Wielokąty: czym jest wielokąt, jak nazywa się każdy z nich i jak go rozpoznać

Drugoklasista przynosi kartkę z figurami i pytaniem „Które z nich są wielokątami?”, a sześciokąt i koło wyglądają równie przyjaźnie. Odpowiedź na pytanie, co to jest wielokąt, mieści się w jednej zasadzie: płaska, zamknięta figura o prostych bokach. Z tą zasadą nazwanie wielokąta sprowadza się do policzenia boków i sprawdzenia kilku własności.

Co to jest wielokąt i dlaczego ma znaczenie w klasach 1–6

Wielokąt to płaska figura, która jest zamknięta i złożona tylko z prostych boków, a boków ma co najmniej 3. Podręcznik OpenStax Contemporary Mathematics ujmuje to jednym zdaniem: wielokąt to zamknięta figura płaska, którą klasyfikuje się według liczby prostych boków. Boki stykają się tylko końcami, w punktach zwanych wierzchołkami.

Wielokąty przewijają się przez całą szkołę podstawową. Podstawa programowa matematyki dla szkoły podstawowej wymaga w klasach 4–6, by uczeń „rozpoznaje i nazywa: kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok i trapez” i zna ich najważniejsze własności, a w klasach 7–8, by znał pojęcie wielokąta foremnego; trójkąt, kwadrat i prostokąt dzieci rozpoznają już w klasach 1–3. W USA standard Common Core 2.G.A.1 prosi drugoklasistów o rozpoznawanie i rysowanie figur o podanej liczbie kątów oraz o rozpoznawanie trójkątów, czworokątów, pięciokątów, sześciokątów i sześcianów. Poradnik o tym, co dziecko powinno umieć z matematyki w każdej klasie, pokazuje, gdzie wypada każdy krok.

Pomaga sama nazwa: „wielokąt” to figura o wielu kątach, a grecki odpowiednik, którego używa się w innych językach, znaczy dokładnie to samo.

Wielokąt czy nie: koła, figury otwarte, łuki i sześciany

Figura nie przechodzi testu wielokąta, gdy łamie choć jedną z czterech zasad: płaska, zamknięta, tylko proste boki, co najmniej 3 boki. Cztery figury najczęściej mylą dzieci:

• Koło: koło ma jeden zakrzywiony brzeg i żadnych prostych boków, więc nie jest wielokątem.
• Figura otwarta: zygzak z odcinków, których końce się nie spotykają, nie jest zamknięty, więc nie jest wielokątem.
• Figura z łukiem: kształt nagrobka z trzema prostymi bokami i zaokrągloną górą odpada, bo jeden bok jest zakrzywiony.
• Sześcian albo pudełko: sześcian to bryła przestrzenna. Jego ściany są kwadratami i każda ściana jest wielokątem, ale sam sześcian nie.

Przecinające się boki to piąty przypadek. Ósemka narysowana z odcinków, w której dwa boki krzyżują się pośrodku, nie jest wielokątem prostym i szkolna matematyka ją pomija. Poproś dziecko, żeby obwiodło brzeg palcem: jeśli palec przetnie własną drogę, figura się nie liczy.

Jak nazwać wielokąt krok po kroku

Nazwanie wielokąta wymaga pięciu sprawdzeń, od testu wielokąta po kształt wierzchołków. Przejdźcie przez nie na głos z papierową figurą albo klockiem.

1. Sprawdź, czy to wielokąt. Obwiedź brzeg palcem. Musi zaczynać się i kończyć w tym samym punkcie, mieć proste boki i żadnych przecięć.
2. Policz boki. Postaw kropkę ołówkiem na pierwszym boku, żeby wiedzieć, gdzie zacząłeś, a potem licz dookoła. Liczba boków zawsze równa się liczbie wierzchołków.
3. Dopasuj liczbę do nazwy. 3 to trójkąt, 4 czworokąt, 5 pięciokąt, 6 sześciokąt, 7 siedmiokąt, 8 ośmiokąt, 9 dziewięciokąt, a 10 dziesięciokąt. Polska nazwa to po prostu liczebnik i słowo „kąt”, więc wystarczy policzyć.
4. Sprawdź, czy jest foremny. OpenStax podaje, że jeśli wszystkie boki wielokąta mają równą długość i wszystkie kąty są równe, nazywa się go wielokątem foremnym. Zmierz boki linijką i porównaj kąty, kładąc jedną figurę na drugiej.
5. Sprawdź, czy jest wypukły, czy wklęsły. Wielokąt wypukły ma wszystkie wierzchołki skierowane na zewnątrz. Wielokąt wklęsły ma co najmniej jeden wierzchołek wgnieciony do środka, jak wcięcie strzałki albo gwiazdy.

Pełna nazwa łączy te sprawdzenia, na przykład „sześciokąt foremny” dla komórki plastra miodu albo „nieforemny siedmiokąt wklęsły” dla strzałki.

