座標平面の基本：点のとり方と4つの象限の読み方

お子さんの宿題に方眼と点が1つかかれていて、「この点の座標を答えなさい」とあります。これは「東へ4歩、北へ3歩」と書かれた宝の地図と同じ考え方です。では、座標平面とは何でしょう。座標平面は平面上のどの点にもぴったりの住所をつけるしくみで、大事なきまりは「まず横、それから上か下」の1つだけです。

座標平面とは？

座標平面は、直角に交わる2本の数直線でできた平面です。横の数直線がx軸、たての数直線がy軸で、2本が交わる点が原点Oです。日本の中学校学習指導要領は、第1学年の比例、反比例のところで「座標の意味を理解すること」を求めています。アメリカの州共通基礎スタンダード 5.G.A.1も、座標平面を「軸と呼ばれる、垂直に交わる1組の数直線」とし、原点を「それぞれの数直線の0と重なるように」おくと説明しています。

x軸は原点から右へ正の数、左へ負の数で目もりをつけます。y軸は上へ正の数、下へ負の数です。数直線を知っているお子さんは、それぞれの軸をもう知っていることになり、左と下の半分は負の数の解説でくわしく説明しています。

このしくみは、1637年にライデンで『幾何学』を出版したルネ・デカルトにちなんで、デカルト座標とも呼ばれます。MacTutorのデカルトの伝記は、座標を使う幾何学のもとを彼の「代数の幾何学への応用」にあるとしながら、それ以前の数学者にも近い考えがあったと書いています。

座標は (x, y) で、xが先

座標は1つの点の住所で、かっこの中に2つの数を (x, y) と書きます。OpenStaxの初等数学は「順序対 (x, y) は、直交座標系の点の座標を表す」と定義しています。1つ目の数のx座標は左右にどれだけ進むか、2つ目の数のy座標は上下にどれだけ進むかを表します。

英語で「順序対」と呼ぶように、順番にきまりがあります。点(2, 5)は右へ2、上へ5で、点(5, 2)は右へ5、上へ2なので、ちがう場所です。原点Oの座標は (0, 0) です。

図の点AはA(4, 2)、点BはB(−3, 2)、点CはC(−2, −3)、点DはD(3, −4)です。図のI〜IVは第1象限〜第4象限を表し、4つの点はそれぞれちがう象限にあります。どの象限かは、2つの数の符号で分かります。

座標平面に点をとる方法を順番に

座標平面に点をとるには、原点から始めて、x軸にそって1つ目の数だけ進み、次にy軸と平行に2つ目の数だけ進みます。点P(4, 3)で考えてみましょう。

1. 原点を見つける。 2本の軸が交わる (0, 0) にえんぴつをおきます。どの動きもここから始まります。
2. x座標を読む。 1つ目の数は4です。xが正なら右へ、負なら左へ進みます。
3. x軸にそって進む。 右へ4目もり数えます。0から始めて、目もりの線と線の間を数えます。
4. y座標を読む。 2つ目の数は3です。yが正なら上へ、負なら下へ進みます。
5. そこから上か下へ進む。 x軸の4のところから、上へ3目もり数えます。えんぴつは同じたての線の上からはなしません。
6. 点をかいて名前をつける。 点をかき、横にPと書きます。最後に、Pが原点から横へ4、上へ3にあるか確かめます。

負の数の座標も、向きを逆にして同じ手順でとります。点(−2, −3)は左へ2、それから下へ3です。軸の上で−5が−2より左にあると分かるのは、負の数の大小をくらべる力と同じで、ブラウザの数の大小くらべゲームで練習できます。

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つまずきやすいところ：xとyの入れかえ

点をとるときにいちばん多い間違いは2つの数を入れかえることで、(4, 3) が (3, 4) の場所にとられます。どちらの点も方眼の上ではおかしく見えないので、ちらっと見ただけでは気づきません。覚え方は2つあります。「アルファベットではxがyより先」と「ろうかを歩いてから階段を上る」です。

州共通基礎スタンダードも言い方の中にこのきまりを入れていて、1つ目の数は「一方の軸の方向」に、2つ目の数は「もう一方の軸の方向」に進む距離を表し、「x軸とx座標、y軸とy座標」が対応するとしています（5.G.A.1）。点をかく前に「横に4、上に3」と声に出すお子さんは、めったに入れかえません。

グラフの4つの象限とは？

グラフの4つの象限は、x軸とy軸によって座標平面が分けられた4つの部分です。OpenStaxは、象限を「右上から始めて反時計回りに」番号で表すとしています。日本では第1象限、第2象限のように呼び、象限という言葉は高校の数学でよく使いますが、中1のグラフでも同じ4つの部分を使います。どの象限かは、2つの座標の符号で決まります。

Wikipediaの象限の記事も同じ符号、第1象限 (+, +)、第2象限 (−, +)、第3象限 (−, −)、第4象限 (+, −) をあげ、「軸そのものは、ふつうどの象限にもふくまれない」と書いています。

符号だけで象限を読む

象限は、図をかかなくても符号だけで読めます。(−3, 2) なら、xのマイナスは左、yのプラスは上なので、点は第2象限にあります。(5, −1) なら、右と下なので第4象限です。

アメリカのスタンダード6.NS.C.6bは、6年生に「座標の数の符号が、座標平面の象限の位置を表すと理解する」ことを求めています。また、「符号だけがちがう」座標の組は、一方または両方の軸について対称な位置にあるとも書いています。(3, 2) と (−3, 2) は、y軸について対称な点です。

