練習の決まり：向きではなく性質で名前をつける

図形は回しても名前が変わりません。45°かたむけた正方形は「ダイヤ」や「ひし形になった」と言われがちですが、辺は等しいままで、角も90°のままなので、正方形のままです。紙の図形をテーブルの上で回し、「変わった？」と聞いて、すぐに「変わらない」と答えられるまで続けましょう。

線対称は、性質を確かめる2つ目の方法です。正方形には対称の軸が4本、正方形でない長方形には2本あるので、紙を折れば見分けられます。折り方は線対称の解説で説明しています。方眼に図形の頂点をかく方法は座標平面の解説にあり、同じ確かめの、学年が上がってからの形です。

多角形の理解を確かめる方法

5つの短い問題で、お子さんが決まりを分かっているのか、絵を覚えているだけなのかが分かります。紙に図形をかき、ヒントなしで聞きましょう。

• 数える： ゆがんだ形にかいた6本の辺の図形は六角形か。はい、6本の辺をもつ多角形はすべて六角形です。
• 除外する： 半円は多角形か。いいえ、1本の辺が曲がっています。
• 正多角形： 細長い長方形は正多角形か。いいえ、辺がすべて等しくはありません。
• 仲間： すべての正方形はひし形か。はい。すべてのひし形は正方形か。いいえ。
• 角の和（中学2年生以上）： 内角の和が1,080°になる多角形は何か。1,080 ÷ 180 = 6、6 + 2 = 8なので、八角形です。

週1回、5分間の図形さがし

週1回の図形さがしで、テストなしに上達が分かります。お子さんに5分間で家の中の多角形を見つけて名前を言ってもらい、「正六角形」や「ふぞろいな五角形」のような完全な名前がいくつ言えたかを数えます。

小学2年生なら三角形と四角形を、小学5年生なら五角形や六角形も辺を数えて名前を言えれば順調です。小学5年生以上なら正多角形かどうかを言い、正方形が長方形でもある理由を説明できるとよいでしょう。無料の小学3年生向けの算数ゲームで、こうした確かめに使う計算をすばやく保てます。

多角形のよくあるまちがいと特別な場合

多角形のプリントでのまちがいの多くは4つにまとめられ、どれも短い直し方があります。

• かたむけた正方形を正方形でないと思う： 「ひし形になった」と言うのは半分だけ正しく、正方形はもともとひし形でもあります。図形を元にもどし、辺と角を確かめます。
• 頂点を2回数える： 辺の多い図形では数えまちがえやすくなります。最初の辺に点を打ち、そこにもどったら止めます。
• 「六角形」を正六角形だと思う： 六角形は6本の辺をもつ多角形すべてのことです。ゆがんだ形でも六角形で、「正」がつくかどうかだけが変わります。
• 立方体を正方形と呼ぶ： 立方体は6つの正方形の面をもつ立体です。面は正方形、物全体は立方体と呼びます。

凹多角形：内角の和の公式はそのまま使える

凹多角形には、180°より大きい内角が少なくとも1つあります。OpenStaxは「多角形を凹にするのは、180°より大きい内角をもつことである」と書いています。多角形かどうかの図にある矢印は7本の辺をもち、切れこみの2つの角が270°、しっぽの2つの角が直角で、矢じりの3つの角は1つの三角形の角です。

これらの角をたすと270° + 270° + 90° + 90° + 180° = 900°で、(7 − 2) × 180° = 900°と一致します。この公式は、凸でも凹でも、すべての単純な多角形で成り立ちます。同じ矢印は面積の練習にもぴったりで、面積と周りの長さの解説のように長方形と三角形に分けて求めます。

多角形のチェックリストと次のステップ

• 平らで閉じている： ふちが同じ点で始まって終わり、紙の上に平らにのる。
• まっすぐな辺だけ： 円や半円のように曲線があれば多角形ではない。
• 辺を数える： 3本から10本で三角形から十角形になる。
• 正多角形かどうか： 辺と角がすべて等しければ正多角形。
• 凸か凹か： 内側にへこんだ頂点があれば凹多角形。
• 性質で名前をつける： 回した正方形も正方形で、長方形でもひし形でもある。

多角形の次は円です。円周の長さと円の面積がそこから続きます。親子で短く遊ぶなら、親子で遊べる算数ゲームで、角の和に使う計算をすばやく保てます。

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