Zagraj za darmo w przeglądarceLiczenie obiektówPrzedszkole–zerówka

Gdzie pojawia się błąd: kwadrat jest prostokątem i rombem

Kwadrat należy do więcej niż jednej rodziny, a większość dorosłych nauczyła się tego odwrotnie. Prostokąt to każdy czworokąt o czterech kątach prostych, więc kwadrat się liczy. Romb to każdy czworokąt o czterech równych bokach, więc kwadrat liczy się i tutaj.

Common Core 5.G.B.3 wyjaśnia dlaczego: wszystkie prostokąty mają cztery kąty proste, a kwadraty są prostokątami, więc wszystkie kwadraty mają cztery kąty proste. Następny standard, 5.G.B.4, prosi piątoklasistów o uporządkowanie figur płaskich w hierarchię według własności. Odwrotnie to nie działa: większość prostokątów nie jest kwadratami, bo ich boki nie są równe.

Nazwy wielokątów, boki i kąty od trójkąta do dziesięciokąta

Nazwy wielokątów wynikają z liczby boków, a sumę kątów daje wzór. OpenStax podaje sumę kątów wewnętrznych wielokąta o n bokach jako (n − 2) × 180°, a miarę każdego kąta wielokąta foremnego jako (n − 2) × 180° : n. Wzór działa, bo przekątne z jednego wierzchołka dzielą każdy wielokąt wypukły na n − 2 trójkąty, a każdy trójkąt ma 180°, co omawia poradnik o rodzajach trójkątów i kątów.

Wiersz ze znakiem STOP to przepis drogowy. W USA federalny podręcznik Manual on Uniform Traffic Control Devices, punkt 2B.05 mówi, że znak STOP ma być ośmiokątem z białym napisem i obramowaniem na czerwonym tle. Jego osiem boków jest równych, więc to ośmiokąt foremny o kątach 135°; znak STOP na polskich drogach też ma kształt ośmiokąta.

Zagraj za darmo w przeglądarceWyścig wielokrotnościKlasa 3–5

Które figury pasują do siebie bez szczelin

Wielokąty foremne wypełniają podłogę bez szczelin tylko wtedy, gdy jeden kąt dzieli 360° bez reszty. Trójkąty (60° × 6 = 360°), kwadraty (90° × 4 = 360°) i sześciokąty (120° × 3 = 360°) układają się wokół punktu bez przerw, dlatego plastry miodu i płytki w łazience ich używają. Kąt pięciokąta foremnego, 108°, nie dzieli 360°, więc płytki w kształcie pięciokąta foremnego zawsze zostawiają szczeliny.

Rodzina czworokątów w domu

Czworokąty to wielokąty o czterech bokach, a w klasach 4–6 zajmują większość czasu poświęconego figurom. W USA Common Core 3.G.A.1 prosi trzecioklasistów o rozpoznawanie rombów, prostokątów i kwadratów jako przykładów czworokątów i o rysowanie czworokątów, które nie należą do żadnej z tych grup. Rodzaje czworokątów, które poznaje dziecko, to:

• Równoległobok: dwie pary boków równoległych.
• Prostokąt: równoległobok o czterech kątach prostych.
• Romb: równoległobok o czterech równych bokach.
• Kwadrat: jednocześnie prostokąt i romb, z czterema kątami prostymi i czterema równymi bokami.
• Trapez: w polskich podręcznikach czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych, więc każdy równoległobok też jest trapezem (część podręczników w innych krajach wymaga dokładnie jednej pary, dlatego sprawdź definicję w podręczniku dziecka).
• Deltoid: dwie pary równych boków leżących obok siebie, bez wymogu boków równoległych.

Polowanie w kuchni utrwala tę rodzinę. Ściana pudełka po płatkach to prostokąt, krakers bywa kwadratem, a kawałek ciasta pokrojony ukośnie może dać równoległobok. Poproś dziecko, żeby nazwało każdą figurę dwa razy: „kwadrat, a także prostokąt”.

Zasada do ćwiczeń: nazywaj po własnościach, nie po ułożeniu

Figura zachowuje nazwę, gdy ją obrócisz. Kwadrat przechylony o 45° dzieci często nazywają „karo”, jak w kartach, ale jego boki nadal są równe, a kąty nadal mają 90°, więc to nadal kwadrat. Obracaj papierowe figury na stole i pytaj „Czy coś się zmieniło?”, aż odpowiedź „nie” stanie się automatyczna.

Symetria daje drugie sprawdzenie własności. Kwadrat ma 4 osie symetrii, a prostokąt, który nie jest kwadratem, ma 2, więc złożenie papierowej figury pozwala je odróżnić; poradnik o osiach symetrii pokazuje, jak składać. Zaznaczanie wierzchołków figury w układzie współrzędnych, jak w poradniku o układzie współrzędnych, to wersja tego samego sprawdzenia dla starszych klas.

