Veelhoeken uitgelegd: wat een veelhoek is, hoe elke veelhoek heet en hoe je ze herkent

Je kind in groep 4 komt thuis met een blad vol figuren en de vraag "Welke zijn veelhoeken?", en de zeshoek en de cirkel zien er even vriendelijk uit. Het antwoord op de vraag wat een veelhoek is, past in één regel: een platte, gesloten figuur met rechte zijden. Met die regel komt het benoemen van een veelhoek neer op zijden tellen en een paar eigenschappen controleren.

Wat is een veelhoek, en waarom doet het ertoe in groep 4 tot en met 7

Een veelhoek is een platte figuur die gesloten is en alleen uit rechte zijden bestaat, en hij heeft er minstens 3. OpenStax Contemporary Mathematics zegt het in één regel: "Een veelhoek is een gesloten, tweedimensionale figuur die wordt ingedeeld naar het aantal rechte zijden." De zijden raken elkaar alleen aan hun uiteinden, in punten die hoekpunten heten.

Veelhoeken lopen door de hele meetkunde van de basisschool. In Nederland noemt kerndoel 32 van SLO al voor groep 1 en 2 het "verkennen en onderzoeken van meetkundige basisvormen (cirkel, vierkant, driehoek) en hun eigenschappen". In de VS vraagt Common Core-standaard 2.G.A.1 in grade 2, ongeveer groep 4, om "figuren met bepaalde kenmerken te herkennen en te tekenen, zoals een gegeven aantal hoeken of een gegeven aantal gelijke vlakken" en om "driehoeken, vierhoeken, vijfhoeken, zeshoeken en kubussen te herkennen". In grade 3 worden vierhoeken ingedeeld, en in grade 5 komen ze allemaal in één stamboom, zoals beschreven in wat je kind per leerjaar moet kunnen.

Het woord helpt: een veelhoek is letterlijk een figuur met veel hoeken. Het Griekse woord polygoon zegt hetzelfde, want "poly" betekent veel en "gon" betekent hoek.

Veelhoek of niet: cirkels, open figuren, bochten en kubussen

Een figuur zakt voor de veelhoektest als hij een van de vier regels breekt: plat, gesloten, alleen rechte zijden, minstens 3 zijden. Vier figuren laten kinderen het vaakst struikelen:

• Cirkel: een cirkel heeft één gebogen rand en geen rechte zijden, dus het is geen veelhoek.
• Open figuur: een zigzag van rechte lijnen waarvan de uiteinden elkaar niet raken, is niet gesloten, dus het is geen veelhoek.
• Figuur met een gebogen zijde: een "grafsteen" met drie rechte zijden en een ronde bovenkant zakt, omdat één zijde gebogen is.
• Kubus of doos: een kubus is een ruimtelijke figuur. Zijn zijvlakken zijn vierkanten, en elk zijvlak is een veelhoek, maar de kubus zelf niet.

Zijden die elkaar kruisen, zijn een vijfde geval. Een acht getekend met rechte lijnen, waarbij twee zijden elkaar in het midden kruisen, is geen enkelvoudige veelhoek, en op school laat je die weg. Laat je kind de rand met een vinger natrekken: kruist de vinger zijn eigen pad, dan telt de figuur niet.

Zo benoem je een veelhoek, stap voor stap

Een veelhoek benoemen vraagt vijf controles, van de veelhoektest tot de vorm van de hoeken. Loop ze hardop door met een papieren figuur of een mozaïekblokje.

1. Controleer of het een veelhoek is. Trek de rand met een vinger na. Hij moet op hetzelfde punt beginnen en eindigen, met rechte zijden en zonder kruisingen.
2. Tel de zijden. Zet een potloodstip op de eerste zijde zodat je weet waar je begon, en tel dan rond. Het aantal zijden is altijd gelijk aan het aantal hoeken.
3. Koppel het aantal aan een naam. 3 is een driehoek, 4 een vierhoek, 5 een vijfhoek, 6 een zeshoek, 7 een zevenhoek, 8 een achthoek, 9 een negenhoek en 10 een tienhoek. In de bovenbouw en in andere talen hoor je ook de Griekse namen, zoals pentagoon (5), hexagoon (6) en octagoon (8).
4. Controleer regelmatig of onregelmatig. OpenStax stelt dat "als alle zijden van een veelhoek even lang zijn en alle hoeken gelijk, het regelmatige veelhoeken heten". Meet de zijden met een liniaal en vergelijk de hoeken door de ene figuur op de andere te leggen.
5. Controleer convex of concaaf. Bij een convexe veelhoek wijzen alle hoeken naar buiten. Een concave (holle) veelhoek heeft minstens één hoek die naar binnen deukt, zoals de inkeping van een pijl of een ster.

Een volledige naam stapelt de controles, zoals "een regelmatige zeshoek" voor een honingraatcel of "een onregelmatige concave zevenhoek" voor een pijl.

