Les polygones expliqués : définition, nom de chaque polygone et comment les reconnaître

Votre enfant de CE1 rapporte une fiche de formes qui demande « Lesquelles sont des polygones ? », et l'hexagone et le cercle ont l'air aussi sympathiques l'un que l'autre. La réponse à la question qu'est-ce qu'un polygone tient en une règle : une figure plane et fermée à côtés droits. Avec cette règle, nommer un polygone revient à compter ses côtés et à vérifier quelques propriétés.

Qu'est-ce qu'un polygone, et pourquoi c'est important du CE1 au CM2

Un polygone est une figure plane, fermée et formée uniquement de côtés droits, et il en a au moins 3. OpenStax Contemporary Mathematics le dit en une ligne : « Un polygone est une figure fermée à deux dimensions, classée selon le nombre de ses côtés droits. » Les côtés ne se touchent qu'à leurs extrémités, en des points appelés sommets.

Les polygones traversent tout le programme de géométrie de l'école. Le programme de mathématiques du cycle 2 attend dès le CE1 que l'élève, devant un polygone, sache « en donner le nombre de sommets et le nombre de côtés », et au CE2 qu'il utilise le vocabulaire « polygone, triangle, quadrilatère, pentagone et hexagone ». Aux États-Unis, la norme Common Core 2.G.A.1 demande la même chose en grade 2, et le guide sur les maths à savoir à chaque niveau situe ces notions dans l'année.

Le mot aide : en grec, « poly » veut dire plusieurs et « gone » veut dire angle, donc un polygone est une figure à plusieurs angles.

Polygone ou pas : cercles, figures ouvertes, courbes et cubes

Une figure échoue au test du polygone dès qu'elle enfreint une des quatre règles : plane, fermée, uniquement des côtés droits, au moins 3 côtés. Quatre figures piègent le plus souvent les enfants :

• Cercle : un cercle a une seule ligne courbe et aucun côté droit, donc ce n'est pas un polygone.
• Figure ouverte : une ligne brisée dont les extrémités ne se rejoignent pas n'est pas fermée, donc ce n'est pas un polygone.
• Figure avec un côté courbe : une forme de « pierre tombale » avec trois côtés droits et un haut arrondi échoue, car un de ses côtés est courbe.
• Cube ou boîte : un cube est un solide en 3D. Ses faces sont des carrés, et chaque face est un polygone, mais le cube lui-même n'en est pas un.

Les côtés qui se croisent sont un cinquième cas. Un huit tracé avec des segments, dont deux côtés se croisent au milieu, n'est pas un polygone simple, et les maths de l'école le laissent de côté. Demandez à votre enfant de suivre le bord avec le doigt : si le doigt recroise son propre chemin, la figure ne compte pas.

Comment nommer un polygone, étape par étape

Nommer un polygone demande cinq vérifications, du test du polygone à la forme de ses sommets. Faites-les à voix haute avec une forme en papier ou un bloc de formes.

1. Vérifiez que c'est un polygone. Suivez le bord avec le doigt. Il doit commencer et finir au même point, avec des côtés droits et sans croisement.
2. Comptez les côtés. Faites un point au crayon sur le premier côté pour savoir où vous avez commencé, puis faites le tour. Le nombre de côtés est toujours égal au nombre de sommets.
3. Associez le nombre à un nom. 3 donne un triangle, 4 un quadrilatère, 5 un pentagone, 6 un hexagone, 7 un heptagone, 8 un octogone, 9 un ennéagone et 10 un décagone. Les préfixes tri, quadri, penta, hexa, hepta, octo, ennéa et déca veulent dire 3 à 10.
4. Vérifiez s'il est régulier ou irrégulier. OpenStax indique que « si tous les côtés d'un polygone ont la même longueur et que tous les angles sont égaux, on parle de polygones réguliers ». Mesurez les côtés avec une règle et comparez les angles en posant une forme sur l'autre.
5. Vérifiez s'il est convexe ou non convexe. Un polygone convexe a tous ses sommets tournés vers l'extérieur. Un polygone non convexe a au moins un sommet qui rentre vers l'intérieur, comme l'encoche d'une flèche ou d'une étoile.

Un nom complet empile les vérifications, comme « un hexagone régulier » pour une alvéole d'abeille ou « un heptagone irrégulier non convexe » pour une flèche.

