Polygoner forklart: hva en mangekant er, hva den heter og hvordan du kjenner den igjen

Barnet ditt på 2. trinn kommer hjem med et ark med figurer som spør «Hvilke er polygoner?», og sekskanten og sirkelen ser like vennlige ut. Svaret på hva et polygon er, får plass i én regel: en flat, lukket figur med rette sider. Med den regelen handler det å gi et polygon navn om å telle sider og sjekke noen få egenskaper.

Hva er et polygon, og hvorfor er det viktig fra 2. til 6. trinn?

Et polygon er en flat figur som er lukket og bare består av rette sider, og den har minst 3 av dem. På norsk heter det også en mangekant. OpenStax Contemporary Mathematics sier det på én linje: «Et polygon er en lukket, todimensjonal figur som klassifiseres etter antallet rette sider.» Sidene møtes bare i endene, i punkter som kalles hjørner.

Mangekanter går som en rød tråd gjennom geometrien på barneskolen. Etter 2. trinn skal eleven kunne «utforske, tegne og beskrive geometriske figurer fra sitt eget nærmiljø og argumentere for måter å sortere dem på etter egenskaper», ifølge kompetansemålene etter 2. trinn i LK20. I USA ber Common Core-standarden 2.G.A.1 elever i andre klasse om å kjenne igjen og tegne figurer med et bestemt antall vinkler og å identifisere trekanter, firkanter, femkanter, sekskanter og kuber. Senere trinn sorterer firkanter og setter dem inn i et familietre, slik det står i guiden om hvilken matte hvert trinn bør kunne.

Ordet hjelper: «poly» betyr mange og «gon» betyr vinkel, så et polygon er en figur med mange vinkler. Det norske ordet mangekant sier det samme med kanter.

Polygon eller ikke: sirkler, åpne figurer, buer og kuber

En figur stryker på polygontesten når den bryter én av de fire reglene: flat, lukket, bare rette sider, minst 3 sider. Fire figurer lurer barn oftest:

• Sirkel: en sirkel har én krum kant og ingen rette sider, så den er ikke et polygon.
• Åpen figur: en sikksakk av rette streker der endene ikke møtes, er ikke lukket, så den er ikke et polygon.
• Figur med en krum side: en «gravstein» med tre rette sider og en rund topp stryker, fordi én side er krum.
• Kube eller eske: en kube er en romfigur. Flatene er kvadrater, og hver flate er et polygon, men selve kuben er det ikke.

Sider som krysser hverandre, er et femte tilfelle. Et åttetall tegnet med rette streker, der to sider krysser hverandre på midten, er ikke et enkelt polygon, og skolematematikken holder det utenfor. Be barnet følge kanten med en finger: krysser fingeren sitt eget spor, teller ikke figuren.

Slik gir du et polygon navn, steg for steg

Å gi et polygon navn krever fem sjekker, fra polygontesten til formen på hjørnene. Gå gjennom dem høyt med en papirfigur eller en mønsterbrikke.

1. Sjekk at det er et polygon. Følg kanten med en finger. Den må starte og slutte i samme punkt, med rette sider og ingen kryssinger.
2. Tell sidene. Sett en blyantprikk på den første siden så du vet hvor du startet, og tell rundt. Antallet sider er alltid det samme som antallet hjørner.
3. Finn navnet til antallet. 3 er en trekant, 4 en firkant, 5 en femkant, 6 en sekskant, 7 en sjukant, 8 en åttekant, 9 en nikant og 10 en tikant. På norsk følger navnet tallordet, mens de greske navnene, som pentagon, heksagon og oktagon, betyr det samme.
4. Sjekk regulær eller uregulær. OpenStax skriver at «hvis alle sidene i et polygon er like lange og alle vinklene er like store, kalles de regulære polygoner». Mål sidene med en linjal og sammenlign hjørnene ved å legge én figur oppå en annen.
5. Sjekk konveks eller konkav. Et konvekst polygon har alle hjørnene pekende utover. Et konkavt polygon har minst ett hjørne som går innover, som hakket i en pil eller en stjerne.

Et fullt navn stabler sjekkene, som «en regulær sekskant» for en celle i en bikube eller «en uregulær konkav sjukant» for en pil.

