多边形讲解：什么是多边形，各叫什么名字，怎样判断

二年级的孩子带回一张图形练习纸，问“哪些是多边形？”，六边形和圆看起来都一样友好。什么是多边形，一条规则就能说清：由直的边围成的封闭平面图形。有了这条规则，给多边形起名字就只剩数边和检查几个特征。

什么是多边形，为什么从小学到初中都要学

多边形是封闭的平面图形，只由直的边围成，至少有 3 条边。OpenStax《Contemporary Mathematics》用一句话下定义：多边形是按直边的条数分类的封闭二维图形。边与边只在端点相接，这些点叫顶点（角）。

多边形贯穿整个小学的图形学习。国内人教版一年级下册认识长方形、正方形、三角形和平行四边形，四年级上册学平行四边形和梯形，四年级下册学三角形的内角和，八年级上册再学多边形的内角和公式。教育部印发的《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》包括数学课程标准，自 2022 年秋季学期起执行。美国的共同核心标准 2.G.A.1要求二年级学生认识和画出具有指定特征的图形，并辨认三角形、四边形、五边形、六边形和正方体。各年级的安排见各年级应该掌握的数学。

名字本身就有提示：中文“多边形”就是有很多条边的图形，英文名来自希腊语，意思是“很多个角”。

是不是多边形：圆、不封闭的图形、曲边图形和正方体

一个图形只要违反四条规则中的任何一条，就不是多边形：平面的、封闭的、只有直边、至少 3 条边。下面四种图形最容易让孩子出错：

• 圆： 圆只有一条曲线，没有直边，所以不是多边形。
• 不封闭的图形： 两头没有连上的直线折线不封闭，所以不是多边形。
• 有曲边的图形： 三条直边加一个圆顶的“墓碑”形不算，因为有一条边是弯的。
• 正方体或盒子： 正方体是立体图形。它的每个面是正方形，每个面都是多边形，但正方体本身不是。

边交叉是第五种情况。用直线画成的“8”字形，两条边在中间交叉，不是简单多边形，学校数学不讨论它。让孩子用手指沿边描一圈：如果手指要穿过自己走过的路线，这个图形就不算。

怎样一步一步给多边形命名

给多边形命名要做五步检查，从判断是不是多边形，到看它的角朝哪边。拿一张纸剪的图形或一块图形拼块，一边说一边做。

1. 确认是多边形。 用手指沿边描一圈。起点和终点必须是同一点，边是直的，没有交叉。
2. 数边。 在第一条边上用铅笔点一个点，记住从哪里开始，然后绕一圈数。边数总是等于角的个数。
3. 按边数叫名字。 中文的名字很直接，有几条边就叫几边形：3 条是三角形，4 条是四边形，5 条是五边形，6 条是六边形，依此类推，7、8、9、10 条分别是七边形、八边形、九边形和十边形。
4. 看是不是正多边形。 OpenStax 指出，如果多边形的各边长度都相等、各角也都相等，它就叫正多边形。用尺子量边，把一个图形叠在另一个上面比角。
5. 看是凸的还是凹的。 凸多边形的每个角都朝外。凹多边形至少有一个角向里凹进去，像箭头尾部的缺口或星形。

完整的名字把这些检查叠在一起，比如蜂巢的一个小格是“正六边形”，一个箭头是“不规则的凹七边形”。

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最容易错的地方：正方形既是长方形，也是菱形

正方形同时属于好几个家族，而很多大人当年学的是反过来的。长方形是四个角都是直角的四边形，所以正方形算。菱形是四条边都相等的平行四边形，所以正方形也算。

美国共同核心标准 5.G.B.3讲了其中的道理：所有长方形都有四个直角，正方形是长方形，所以所有正方形都有四个直角。下一条 5.G.B.4 要求五年级学生按特征把平面图形分层归类。国内三年级上册就说“正方形是特殊的长方形”。反过来不成立：大多数长方形不是正方形，因为它们的边不全相等。

从三角形到十边形：名称、边数和内角

多边形的名称跟着边数走，内角和有一个公式。OpenStax 给出的 n 边形内角和是 (n − 2) × 180°，正多边形的每个内角是 (n − 2) × 180° ÷ n。这个公式成立，是因为从一个顶点出发连对角线，能把任何凸多边形分成 n − 2 个三角形，每个三角形的内角和是 180°，这一点在三角形和角的分类里讲过。