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Le piège : un carré est un rectangle et un losange

Un carré appartient à plusieurs familles, et la plupart des adultes ont appris le contraire. Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits, donc un carré en fait partie. Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur, donc un carré en fait partie aussi.

La norme américaine Common Core 5.G.B.3 l'explique ainsi : « tous les rectangles ont quatre angles droits et les carrés sont des rectangles, donc tous les carrés ont quatre angles droits ». La norme suivante, 5.G.B.4, demande de classer les figures planes « selon une hiérarchie fondée sur leurs propriétés ». L'inverse est faux : la plupart des rectangles ne sont pas des carrés, car leurs côtés ne sont pas tous égaux.

Noms des polygones, côtés et angles du triangle au décagone

Le nom d'un polygone suit le nombre de ses côtés, et la somme de ses angles suit une formule. OpenStax donne la somme des angles intérieurs d'un polygone à n côtés, (n − 2) × 180°, et la mesure de chaque angle d'un polygone régulier, (n − 2) × 180° : n. La formule marche parce que les diagonales issues d'un sommet découpent tout polygone convexe en n − 2 triangles, et chaque triangle contient 180°, un fait expliqué dans les types de triangles et d'angles.

La ligne du panneau STOP vient du code de la route. Aux États-Unis, le manuel fédéral de signalisation routière (MUTCD), section 2B.05 précise que « le panneau STOP doit être un octogone avec une inscription et une bordure blanches sur fond rouge », et le panneau STOP français a la même forme. Ses huit côtés sont égaux, donc c'est un octogone régulier aux angles de 135°.

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Quelles figures se juxtaposent sans laisser de trou

Des polygones réguliers pavent un sol seulement quand un de leurs angles divise exactement 360°. Les triangles (60° × 6 = 360°), les carrés (90° × 4 = 360°) et les hexagones (120° × 3 = 360°) se placent autour d'un point sans laisser de trou, c'est pourquoi les ruches et les carrelages les utilisent. L'angle de 108° d'un pentagone régulier ne divise pas 360°, donc un carrelage de pentagones réguliers laisse toujours des trous.

La famille des quadrilatères à la maison

Les quadrilatères sont les polygones à quatre côtés, et l'école primaire leur consacre l'essentiel du travail sur les figures. Le programme de cycle 2 attend au CE2 que l'élève sache reconnaître, nommer et décrire le carré, le rectangle et le losange, et le programme de cycle 3 ajoute au CM2 le trapèze et le trapèze rectangle. Aux États-Unis, la norme Common Core 3.G.A.1 fait reconnaître en grade 3 les losanges, les rectangles et les carrés comme des quadrilatères. Les types de quadrilatères que votre enfant rencontre sont :

• Parallélogramme : deux paires de côtés opposés parallèles.
• Rectangle : un parallélogramme qui a quatre angles droits.
• Losange : un parallélogramme qui a quatre côtés de même longueur.
• Carré : à la fois un rectangle et un losange, avec quatre angles droits et quatre côtés égaux.
• Trapèze : un quadrilatère qui a deux côtés opposés parallèles, appelés les bases (les manuels ne disent pas tous si un parallélogramme compte comme un trapèze, donc vérifiez le cahier de votre enfant).
• Cerf-volant : deux paires de côtés consécutifs de même longueur, sans côtés parallèles obligatoires.

Une chasse aux formes dans la cuisine fixe la famille. La face d'une boîte de céréales est un rectangle, un biscuit peut être un carré, et une part de gâteau coupée en biais peut donner un parallélogramme. Demandez à votre enfant de nommer chaque forme deux fois : « un carré, et aussi un rectangle ».

La règle d'entraînement : nommer par les propriétés, pas par la position

Une figure garde son nom quand on la tourne. Un carré tourné de 45° est souvent appelé « losange » par les enfants, et c'est vrai qu'il en est un, mais ses côtés sont toujours égaux et ses angles toujours droits, donc c'est toujours un carré. Tournez des formes en papier sur la table et demandez « Est-ce qu'elle a changé ? » jusqu'à ce que la réponse soit un « non » automatique.

