面積と周りの長さをやさしく解説：さく、じゅうたん、公式

小4のお子さんの宿題に、たて4 cm、横6 cmの長方形がかいてあり、面積と周りの長さを聞いています。返ってきた答えは10と24、あるいは24と24。面積と周りの長さは同じ図形の2つのはかり方で、どちらも同じ辺の長さから始まるので、子どもはよく混ぜてしまいます。周りの長さとは何か、面積とは何かは、1枚の絵で分かります。周りの長さは畑を囲むさく、面積は床にしくじゅうたんです。

面積と周りの長さのちがいは？

周りの長さは図形のふちをひと回りした長さで、面積は図形の内側の平らな広さです。OpenStaxの初等代数は2行でまとめています。周りの長さは「図形の周りの距離をはかるもの」、面積は「図形がおおう面をはかるもの」です。

花だんなら、周りを囲むさくが周りの長さでメートル、内側の土が面積で平方メートルです。

宿題のたて4、横6の長方形で、両方が一度に見えます。ふちをひと回りすると6 + 4 + 6 + 4 = 20、内側の正方形を数えると6個ずつ4列で、6 × 4 = 24平方単位です。

子どもが2つを混ぜてしまう理由

面積と周りの長さを混ぜてしまうのは、どちらの問題も同じ2つの数を使うからで、図形を思いうかべていない子どもは、計算をあてずっぽうに選びます。6 + 4をすると10でどちらの答えでもなく、かけると24で、これは面積だけです。

日本では、面積を小4で学びます。小学校学習指導要領は第4学年で「面積の単位（平方センチメートル（cm²），平方メートル（m²），平方キロメートル（km²））について知ること」を求め、長方形と正方形の面積の求め方を考えさせます。周りの長さは独立した単元ではありませんが、同じ時期の問題によく出てきます。アメリカでは小3で両方を始めます。州共通基礎スタンダード 3.MD.C.7aは「辺の長さが整数の長方形の面積を、しきつめて求め、辺の長さをかけたものと同じになることを示す」ことを求めます。3.MD.D.8は周りの長さを加えて「周りの長さが同じで面積がちがう長方形、面積が同じで周りの長さがちがう長方形」を示すことを求め、4.MD.A.3で「長方形の面積と周りの長さの公式を、身のまわりの問題や算数の問題に使う」ことに進みます。

イングランドはもっとゆっくり進みます。ナショナルカリキュラムの学習プログラムは4年目に「正方形を数えて直線で囲まれた図形の面積を求める」こと、6年目に「面積が同じ図形でも周りの長さがちがうことがあり、その逆もあると気づく」ことを求めています。学年ごとに身につけたい算数の一覧を見ると、これらがかけ算や分数とどう並んでいるかが分かります。

長方形の周りの長さと面積の求め方を順番に

長方形の周りの長さは(たて + 横) × 2、面積はたて × 横です。次の6つの手順で、図から正しい単位つきの答えまでたどりつけます。

1. すべての辺に長さを書く。 長方形の向かい合う辺は等しいので、たて4、横6の長方形の辺は6、4、6、4です。4つの数をすべて図に書きこみます。
2. 単位がそろっているか確かめる。 2 mの辺と50 cmの辺は、たしたりかけたりする前に200 cmと50 cm（または2 mと0.5 m）にします。
3. 周りの長さは4つの辺をたす。 6 + 4 + 6 + 4 = 20です。近道の(6 + 4) × 2 = 10 × 2 = 20でも同じ答えです。
4. 周りの長さには長さの単位をつける。 辺がセンチメートルなら、周りの長さは20 cmです。
5. 面積はたてと横をかける。 4 × 6 = 24です。方眼紙なら正方形を数えて確かめます。6個ずつ4列で24個です。
6. 面積には平方の単位をつける。 1辺1 cmの正方形を数えているので、面積は24 cm²（24平方センチメートル）です。

分からない辺の長さを求める

分からない辺は、公式を逆にたどって求めます。周りの長さが30 cm、横が9 cmの長方形なら、周りの長さの半分は30 ÷ 2 = 15 cmで、これがたて + 横なので、たては15 − 9 = 6 cmです。

面積も同じように、わり算で求めます。床の面積が24 m²で横が6 mの部屋なら、24 = たて × 6なので、たては24 ÷ 6 = 4 mです。アメリカのスタンダード4.MD.A.3はこれを「面積の公式を、分からない因数のあるかけ算の式とみる」と表しています。文章題がどちらの公式を聞いているのか迷うときは、算数の文章題の解き方が役に立ちます。

周りの長さと面積を表でくらべる

周りの長さと面積は、同じ図形について別のことを聞いているので、使う単位も計算もちがいます。

正方形は4つの辺が等しい長方形なので、その公式は長方形の公式の近道です。1辺5 mの正方形なら、周りの長さは5 × 4 = 20 m、面積は5 × 5 = 25 m²です。

面積から周りの長さは分かる？

面積だけでは周りの長さは分かりません。同じ面積の長方形がたくさんあるからです。面積24平方単位なら、次の長方形がどれもあてはまります。

• 4 × 6：周りの長さ (4 + 6) × 2 = 20
• 3 × 8：周りの長さ (3 + 8) × 2 = 22
• 2 × 12：周りの長さ (2 + 12) × 2 = 28
• 1 × 24：周りの長さ (1 + 24) × 2 = 50

