Polígonos: o que é um polígono, como se chama cada um e como reconhecer

Seu filho do 2º ano traz para casa uma folha de figuras perguntando "Quais são polígonos?", e o hexágono e o círculo parecem igualmente simpáticos. A resposta para o que é um polígono cabe numa regra: uma figura plana e fechada com lados retos. Com essa regra, dar nome a um polígono vira contar lados e conferir algumas propriedades.

O que é um polígono, e por que ele importa do 2º ao 6º ano

Um polígono é uma figura plana, fechada e formada só por lados retos, e ele tem pelo menos 3 deles. O OpenStax Contemporary Mathematics resume em uma linha: "um polígono é uma figura fechada de duas dimensões, classificada pelo número de lados retos". Os lados se encontram só nas pontas, em pontos chamados vértices.

Os polígonos atravessam a geometria do ensino fundamental. No Brasil, a BNCC pede no 3º ano "classificar e comparar figuras planas (triângulo, quadrado, retângulo, trapézio e paralelogramo) em relação a seus lados" (EF03MA15), e no 5º ano "reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados, vértices e ângulos" (EF05MA17). Nos Estados Unidos, o padrão 2.G.A.1 do Common Core pede que os alunos do 2º ano identifiquem "triângulos, quadriláteros, pentágonos, hexágonos e cubos". O guia do que a criança aprende em matemática em cada ano mostra onde cada passo fica.

A palavra ajuda: "poli" quer dizer muitos e "gono" quer dizer ângulo, então um polígono é uma figura com muitos ângulos.

Polígono ou não: círculos, figuras abertas, curvas e cubos

Uma figura não passa no teste do polígono quando quebra qualquer uma das quatro regras: plana, fechada, só lados retos, pelo menos 3 lados. Quatro figuras confundem as crianças com mais frequência:

• Círculo: o círculo tem uma borda curva e nenhum lado reto, então não é polígono.
• Figura aberta: um zigue-zague de linhas retas cujas pontas não se encontram não é fechado, então não é polígono.
• Figura com um lado curvo: uma figura em forma de "lápide", com três lados retos e o topo arredondado, não passa, porque um lado é curvo.
• Cubo ou caixa: o cubo é um sólido de três dimensões. As faces dele são quadrados, e cada face é um polígono, mas o cubo em si não é.

Lados que se cruzam são um quinto caso. Um oito desenhado com linhas retas, em que dois lados se cruzam no meio, não é um polígono simples, e a matemática da escola deixa essa figura de fora. Peça ao seu filho para percorrer o contorno com o dedo: se o dedo cruzar o próprio caminho, a figura não conta.

Como dar nome a um polígono, passo a passo

Dar nome a um polígono pede cinco verificações, do teste do polígono até o formato dos vértices. Faça em voz alta com uma figura de papel ou um bloco lógico.

1. Confira se é polígono. Percorra o contorno com o dedo. Ele precisa começar e terminar no mesmo ponto, com lados retos e sem cruzamentos.
2. Conte os lados. Faça um pontinho de lápis no primeiro lado para saber onde começou e conte em volta. O número de lados é sempre igual ao número de vértices.
3. Ligue a contagem ao nome. 3 é triângulo, 4 quadrilátero, 5 pentágono, 6 hexágono, 7 heptágono, 8 octógono, 9 eneágono e 10 decágono. Os prefixos tri, quadri, penta, hexa, hepta, octo, enea e deca querem dizer de 3 a 10.
4. Veja se é regular ou irregular. O OpenStax afirma que, "se todos os lados de um polígono têm o mesmo comprimento e todos os ângulos são iguais, eles se chamam polígonos regulares". Meça os lados com a régua e compare os ângulos pondo uma figura sobre a outra.
5. Veja se é convexo ou côncavo. Um polígono convexo tem todos os vértices apontando para fora. Um polígono côncavo tem pelo menos um vértice que afunda para dentro, como o encaixe de uma flecha ou uma estrela.

Um nome completo junta as verificações, como "hexágono regular" para um alvéolo de favo de mel ou "heptágono côncavo irregular" para uma flecha.