Spill gratis i nettleserenTell objekterFørskole–barnehage

Det mange tar feil av: et kvadrat er et rektangel og en rombe

Et kvadrat hører til flere familier, og de fleste voksne lærte det motsatt. Et rektangel er en hvilken som helst firkant med fire rette vinkler, så et kvadrat teller. En rombe er en hvilken som helst firkant med fire like lange sider, så et kvadrat teller der også.

Common Core 5.G.B.3 forklarer hvorfor: alle rektangler har fire rette vinkler, og kvadrater er rektangler, så alle kvadrater har fire rette vinkler. Den neste standarden, 5.G.B.4, ber elevene ordne todimensjonale figurer i et hierarki etter egenskaper. Det motsatte er feil: de fleste rektangler er ikke kvadrater, fordi sidene ikke er like lange.

Navn på polygoner, sider og vinkler fra trekant til tikant

Navnet på et polygon følger antallet sider, og vinkelsummen følger en formel. OpenStax gir vinkelsummen i et polygon med n sider som (n − 2) × 180°, og hver vinkel i et regulært polygon som (n − 2) × 180° : n. Formelen virker fordi linjer fra ett hjørne deler et konvekst polygon i n − 2 trekanter, og hver trekant har 180°, noe guiden om typer trekanter og vinkler går gjennom.

Raden med stoppskiltet er en trafikkregel. Stoppskilt er åttekantede i mange land, og i USA sier den føderale Manual on Uniform Traffic Control Devices, avsnitt 2B.05 at stoppskiltet skal være en åttekant med hvit tekst og kant på rød bakgrunn. De åtte sidene er like lange, så det er en regulær åttekant med hjørner på 135°.

Spill gratis i nettleserenMultipler i fart3.–5. trinn

Hvilke figurer passer sammen uten mellomrom

Regulære polygoner dekker et gulv bare når én vinkel går opp i 360°. Trekanter (60° × 6 = 360°), kvadrater (90° × 4 = 360°) og sekskanter (120° × 3 = 360°) passer rundt et punkt uten mellomrom, og derfor bruker bikuber og baderomsfliser dem. En regulær femkant har vinkler på 108°, og 108° går ikke opp i 360°, så fliser formet som regulære femkanter gir alltid mellomrom.

Familien av firkanter hjemme

Firkanter er polygonene med fire sider, og barneskolen bruker mye av tiden med figurer på dem. Etter 4. trinn skal eleven kunne «beskrive og utforske egenskaper ved to- og tredimensjonale figurer ved å bruke vinkler, kanter, hjørner og flater», og Common Core 3.G.A.1 ber amerikanske elever i tredje klasse om å kjenne igjen romber, rektangler og kvadrater som eksempler på firkanter og tegne firkanter som ikke hører til noen av disse gruppene. Typene firkanter barnet møter, er:

• Parallellogram: to par parallelle sider.
• Rektangel: et parallellogram med fire rette vinkler.
• Rombe: et parallellogram med fire like lange sider.
• Kvadrat: et rektangel og en rombe på samme tid, med fire rette vinkler og fire like lange sider.
• Trapes: en firkant med ett par parallelle sider (noen lærebøker sier minst ett par, så sjekk boka til barnet).
• Drage: to par like lange sider ved siden av hverandre, uten krav om parallelle sider.

En jakt på kjøkkenet får familien til å sitte. En side på en frokostblandingseske er et rektangel, et knekkebrød kan være et kvadrat, og et kakestykke skåret på skrå kan bli et parallellogram. Be barnet gi hver figur to navn: «et kvadrat, og også et rektangel».

Øvingsregel: gi navn etter egenskapene, ikke etter hvordan figuren står

En figur beholder navnet sitt når du snur den. Et kvadrat som er vridd 45°, kalles ofte en «diamant» eller en «ruter», men sidene er fortsatt like lange og hjørnene fortsatt 90°, så det er fortsatt et kvadrat. Snu papirfigurer på bordet og spør «Ble den forandret?» til svaret er et automatisk «nei».

Symmetri gir en ekstra sjekk av egenskapene. Et kvadrat har 4 symmetriakser og et rektangel som ikke er et kvadrat, har 2, så å brette en papirfigur skiller dem; guiden om symmetriakser viser hvordan du bretter. Å plassere hjørnene i et rutenett, som i koordinatsystemet forklart, er mellomtrinnets versjon av den samme sjekken.

