線対称な図形と対称の軸：見つけ方と図形ごとの軸の数をやさしく解説

お子さんが紙を半分に折り、折り目にそってハートの半分を切って開くと、きれいなハートができます。この折り目が「線対称とは何か」の答えで、「この図形に対称の軸は何本ありますか」という問題も同じ考え方でできています。対称の軸を見つけるのに必要なのは、折ることと鏡と、「両側が点ごとにぴったり重なるか」を確かめる習慣だけです。

線対称とは？

線対称な図形とは、1本の直線を折り目にして折ったとき、両側がぴったり重なる図形のことで、その直線を対称の軸といいます。日本の小学校学習指導要領は第6学年で「対称な図形について理解すること」を求め、「線対称」「点対称」「対称の軸」「対称の中心」を学ぶ用語にあげています。アメリカの州共通基礎スタンダード 4.G.A.3は4年生に、線にそって折ると重なる部分ができる線を対称の軸として見分け、「線対称な図形を見分けて対称の軸をかく」ことを求めています。

紙のハートには、真ん中に対称の軸が1本あります。正方形には4本あり、3辺の長さがすべてちがう三角形には1本もありません。イングランドの4年生の学習プログラムも、「いろいろな向きにおかれた平面図形の対称の軸を見つける」ことと、「決められた対称の軸について、かんたんな対称な図形を完成させる」ことを求めています。

Wikipediaの鏡映対称の記事は、「線対称」と「鏡像対称」を同じ考え方の別の名前としてあげています。対称の軸は、英語では鏡の線（ミラーライン）とも呼ばれます。

線対称と点対称のちがい

線対称と点対称はちがう性質で、小6の教科書では両方を学びます。線対称は、図形を折るとぴったり重なることです。点対称は、ある点（対称の中心）のまわりに180°回転させると、もとの形にぴったり重なることです。中学や高校の学習では、もっと小さい回転で重なる形も出てきます。

正方形は両方の性質をもち、4通りの折り方で重なり、90°回しても同じ形に見えます。直角のない平行四辺形は、180°回すと重なるので点対称ですが、対称の軸は1本もありません。大文字のS、N、Zも同じです。

対称の軸の見つけ方を順番に

対称の軸は、考えられる折り方を1つずつためし、両側がぴったり重なった折り方だけを数えて見つけます。この方法は、小6のプリントに出てくるどんな平面図形にも使えます。

1. 図形を写すか切りぬく。 うすい紙に図形を写すか、いらない紙から切りぬきます。
2. たてに折ってみる。 左右に折って窓にかざします。片側のふちがすべてもう片側に重なれば、折り目は対称の軸です。
3. 横に折ってみる。 紙を開いて上下に折り、もう一度ふちを確かめます。
4. ななめに折ってみる。 多角形なら、頂点から向かい合う頂点へ、辺の真ん中から向かい合う辺の真ん中へと折ってみます。多角形の対称の軸の両はしは、いつも頂点か辺の真ん中にあります。
5. かいた図には鏡を使う。 調べたい線の上に小さな鏡を立てます。見えている半分と鏡の中の半分を合わせて全体の形になれば、その線は対称の軸です。
6. かいて数える。 合格した線を定規で点線としてかき、1本ずつ数えます。

アメリカでは、図形のこの学習は4年生で、何けたものかけ算やわり算（州共通基礎スタンダード 4.NBT.B.5 と 4.NBT.B.6）と同じ年に学びます。その計算は4年生向けの算数ゲームで練習できます。

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つまずきやすいところ：長方形の対角線

長方形の対角線は対称の軸ではなく、これが対称の問題でいちばん多い間違いです。対角線で切ると同じ大きさの三角形が2つできるので、軸に見えてしまいます。でも対角線で折ってみると本当のことが分かります。折った三角形はななめにずれて、角が2つはみ出します。

両側は鏡にうつした形でなければならないので、片側のどの点にも、軸から同じ距離のところに対応する点があります。正方形はすべての辺が等しいので対角線で折っても重なり、だから正方形は4本、長方形は2本なのです。

図形ごとの対称の軸の数

よく出る図形の対称の軸の数は決まっているので、一覧表を1つ見ればプリントの答えを確かめられます。ここでは、正方形でない長方形、正三角形でない二等辺三角形、正方形でないひし形のように、いちばん一般的な形で数えています。

三角形の行は、同じころに学ぶ三角形の名前とつながっています。正三角形・二等辺三角形などの名前は三角形の種類と角の種類で辺の長さとあわせて説明しています。

辺がn本の正多角形に軸がn本ある理由

辺の長さがすべて等しく、角の大きさもすべて等しい正多角形には、辺の数と同じだけ対称の軸があります。正五角形のように辺の数が奇数なら、各頂点から向かい合う辺の真ん中へ1本ずつ軸があり、頂点が5つなので軸は5本です。正六角形のように偶数なら、頂点どうしを結ぶ軸がn ÷ 2本、辺の真ん中どうしを結ぶ軸がn ÷ 2本で、3 + 3 = 6本です。