Gratis spelen in je browserVoorwerpen tellenGroep 1–2

Waar het misgaat: een vierkant is een rechthoek en een ruit

Een vierkant hoort bij meer dan één familie, en de meeste volwassenen hebben het andersom geleerd. Een rechthoek is elke vierhoek met vier rechte hoeken, dus een vierkant telt mee. Een ruit is elke vierhoek met vier gelijke zijden, dus ook daar telt een vierkant mee.

Common Core 5.G.B.3 legt uit waarom: "alle rechthoeken hebben vier rechte hoeken en vierkanten zijn rechthoeken, dus alle vierkanten hebben vier rechte hoeken." De volgende standaard, 5.G.B.4, vraagt in grade 5, ongeveer groep 7, om "tweedimensionale figuren in een hiërarchie in te delen op grond van hun eigenschappen". Andersom klopt het niet: de meeste rechthoeken zijn geen vierkant, omdat hun zijden niet allemaal gelijk zijn.

Namen, zijden en hoeken van veelhoeken, van driehoek tot tienhoek

De namen van veelhoeken volgen het aantal zijden, en de hoekensom volgt een formule. OpenStax geeft de som van de binnenhoeken van een veelhoek met n zijden als (n − 2) × 180°, en elke hoek van een regelmatige veelhoek als (n − 2) × 180° : n. De formule werkt omdat lijnen vanuit één hoekpunt elke convexe veelhoek in n − 2 driehoeken verdelen, en elke driehoek bevat 180°, iets wat de gids over soorten driehoeken en hoeken behandelt.

De rij met het stopbord is een verkeersregel. In de VS zegt het federale Manual on Uniform Traffic Control Devices, paragraaf 2B.05, dat "het STOP-bord een achthoek moet zijn met witte letters en rand op een rode achtergrond", en het Nederlandse stopbord heeft dezelfde achthoekige vorm. De acht zijden zijn gelijk, dus het is een regelmatige achthoek met hoeken van 135°.

Gratis spelen in je browserVeelvouden-raceGroep 5–7

Welke figuren zonder gaten in elkaar passen

Regelmatige veelhoeken betegelen een vloer alleen als één hoek precies in 360° past. Driehoeken (60° × 6 = 360°), vierkanten (90° × 4 = 360°) en zeshoeken (120° × 3 = 360°) passen zonder gaten rond een punt, en daarom gebruiken honingraten en badkamertegels ze. De 108° van een regelmatige vijfhoek past niet precies in 360°, dus tegels in de vorm van een regelmatige vijfhoek laten altijd gaten.

De familie van vierhoeken thuis

Vierhoeken zijn de veelhoeken met vier zijden, en in groep 5 gaat het grootste deel van de tijd voor figuren naar hen. Common Core 3.G.A.1 vraagt in grade 3, ongeveer groep 5, om "ruiten, rechthoeken en vierkanten te herkennen als voorbeelden van vierhoeken, en voorbeelden te tekenen van vierhoeken die bij geen van deze subcategorieën horen". De soorten vierhoeken die je kind tegenkomt, zijn:

• Parallellogram: twee paar evenwijdige zijden.
• Rechthoek: een parallellogram met vier rechte hoeken.
• Ruit: een parallellogram met vier gelijke zijden.
• Vierkant: tegelijk een rechthoek en een ruit, met vier rechte hoeken en vier gelijke zijden.
• Trapezium: minstens één paar evenwijdige zijden (sommige boeken zeggen precies één paar, dus kijk in het boek van je kind).
• Vlieger: twee paar gelijke zijden die naast elkaar liggen, zonder dat er evenwijdige zijden nodig zijn.

Een speurtocht in de keuken laat de familie beklijven. De voorkant van een cornflakesdoos is een rechthoek, een cracker kan een vierkant zijn, en een plak cake die schuin is gesneden, kan een parallellogram vormen. Vraag je kind elke figuur twee keer te benoemen: "een vierkant, en ook een rechthoek."

Oefenregel: benoem de figuur naar zijn eigenschappen, niet naar hoe hij ligt

Een figuur houdt zijn naam als je hem draait. Een vierkant dat 45° gedraaid is, noemen kinderen vaak alleen een "ruit", maar zijn zijden zijn nog steeds gelijk en zijn hoeken nog steeds 90°, dus het is nog steeds een vierkant. Draai papieren figuren op tafel en vraag "Is hij veranderd?" tot het antwoord vanzelf "nee" is.

Symmetrie geeft een tweede controle van de eigenschappen. Een vierkant heeft 4 symmetrieassen en een rechthoek die geen vierkant is, heeft er 2, dus door een papieren figuur te vouwen houd je ze uit elkaar; de gids over symmetrieassen laat zien hoe je vouwt. De hoekpunten van een figuur in een rooster zetten, zoals in het assenstelsel uitgelegd, is de versie van dezelfde controle voor groep 7 en 8.