La symétrie donne une deuxième vérification par les propriétés. Un carré a 4 axes de symétrie et un rectangle non carré en a 2, donc plier une forme en papier permet de les distinguer ; le guide sur les axes de symétrie montre comment plier. Placer les sommets d'une figure dans un repère, comme dans le repère du plan expliqué, est la version de fin de primaire et de collège de la même vérification.

Comment vérifier les progrès de votre enfant sur les polygones

Cinq petites questions montrent si votre enfant connaît les règles ou reconnaît seulement des images. Dessinez chaque figure sur papier et posez la question sans indice.

• Compter : une figure à 6 côtés est dessinée de travers. Est-ce encore un hexagone ? Oui, tout polygone à 6 côtés est un hexagone.
• Éliminer : un demi-disque est-il un polygone ? Non, un de ses côtés est courbe.
• Régulier : un rectangle allongé est-il un polygone régulier ? Non, ses côtés ne sont pas tous égaux.
• Famille : tout carré est-il un losange ? Oui. Tout losange est-il un carré ? Non.
• Somme des angles (à partir du CM2) : quel polygone a des angles intérieurs qui font 1 080° au total ? 1 080 : 180 = 6, et 6 + 2 = 8, donc c'est un octogone.

Une chasse aux formes de cinq minutes par semaine

Une chasse aux formes chaque semaine montre les progrès sans test. Donnez cinq minutes à votre enfant pour trouver et nommer des polygones dans la maison, puis comptez combien de noms complets il donne, comme « pentagone irrégulier » ou « hexagone régulier ».

Un élève de CE1 ou de CE2 qui nomme triangles, quadrilatères, pentagones et hexagones en comptant les côtés est en phase avec le programme. Un élève de CM1 ou de CM2 doit ajouter régulier ou irrégulier et expliquer pourquoi un carré est un rectangle. Les jeux de maths pour le CE2, gratuits, gardent rapides les calculs derrière ces vérifications.

Erreurs fréquentes et cas particuliers sur les polygones

Quatre erreurs causent la plupart des mauvaises réponses sur les fiches de polygones, et chacune se corrige vite.

• Ne plus reconnaître un carré penché : un carré posé sur la pointe reste un carré. Remettez la figure droite et vérifiez les côtés et les angles.
• Compter deux fois des sommets : les enfants perdent le fil sur les figures à nombreux côtés. Marquez le côté de départ d'un point et arrêtez-vous en y revenant.
• Croire qu'« hexagone » veut dire régulier : un hexagone est n'importe quel polygone à 6 côtés. Un hexagone de travers compte aussi, seul son qualificatif « régulier » change.
• Appeler un cube un carré : un cube est un solide en 3D à 6 faces carrées. Appelez la face un carré et l'objet entier un cube.

Polygones non convexes : la formule des angles marche encore

Un polygone non convexe a au moins un angle intérieur supérieur à 180°. OpenStax note que « ce qui rend un polygone non convexe, c'est d'avoir un angle intérieur qui mesure plus de 180° ». La flèche de l'image polygone ou pas a 7 côtés, avec deux angles d'encoche de 270°, deux angles droits à la queue et trois angles dans la pointe qui appartiennent à un même triangle.

Ces angles font en tout 270° + 270° + 90° + 90° + 180° = 900°, ce qui correspond à (7 − 2) × 180° = 900°. La formule vaut pour tout polygone simple, convexe ou non. La même flèche est une bonne étape suivante pour l'aire : découpez-la en un rectangle et un triangle, comme dans l'aire et le périmètre expliqués.

Votre liste de contrôle sur les polygones et la suite

• Plane et fermée : le bord commence et finit au même point et la figure tient à plat sur le papier.
• Côtés droits uniquement : toute courbe, comme dans un cercle ou un demi-disque, élimine la figure.
• Comptez les côtés : 3 à 10 côtés donnent les noms du triangle au décagone.
• Régulier ou irrégulier : tous les côtés et tous les angles égaux le rendent régulier.
• Convexe ou non convexe : un sommet qui rentre vers l'intérieur le rend non convexe.
• Nommez par les propriétés : un carré tourné reste un carré, et reste un rectangle et un losange.

Le cercle est la figure qui suit naturellement les polygones, et le guide sur le périmètre et l'aire du cercle prend le relais. Pour une courte séance à deux, le jeu de maths parents-enfants garde rapides les calculs derrière la somme des angles.

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