Jogue grátis no navegadorContar objetosEducação infantil

Onde quase todo mundo erra: o quadrado é retângulo e losango

O quadrado pertence a mais de uma família, e a maioria dos adultos aprendeu o contrário. Um retângulo é qualquer quadrilátero com quatro ângulos retos, então o quadrado conta. Um losango é qualquer quadrilátero com quatro lados iguais, então o quadrado conta ali também.

A BNCC pede no 6º ano que o aluno classifique os quadriláteros e reconheça "a inclusão e a intersecção de classes entre eles" (EF06MA20). O Common Core 5.G.B.3 explica o porquê: "todos os retângulos têm quatro ângulos retos e os quadrados são retângulos, então todos os quadrados têm quatro ângulos retos". O contrário é falso: a maioria dos retângulos não é quadrado, porque os lados deles não são todos iguais.

Nomes dos polígonos, lados e ângulos do triângulo ao decágono

Os nomes dos polígonos seguem a contagem de lados, e a soma dos ângulos segue uma fórmula. O OpenStax dá a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados como (n − 2) × 180°, e cada ângulo de um polígono regular como (n − 2) × 180° ÷ n. A fórmula funciona porque as diagonais que saem de um vértice dividem qualquer polígono convexo em n − 2 triângulos, e cada triângulo tem 180°, como mostra o guia de tipos de triângulos e ângulos.

A linha da placa de PARE é uma regra de trânsito. Nos Estados Unidos, o Manual on Uniform Traffic Control Devices, seção 2B.05, diz que "a placa de STOP deve ser um octógono com legenda e borda brancas sobre fundo vermelho", e a placa de PARE brasileira também é um octógono vermelho. Os oito lados são iguais, então ela é um octógono regular com ângulos de 135°.

Jogue grátis no navegadorCaça aos múltiplos3.º–5.º ano

Quais figuras se encaixam sem deixar buracos

Os polígonos regulares cobrem um piso só quando um ângulo divide 360° exatamente. Triângulos (60° × 6 = 360°), quadrados (90° × 4 = 360°) e hexágonos (120° × 3 = 360°) se encaixam em volta de um ponto sem buracos, e por isso favos de mel e azulejos usam essas formas. O ângulo de 108° do pentágono regular não divide 360°, então ladrilhos de pentágonos regulares sempre deixam buracos.

A família dos quadriláteros em casa

Os quadriláteros são os polígonos de quatro lados, e o 3º ano dedica a eles boa parte do tempo de geometria. O Common Core 3.G.A.1 pede que as crianças reconheçam "losangos, retângulos e quadrados como exemplos de quadriláteros", e a BNCC (EF03MA15) inclui o trapézio e o paralelogramo no mesmo ano. Os tipos de quadriláteros que seu filho encontra são:

• Paralelogramo: dois pares de lados paralelos.
• Retângulo: um paralelogramo com quatro ângulos retos.
• Losango: um paralelogramo com quatro lados iguais.
• Quadrado: retângulo e losango ao mesmo tempo, com quatro ângulos retos e quatro lados iguais.
• Trapézio: nos livros brasileiros, em geral um quadrilátero com exatamente um par de lados paralelos, chamados bases (alguns autores aceitam "pelo menos um par", então confira o livro do seu filho).
• Deltoide (pipa): dois pares de lados iguais vizinhos, sem precisar de lados paralelos.

Uma caçada na cozinha fixa a família. A frente de uma caixa de cereal é um retângulo, um biscoito pode ser um quadrado, e uma fatia de bolo cortada na diagonal pode formar um paralelogramo. Peça ao seu filho para dar dois nomes a cada um: "um quadrado, e também um retângulo".

Regra da prática: dê o nome pelas propriedades, não pela posição

Uma figura mantém o nome quando você a gira. Um quadrado girado 45° costuma ser chamado só de "losango", mas os lados continuam iguais e os ângulos continuam com 90°, então ele continua sendo um quadrado. Gire figuras de papel sobre a mesa e pergunte "Mudou?" até a resposta virar um "não" automático.

A simetria dá uma segunda verificação de propriedades. O quadrado tem 4 eixos de simetria e um retângulo que não é quadrado tem 2, então dobrar uma figura de papel separa os dois; o guia de eixos de simetria mostra como dobrar. Marcar os vértices de uma figura num quadriculado, como no guia do plano cartesiano, é a versão do 5º e do 6º ano da mesma verificação.