回したときに重なる角度も同じきまりで決まり、辺がn本の正多角形は360° ÷ nだけ回すともとの形に重なります。正六角形は360 ÷ 6 = 60°ごと、正五角形は360 ÷ 5 = 72°ごとです。これらの角度はわり算の九九の練習になります。

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家でできる線対称の遊び

家での対称遊びをすると、定義がお子さんの目に見え、手でさわれるものになります。どれも家にあるもので10分ほどでできます。

• アルファベット： 飾りのない書体で大文字を書き、鏡で1文字ずつ確かめます。Arialのような書体では、A、M、T、U、V、W、Yはたての軸、B、C、D、E、Kは横の軸、H、I、O、Xは両方の軸をもちます。
• ちょうと葉っぱ： ちょうの写真と庭の葉っぱをくらべます。どちらも鏡にうつした形に近く、算数の「ぴったり」とは何かを話すきっかけになります。
• デカルコマニー： 紙を折って開き、折り目の片側に絵の具をたらして、両側を合わせてこすります。できた模様は、いつも折り目を軸にした線対称です。
• 切り紙： 紙を1回折り、折り目にそって形を切って、開いたらどんな形になるか予想します。

図形を半分に折ると、分数の半分も見えてきます。どちらの部分も全体の1/2で、保護者のための分数の解説も同じ折り方から始まります。

鏡を使った絵かき

鏡を使った絵かきは、「対称な図形を完成させる」という目標にぴったりの遊びです。方眼紙に直線を1本引き、その横に家の半分をかいて、お子さんにもう半分をかいてもらいます。どの頂点も、線から同じますの数だけはなれるようにします。

線の上に手鏡を立てれば、お子さんが自分で答え合わせできます。たての線に慣れたら横の線、次にななめの線にすると、「いろいろな向き」の練習になります。

線対称が身についたかを確かめるには

5つの短い問いで、お子さんが対称の軸を分かっているのか、見た目であてずっぽうに答えているのかが分かります。

• 正方形と長方形： それぞれの軸の数を聞きます。答えは4本と2本で、長方形の対角線がなぜ軸にならないかも説明できるとよいです。
• 3つの三角形： 正三角形、二等辺三角形、不等辺三角形を見せます。答えは3本、1本、0本です。
• 向きを変えた図形： 横にねかせた二等辺三角形をかきます。それでも1本の軸を見つけられれば、「いろいろな向き」の目標に届いています。
• アルファベット： H、E、S、Aのうち線対称なのはどれか聞きます。H、E、Aは線対称で、Sは線対称ではありません。
• 半分の絵： 線の横に図形の半分をかいて、残りをかいてもらいます。

家でできる5分の確認

家でできる5分の確認には、正方形、長方形、平行四辺形の3つの切りぬいた図形を使います。それぞれの軸の数を予想してもらい、折って確かめます。

予想が4本、2本、0本なら正解で、長方形を4本と予想したら対角線のわなにかかっています。3年生向けの算数ゲームと学年ごとに身につけたい算数で、対称がその学年のほかの学習とどう並んでいるかが分かります。

線対称でよくある間違い

対称の問題の誤答のほとんどは4つの間違いから来ていて、どれもすぐに直せます。

• 長方形の対角線を数える： 長方形の軸を2本でなく4本と答えます。紙の長方形を対角線で折り、はみ出す角に答えを見せてもらいましょう。
• 平行四辺形の対角線を数える： 平行四辺形の軸を0本でなく2本と答えます。どちらの対角線でも同じ三角形2つに分かれますが、折っても重なりません。
• 同じ軸を2回数える： 1本の軸の上半分と下半分を2本と数えてしまいます。軸はふちからふちまで1本ずつかいてから数えます。
• ななめの軸を見落とす： かたむけて印刷された図形は軸がかくれます。プリントを回してもう一度確かめます。

まぎらわしい場合：円と正多角形

円には対称の軸が無数にあります。中心を通るどの直線で折っても、ぴったり重なるからです。Wikipediaの鏡映対称の記事も「円には対称の軸が無数にある」と書いているので、答えは「無数」です。

辺がn本の正多角形には軸がちょうどn本あるので、正八角形は8本、正十二角形は12本です。このきまりが成り立つのは正多角形だけです。

対称の考え方は、中1の図形で「対称移動」として、高校ではグラフの軸としてまた出てきます。OpenStaxの初等代数は、y = ax² + bx + c の軸を直線 x = −b ÷ 2a としているので、y = x² − 6x + 8 のグラフは x = 3 を軸にして重なります。同じころに学ぶ図形の測り方は、面積と周りの長さで解説しています。

線対称のチェックリストと次の一歩

• 折って確かめる： 紙に写して折り、すべてのふちが重なるか確かめる。
• すべての向き： 数える前に、たて、横、2本のななめの折り方をためす。
• 長方形のわな： 長方形の軸は2本で、対角線は数えない。
• 正多角形： 辺がn本の正多角形には軸がn本、円には無数にある。
• 1回だけ数える： 軸はふちからふちまでかき、かいた線を数える。
• 2つの対称： 線対称（折る）と点対称（回す）を区別する。

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