Zo controleer je de vooruitgang van je kind met veelhoeken

Vijf korte vragen laten zien of je kind de regels kent of alleen plaatjes herkent. Teken elke figuur op papier en vraag zonder hints.

• Tellen: een figuur met 6 zijden is scheef getekend. Is het nog steeds een zeshoek? Ja, elke veelhoek met 6 zijden is een zeshoek.
• Uitsluiten: is een halve cirkel een veelhoek? Nee, één zijde is gebogen.
• Regelmatig: is een lange rechthoek een regelmatige veelhoek? Nee, zijn zijden zijn niet allemaal gelijk.
• Familie: is elk vierkant een ruit? Ja. Is elke ruit een vierkant? Nee.
• Hoekensom (vanaf groep 7): welke veelhoek heeft binnenhoeken die samen 1.080° zijn? 1.080 : 180 = 6, en 6 + 2 = 8, dus het is een achthoek.

Een wekelijkse speurtocht van vijf minuten

Een wekelijkse speurtocht naar figuren laat vooruitgang zien zonder toets. Geef je kind vijf minuten om veelhoeken in huis te vinden en te benoemen, en tel dan hoeveel volledige namen het geeft, zoals "onregelmatige vijfhoek" of "regelmatige zeshoek".

Een kind in groep 4 dat driehoeken, vierhoeken, vijfhoeken en zeshoeken benoemt door de zijden te tellen, ligt op koers voor 2.G.A.1. Een kind in groep 6 of 7 voegt daar regelmatig of onregelmatig aan toe en legt uit waarom een vierkant een rechthoek is. Gratis rekenspellen voor groep 5 houden de rekenfeiten achter die controles vlot.

Veelgemaakte fouten en randgevallen bij veelhoeken

Vier fouten veroorzaken de meeste foute antwoorden op werkbladen over veelhoeken, en elke fout heeft een korte oplossing.

• Een gedraaid vierkant alleen een ruit noemen: elk vierkant is ook een ruit, maar het blijft een vierkant. Draai de figuur terug en controleer zijden en hoeken.
• Hoeken dubbel tellen: kinderen raken de tel kwijt bij figuren met veel zijden. Zet een stip bij de beginzijde en stop als je daar terug bent.
• Denken dat "zeshoek" regelmatig betekent: een zeshoek is elke veelhoek met 6 zijden. Een scheve zeshoek telt ook mee, alleen het label "regelmatig" valt weg.
• Een kubus een vierkant noemen: een kubus is een ruimtelijke figuur met 6 vierkante zijvlakken. Noem het zijvlak een vierkant en het hele voorwerp een kubus.

Concave veelhoeken: de formule voor de binnenhoeken werkt nog steeds

Een concave veelhoek heeft minstens één binnenhoek die groter is dan 180°. OpenStax merkt op dat "wat een veelhoek concaaf maakt, een binnenhoek is die groter is dan 180°". De pijl in de plaat "veelhoek of niet" heeft 7 zijden, met twee inkepingshoeken van 270°, twee rechte hoeken aan de staart en drie hoeken in de pijlpunt die bij één driehoek horen.

Die hoeken zijn samen 270° + 270° + 90° + 90° + 180° = 900°, en dat klopt met (7 − 2) × 180° = 900°. De formule geldt voor elke enkelvoudige veelhoek, convex of concaaf. Dezelfde pijl is een goede volgende stap voor oppervlakte: verdeel hem in een rechthoek en een driehoek, zoals in oppervlakte en omtrek uitgelegd.

Je checklist voor veelhoeken en de volgende stappen

• Plat en gesloten: de rand begint en eindigt op hetzelfde punt en ligt plat op papier.
• Alleen rechte zijden: elke bocht, zoals bij een cirkel of een halve cirkel, sluit de figuur uit.
• Tel de zijden: 3 tot 10 zijden geven driehoek tot en met tienhoek.
• Regelmatig of onregelmatig: alle zijden en alle hoeken gelijk maakt hem regelmatig.
• Convex of concaaf: een hoek die naar binnen deukt, maakt hem concaaf.
• Benoem naar eigenschappen: een gedraaid vierkant is nog steeds een vierkant, en nog steeds een rechthoek en een ruit.

Cirkels zijn de logische volgende figuur na veelhoeken, en de gids over omtrek en oppervlakte van een cirkel gaat daar verder. Voor een korte sessie samen houdt het rekenspel voor ouders en kinderen het rekenwerk achter hoekensommen vlot.

MathIt is een gratis app voor iOS en Android met ongeveer 90 speltypen, een moeilijkheid die zich aanpast en korte dagelijkse oefening, zodat het vermenigvuldigen en delen achter hoekensommen vlot blijft terwijl je kind de figuren leert.