家でできる座標平面の遊び

家での座標遊びに必要なのは、方眼紙とえんぴつと10分だけです。どれも「まず横、それから上」のきまりを、正しくやりたくなる理由と一緒に練習できます。

• 方眼紙で戦艦ゲーム（バトルシップ）： それぞれが−5から5までの軸をかき、点として3つの「船」をかくします。(−2, 4) のように座標を言い合い、順番をまちがえたら1回休みです。4つの象限をすべて使えば、中1の練習になります。
• 点を結んで絵をかく： (0, 0)、(4, 0)、(4, 3)、(2, 5)、(0, 3)、(0, 0) の点を順にとって結びます。家の形になり、xとyを入れかえた点があると、かべが曲がってすぐに分かります。
• 宝の地図： 庭や部屋の見取り図に原点を「家」としてかき、おもちゃをかくして、その場所を座標で書いてお子さんにさがしてもらいます。
• 方眼に比の表をかく： レシピの表の組 (1, 2)、(2, 4)、(3, 6) を点にとります。アメリカのスタンダード6.RP.A.3aは「値の組を座標平面に点としてとる」ことを求めていて、日本の小6の比例のグラフと同じです。点が一直線に並ぶ理由は比の解説で説明しています。

地図の区画と座標のちがい

地図の区画と座標は似ていますが、表すものがちがいます。地図の「B-7」のような区画は1つのますを表すので、そのますの中ならどこでもあてはまります。(2, 7) のような座標は、2本の目もりの線が交わる1つの点を表します。

戦艦ゲームの盤や道路地図はますに名前をつけるしくみで、算数・数学の授業では点に名前をつけるしくみを使います。一度このちがいを話しておけば、もう混乱しません。

座標平面が身についたかを確かめるには

5つの短い問題で、お子さんが座標平面を分かっているのか、あてずっぽうなのかが分かります。

• 座標を読む： 大人が点をとり、その座標を聞きます。横に4、上に3の点を (3, 4) と答えたら、数を入れかえています。
• 2つの点をとる： 同じ方眼に (3, 4) と (4, 3) をとってもらいます。ちがう2つの点になれば、順番のきまりは身についています。
• 象限を答える： (−1, −6)、(7, −2)、(−4, 9) を読み上げ、図をかかずに象限を聞きます。答えは第3、第4、第2象限です。
• 軸のわな： (0, −3) が第何象限か聞きます。正しい答えは「どの象限でもない、y軸の上にある」です。
• 距離： (2, 1) と (2, 6) がどれだけはなれているか聞きます。yだけが変わるので、答えは5です。

家でできる5分の確認

家でできる5分の確認は、3つの点をとる問題、2つの象限の問題、1つの距離の問題を組み合わせます。日本では小6の比例のグラフは正の数だけを使い、アメリカの5年生も第1象限だけを使う（5.G.A.2「第1象限に点をとる」）ので、負の数は中1になるまで出さないでおきましょう。

学年ごとに身につけたい算数で、座標が分数や小数とどう並んでいるかが分かります。その土台の計算は、5年生向けの算数ゲームと6年生向けの算数ゲームで練習できます。

座標平面でよくある間違いとまぎらわしい場合

座標の誤答のほとんどは4つの間違いから来ていて、どれもすぐに直せます。

• xとyを入れかえる： (4, 3) を (3, 4) にとってしまいます。点をとる前に毎回「横、それから上」と言いましょう。
• 間ではなく線を数える： 原点の線を1と数えて、1目もり足りなくなります。0から始めて、線と線の間を数えます。
• 方眼のすみから始める： 4つの象限がある方眼では、左下のすみは (−5, −5) です。どの動きも原点から始めます。
• 軸の上の点に象限をつける： (0, 5) はy軸上、(−2, 0) はx軸上の点です。どちらもどの象限にも入りません。

まぎらわしい場合：xかyが同じ2点の距離

座標の1つが同じ2点の距離は、定規を使わずに求められます。アメリカのスタンダード6.NS.C.8は、「座標と絶対値を使って、1つ目の座標か2つ目の座標が同じ2点の距離を求める」ことを求めています。点A(4, 2)と点B(−3, 2)はどちらもy = 2なので、距離はxの差です。

2点が軸の反対側にあるときは、絶対値をたします。|4| + |−3| = 4 + 3 = 7です。同じ側にあるときはひきます。(2, 1) と (2, 6) の距離は6 − 1 = 5です。スタンダード6.G.A.3は、方眼にかいた多角形の辺の長さにも同じ方法を使っていて、面積と周りの長さにつながります。

座標平面のチェックリストと次の一歩

• 原点から： どの点も (0, 0) から始める。
• x、それからy： 1つ目の数で横へ、2つ目の数で上か下へ進む。
• 符号が向きを決める： プラスは右か上、マイナスは左か下。
• 象限は反時計回り： 第1象限は右上、第2象限は左上、第3象限は左下、第4象限は右下。
• 軸は境目： 座標に0がある点は、どの象限にも入らない。
• xかyが同じなら： 座標だけで距離を求める。

点をとれるようになったら、次は y = x + 1 のような式のグラフをかきます。式を成り立たせる組が、1つずつ平面上の点になります。式の計算は方程式の解き方で説明していて、方程式のゲームでブラウザで練習できます。

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MathIt は iOS と Android の無料アプリで、約90種類のゲームがあり、一人ひとりに合わせて難しさが変わります。毎日の短い練習で、座標の問題を支える負の数と暗算の力がつきます。友だちや家族1〜4人とのリアルタイム算数対戦もでき、33の言語で遊べます。