辺の長さがもう1つ分かれば、答えは決まります。面積24でたてが3なら、横は24 ÷ 3 = 8で周りの長さは22です。面積36の正方形なら、6 × 6 = 36なので1辺は6で、周りの長さは6 × 4 = 24です。

周りの長さが同じでも面積はちがう：ひもの実験

周りの長さが同じ長方形でも、面積は大きくちがうことがあり、台所のテーブルでひもの輪を使えば確かめられます。24 cmのひもで輪を作り、方眼紙の上でいろいろな長方形にして、内側の正方形を数えます。

周りの長さが24なら、たて + 横 = 12なので、辺が整数の長方形は次のとおりです。

• 1 × 11：面積11
• 2 × 10：面積20
• 3 × 9：面積27
• 4 × 8：面積32
• 5 × 7：面積35
• 6 × 6：面積36

同じ24 cmのさくでも、細長い形なら11平方単位、正方形なら36平方単位を囲めます。長方形の中ではいつも正方形がいちばん広いので、決まった長さのさくしかない農家は、正方形の牧草地にするといちばん広く使えます。

このリストの面積は、どれも九九やその延長のかけ算です。正方形の列を数えることがかけ算に育っていく流れはとび数え（数えたし）の解説にあり、九九ゲームで答えを練習できます。

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L字形の部屋などの複合図形

L字形の図形の面積は、長方形に分けてそれぞれの面積をたして求めます。アメリカのスタンダード3.MD.C.7dは「直線で囲まれた図形を重ならない長方形に分け、その面積をたして求める」ことを求めています。

下の横はばが6、左のたての長さが5のL字形で試します。下の帯6 × 2 = 12と、その上の列2 × 3 = 6に分けると、面積は12 + 6 = 18平方単位です。

周りの長さには外側のすべての辺が必要で、子どもがよく見落とす内側の2つの辺も入ります。L字形をひと回りすると辺は2、3、4、2、6、5で、たすと22です。4は下の帯の上の部分（6 − 2）、3は上の列の高さ（5 − 2）です。

面積と周りの長さの理解を確かめるには

5つの短い問いで、子どもが面積と周りの長さを分かっているのか、計算をあてずっぽうに選んでいるのかが分かります。

• 仕分けの問い： さく、ラグ、額縁、しばふが、周りの長さと面積のどちらの仕事かを聞きます。さくと額縁は周りの長さ、ラグとしばふは面積です。
• 基本の長方形： たて3、横7の長方形を出します。周りの長さは20、面積は21で、単位（cmとcm²）もつけられるか見ます。
• 正方形： 1辺9 mの正方形を出します。周りの長さは36 m、面積は81 m²です。
• 分からない辺： 面積40 m²、横8 mを出します。40 ÷ 8で、たては5 mです。
• 考える問い： 周りの長さが20の長方形で、面積がいちばん大きいのはどれかを聞きます。答えは5 × 5の正方形で、25平方単位です。

台所のテーブルでできる5分の確認

種類を混ぜた3問（長方形1つ、分からない辺1つ、L字形1つ）の5分の確認のほうが、1種類の問題が並んだプリント1枚より多くのことが分かります。計算する前に図をかいてもらい、「周り」か「内側」かを言ってもらいます。

面積の求め方は合っているのにかけ算で止まってしまう子どもには、図形より計算の練習が必要です。3年生向けの算数ゲームと4年生向けの算数ゲームは、どの面積の問題にも欠かせない学年相当の計算を扱っています。辺が2けたになったときは筆算のかけ算の教え方が役に立ちます。

面積と周りの長さでよくある間違い

面積と周りの長さの問題の誤答のほとんどは4つの間違いから来ていて、どれも一言で直せます。

• 2つの辺しかたさない： たて4、横6の長方形の周りの長さを20ではなく10とします。たす前に4つの辺すべてに長さを書くか、(たて + 横) × 2を使います。
• 周りの長さでかけ算をする： 周りの長さを6 × 4 = 24と書きます。先に「周り？内側？」と聞きます。周りならたし算です。
• 単位をそろえない： たて2 m、横50 cmの畑の面積を100とします。先に直します。200 cm × 50 cm = 10,000 cm²、または2 m × 0.5 m = 1 m²です。
• 平方の単位を忘れる： 面積を24 cmと書くと長さに見えます。面積はいつも正方形を数えるので、答えは24 cm²です。

まぎらわしい場合：面積に平方の単位を使う理由

面積に平方の単位を使うのは、単位の正方形を数えてはかるからです。アメリカのスタンダード3.MD.C.5aは「1辺が1単位の正方形を『単位正方形』と呼び、その面積を『1平方単位』とする」としていて、その正方形24個でおおえる長方形の面積は24平方単位です。

平方の単位を使うと、辺を2倍にしても面積が2倍にならない理由も分かります。たて2、横3の長方形は正方形6個分、たて4、横6の長方形は24個分で4倍になりますが、周りの長さは10から20へ、2倍にしかなりません。

面積と周りの長さのチェックリストと次の一歩

• 周りか内側か： 計算する前に、問題がどちらを聞いているか決める。
• 4つの辺すべて： 図に書かれていない2つの辺も含めて、長方形のすべての辺に長さを書く。
• 単位をそろえる： たしたりかけたりする前に、すべての辺を1つの単位に直す。
• 答えに正しい単位： 周りの長さはcm、面積はcm²。
• 方眼紙： 長方形をかき、正方形を数えて積を確かめる。
• タイルやクラッカー： 正方形のタイルで長方形を作り、24 cmのひもの輪でいちばん広い面積を探す。

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