Como acompanhar o progresso do seu filho com os polígonos

Cinco perguntas curtas mostram se seu filho sabe as regras ou só reconhece desenhos. Desenhe cada figura no papel e pergunte sem dicas.

• Contar: uma figura de 6 lados está desenhada torta. Ela continua sendo um hexágono? Sim, qualquer polígono de 6 lados é um hexágono.
• Descartar: o semicírculo é um polígono? Não, um lado é curvo.
• Regular: um retângulo comprido é um polígono regular? Não, os lados dele não são todos iguais.
• Família: todo quadrado é losango? Sim. Todo losango é quadrado? Não.
• Soma dos ângulos (do 7º ano em diante): qual polígono tem ângulos internos que somam 1.080°? 1.080 ÷ 180 = 6, e 6 + 2 = 8, então é um octógono.

Uma caçada de figuras de cinco minutos por semana

Uma caçada de figuras semanal mostra o progresso sem prova. Dê ao seu filho cinco minutos para achar e nomear polígonos pela casa e conte quantos nomes completos ele dá, como "pentágono irregular" ou "hexágono regular".

Uma criança do 2º ano que nomeia triângulos, quadriláteros, pentágonos e hexágonos contando os lados está no caminho certo. Uma criança do 5º ou do 6º ano deve acrescentar regular ou irregular e explicar por que o quadrado é um retângulo. Os jogos de matemática para o 3º ano, gratuitos, mantêm rápidos os fatos numéricos por trás dessas verificações.

Erros comuns com polígonos e casos especiais

Quatro erros causam a maioria das respostas erradas nas folhas de polígonos, e cada um tem uma correção curta.

• Achar que o quadrado girado deixou de ser quadrado: chamar a figura só de "losango" esconde que ela continua sendo quadrado. Gire a figura de volta e confira lados e ângulos.
• Contar vértices duas vezes: as crianças perdem a conta em figuras com muitos lados. Marque o lado inicial com um pontinho e pare quando voltar a ele.
• Achar que "hexágono" quer dizer regular: hexágono é qualquer polígono de 6 lados. Um torto também conta, e só o rótulo "regular" muda.
• Chamar o cubo de quadrado: o cubo é um sólido de três dimensões com 6 faces quadradas. Chame a face de quadrado e o objeto inteiro de cubo.

Polígonos côncavos: a fórmula dos ângulos internos continua valendo

Um polígono côncavo tem pelo menos um ângulo interno maior que 180°. O OpenStax observa que "o que torna um polígono côncavo é ter um ângulo interno que mede mais de 180°". A flecha do desenho de polígono ou não tem 7 lados, com dois ângulos de encaixe de 270°, dois ângulos retos na cauda e três ângulos na ponta que pertencem a um triângulo.

Esses ângulos somam 270° + 270° + 90° + 90° + 180° = 900°, o que confere com (7 − 2) × 180° = 900°. A fórmula vale para todo polígono simples, convexo ou côncavo. A mesma flecha é um bom próximo passo para a área: divida a figura num retângulo e num triângulo, como mostra o guia de área e perímetro.

Sua lista de verificação de polígonos e próximos passos

• Plano e fechado: o contorno começa e termina no mesmo ponto e fica deitado no papel.
• Só lados retos: qualquer curva, como num círculo ou num semicírculo, tira a figura da lista.
• Conte os lados: de 3 a 10 lados vão do triângulo ao decágono.
• Regular ou irregular: todos os lados e todos os ângulos iguais fazem o polígono regular.
• Convexo ou côncavo: um vértice que afunda para dentro faz o polígono côncavo.
• Nome pelas propriedades: um quadrado girado continua sendo quadrado, e também retângulo e losango.

O círculo é a figura natural depois dos polígonos, e o guia de comprimento e área do círculo continua dali. Para uma sessão curta em família, o jogo de matemática para pais e filhos mantém rápidas as contas por trás da soma dos ângulos.

O MathIt é um app gratuito para iOS e Android com cerca de 90 tipos de jogos, dificuldade adaptativa e uma prática diária curta, então a multiplicação e a divisão por trás da soma dos ângulos continuam rápidas enquanto seu filho aprende as figuras.