Slik sjekker du fremgangen til barnet med polygoner

Fem korte spørsmål viser om barnet kan reglene eller bare kjenner igjen bilder. Tegn hver figur på papir og spør uten hint.

• Tell: en figur med 6 sider er tegnet skjev. Er den fortsatt en sekskant? Ja, alle polygoner med 6 sider er sekskanter.
• Utelukk: er en halvsirkel et polygon? Nei, én side er krum.
• Regulær: er et langt rektangel et regulært polygon? Nei, sidene er ikke like lange.
• Familie: er alle kvadrater romber? Ja. Er alle romber kvadrater? Nei.
• Vinkelsum (fra mellomtrinnet): hvilket polygon har vinkler som til sammen blir 1080°? 1080 : 180 = 6, og 6 + 2 = 8, så det er en åttekant.

En ukentlig figurjakt på fem minutter

En ukentlig figurjakt viser fremgang uten en prøve. Gi barnet fem minutter til å finne og gi navn til polygoner rundt i huset, og tell hvor mange fulle navn det gir, som «uregulær femkant» eller «regulær sekskant».

Et barn på 2. trinn som gir navn til trekanter, firkanter, femkanter og sekskanter ved å telle sider, er i rute for kompetansemålet etter 2. trinn. En elev på 5. eller 6. trinn bør legge til regulær eller uregulær og forklare hvorfor et kvadrat er et rektangel. Gratis mattespill for 3. trinn holder tallfaktaene bak disse sjekkene raske.

Vanlige feil og spesialtilfeller med polygoner

Fire feil står bak de fleste gale svarene på arbeidsark om polygoner, og hver har en kort løsning.

• Å kalle et vridd kvadrat en diamant: «diamant» er ikke et navn i matematikken. Snu figuren tilbake og sjekk sider og vinkler.
• Å telle hjørner to ganger: barn mister tellingen på figurer med mange sider. Merk startsiden med en prikk og stopp når du kommer tilbake til den.
• Å tro at «sekskant» betyr regulær: en sekskant er et hvilket som helst polygon med 6 sider. En skjev sekskant teller også, og bare merkelappen «regulær» endrer seg.
• Å kalle en kube et kvadrat: en kube er en romfigur med 6 kvadratiske flater. Kall flaten et kvadrat og hele tingen en kube.

Konkave polygoner: formelen for vinkelsummen virker fortsatt

Et konkavt polygon har minst én vinkel som er større enn 180°. OpenStax skriver at det som gjør et polygon konkavt, er en indre vinkel som er større enn 180°. Pilen på bildet med polygon eller ikke har 7 sider, med to vinkler på 270° i hakket, to rette vinkler i bakenden og tre vinkler i pilspissen som hører til én trekant.

Disse vinklene blir til sammen 270° + 270° + 90° + 90° + 180° = 900°, som stemmer med (7 − 2) × 180° = 900°. Formelen gjelder for alle enkle polygoner, konvekse eller konkave. Den samme pilen er et godt neste steg for areal: del den i et rektangel og en trekant, slik det vises i areal og omkrets forklart.

Sjekkliste for polygoner, og neste steg

• Flat og lukket: kanten starter og slutter i samme punkt og ligger flatt på papiret.
• Bare rette sider: en hvilken som helst bue, som i en sirkel eller en halvsirkel, utelukker figuren.
• Tell sidene: 3 til 10 sider gir trekant til og med tikant.
• Regulær eller uregulær: like lange sider og like store vinkler gjør polygonet regulært.
• Konveks eller konkav: et hjørne som går innover, gjør polygonet konkavt.
• Navn etter egenskaper: et kvadrat som er snudd, er fortsatt et kvadrat, og fortsatt et rektangel og en rombe.

Sirkler er den naturlige figuren etter polygoner, og guiden om omkrets og areal av en sirkel fortsetter der. For en kort økt sammen holder mattespillet for foreldre og barn regningen bak vinkelsummene rask.

MathIt er en gratis app for iOS og Android med rundt 90 spilltyper, tilpasset vanskelighetsgrad og korte daglige økter, så multiplikasjonen og divisjonen bak vinkelsummene holder seg rask mens barnet lærer figurene.