Jak sprawdzić postępy dziecka z wielokątami

Pięć krótkich pytań pokazuje, czy dziecko zna zasady, czy tylko rozpoznaje obrazki. Narysuj każdą figurę na kartce i pytaj bez podpowiedzi.

• Liczenie: figura o 6 bokach jest narysowana krzywo. Czy to nadal sześciokąt? Tak, każdy wielokąt o 6 bokach to sześciokąt.
• Wykluczanie: czy półkole jest wielokątem? Nie, jeden bok jest zakrzywiony.
• Foremność: czy długi prostokąt jest wielokątem foremnym? Nie, jego boki nie są równe.
• Rodzina: czy każdy kwadrat jest rombem? Tak. Czy każdy romb jest kwadratem? Nie.
• Suma kątów (od klasy 5): który wielokąt ma kąty wewnętrzne o sumie 1080°? 1080 : 180 = 6, a 6 + 2 = 8, więc to ośmiokąt.

Cotygodniowe pięciominutowe polowanie na figury

Cotygodniowe polowanie na figury pokazuje postępy bez sprawdzianu. Daj dziecku pięć minut na znalezienie i nazwanie wielokątów w domu, a potem policz, ile pełnych nazw podało, na przykład „pięciokąt nieforemny” albo „sześciokąt foremny”.

Drugoklasista, który nazywa trójkąty, czworokąty, pięciokąty i sześciokąty, licząc boki, jest na dobrej drodze. Uczeń klasy 4 lub 5 powinien dodać, czy figura jest foremna, i wyjaśnić, dlaczego kwadrat jest prostokątem. Darmowe gry matematyczne dla klasy 3 utrzymują w szybkim tempie fakty liczbowe stojące za tymi sprawdzeniami.

Typowe błędy i przypadki szczególne z wielokątami

Cztery błędy odpowiadają za większość złych odpowiedzi na kartach pracy o wielokątach, a każdy ma krótkie rozwiązanie.

• Nazywanie przechylonego kwadratu „karo”: „karo” to nie nazwa matematyczna. Obróć figurę z powrotem i sprawdź boki i kąty.
• Liczenie wierzchołków dwa razy: dzieci gubią się przy figurach o wielu bokach. Zaznacz kropką bok startowy i zatrzymaj się, gdy do niego wrócisz.
• Myślenie, że „sześciokąt” znaczy foremny: sześciokąt to każdy wielokąt o 6 bokach. Krzywy też się liczy, zmienia się tylko określenie „foremny”.
• Nazywanie sześcianu kwadratem: sześcian to bryła o 6 kwadratowych ścianach. Ścianę nazywaj kwadratem, a całą bryłę sześcianem.

Wielokąty wklęsłe: wzór na sumę kątów nadal działa

Wielokąt wklęsły ma co najmniej jeden kąt wewnętrzny większy niż 180°. OpenStax zauważa, że wielokąt jest wklęsły właśnie dlatego, że ma kąt wewnętrzny o mierze większej niż 180°. Strzałka z rysunku „wielokąt czy nie” ma 7 boków, z dwoma kątami we wcięciach po 270°, dwoma kątami prostymi przy końcu i trzema kątami w grocie, które należą do jednego trójkąta.

Te kąty sumują się do 270° + 270° + 90° + 90° + 180° = 900°, co zgadza się z (7 − 2) × 180° = 900°. Wzór działa dla każdego wielokąta prostego, wypukłego i wklęsłego. Ta sama strzałka to dobry następny krok do pola: podziel ją na prostokąt i trójkąt, jak w poradniku o polu i obwodzie.

Twoja lista kontrolna wielokątów i następne kroki

• Płaska i zamknięta: brzeg zaczyna się i kończy w tym samym punkcie i leży płasko na kartce.
• Tylko proste boki: każdy łuk, jak w kole albo półkolu, wyklucza figurę.
• Policz boki: od 3 do 10 boków to nazwy od trójkąta do dziesięciokąta.
• Foremny czy nieforemny: wszystkie boki i wszystkie kąty równe oznaczają wielokąt foremny.
• Wypukły czy wklęsły: wierzchołek wgnieciony do środka oznacza wielokąt wklęsły.
• Nazywaj po własnościach: obrócony kwadrat to nadal kwadrat, a także prostokąt i romb.

Koło to naturalna następna figura po wielokątach, a poradnik o obwodzie i polu koła zaczyna właśnie tam. Na krótką wspólną sesję gra matematyczna dla rodziców i dzieci utrzymuje w szybkim tempie rachunki stojące za sumami kątów.

MathIt to darmowa aplikacja na iOS i Android z około 90 rodzajami gier, adaptacyjnym poziomem trudności i krótkimi codziennymi ćwiczeniami, więc mnożenie i dzielenie stojące za sumami kątów zostają szybkie, a dziecko w tym czasie poznaje figury.