停车标志这一行是交通法规定的。美国联邦的《统一交通控制设施手册》2B.05 节规定，STOP 标志应为红底、白字白边的八边形。它的八条边相等，所以是每个角 135° 的正八边形。

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哪些图形能无缝拼在一起

正多边形只有在一个内角能整除 360° 时，才能铺满地面。正三角形（60° × 6 = 360°）、正方形（90° × 4 = 360°）和正六边形（120° × 3 = 360°）围着一个点能拼得严丝合缝，所以蜂巢和浴室地砖用的就是它们。正五边形的内角 108° 不能整除 360°，所以正五边形的地砖总会留下缝隙。

在家认识四边形家族

四边形是有四条边的多边形，小学阶段学图形的时间大多花在它们身上。美国共同核心标准 3.G.A.1要求三年级学生认识菱形、长方形和正方形都是四边形的例子，并画出不属于这几类的四边形。国内三年级上册认识四边形，四年级上册学平行四边形和梯形。孩子会遇到的四边形有：

• 平行四边形： 两组对边分别平行。
• 长方形： 有四个直角的平行四边形，初中也叫矩形。
• 菱形： 四条边都相等的平行四边形。
• 正方形： 既是长方形又是菱形，有四个直角和四条相等的边。
• 梯形： 国内教材的定义是只有一组对边平行的四边形，所以平行四边形不是梯形（美国有些教材说至少一组，要看孩子用的课本）。
• 筝形： 两组相邻的边分别相等，不需要有平行的边，国内课本里不常出现。

在厨房里找一找，最能记住这个家族。麦片盒的一面是长方形，一块饼干可能是正方形，斜着切的一块蛋糕能切出平行四边形。让孩子给每个图形说两个名字：“正方形，也是长方形。”

练习规则：按特征命名，不看摆放方向

图形转一转，名字不会变。正方形斜着摆 45° 常被叫成“菱形块”或“钻石形”，但它的边仍然相等，角仍然是 90°，所以它还是正方形。在桌上转动纸剪的图形，问孩子“它变了吗？”，直到孩子脱口而出“没变”。

对称是第二种特征检查。正方形有 4 条对称轴，不是正方形的长方形只有 2 条，所以对折纸片就能把它们分开；对称轴讲解教你怎样折。把图形的顶点画在方格坐标里，像平面直角坐标系讲解那样，是高年级版本的同一种检查。

怎样检查孩子的多边形学得怎么样

五个小问题就能看出孩子是懂了规则，还是只认得图片。把每个图形画在纸上，不给提示地问。

• 数边： 画一个歪歪扭扭的 6 条边的图形。它还是六边形吗？是，任何 6 条边的多边形都是六边形。
• 排除： 半圆是多边形吗？不是，有一条边是弯的。
• 正多边形： 细长的长方形是正多边形吗？不是，它的边不全相等。
• 家族： 每个正方形都是菱形吗？是。每个菱形都是正方形吗？不是。
• 内角和（五年级以上）： 内角和是 1080° 的是几边形？1080 ÷ 180 = 6，6 + 2 = 8，所以是八边形。

每周五分钟找图形

每周找一次图形，不用考试也能看出进步。给孩子五分钟，在家里找出多边形并说出名字，然后数一数孩子说出了几个完整的名字，比如“不规则五边形”或“正六边形”。

二年级的孩子能靠数边说出三角形、四边形、五边形和六边形，就跟上了进度，相当于美国 2.G.A.1 的要求。四五年级的孩子还应该能说出是不是正多边形，并解释为什么正方形是长方形。免费的三年级数学游戏能让这些检查背后的计算保持熟练。

多边形的常见错误和特殊情况

大多数多边形练习题的错误来自四种情况，每种都有简单的纠正办法。

• 把斜放的正方形叫钻石形： “钻石形”不是数学名称。把图形转回来，检查边和角。
• 角数重复： 边多的图形，孩子容易数乱。在起始边上点一个点，回到这里就停。
• 以为“六边形”就是正六边形： 六边形是任何有 6 条边的多边形。歪的也算，变的只是“正”这个字。
• 把正方体叫成正方形： 正方体是有 6 个正方形面的立体图形。面叫正方形，整个物体叫正方体。

凹多边形：内角和公式照样成立

凹多边形至少有一个大于 180° 的内角。OpenStax 指出，多边形之所以是凹的，是因为它有一个大于 180° 的内角。“是不是多边形”图里的箭头有 7 条边，有两个 270° 的缺口角，尾部有两个直角，箭头尖上的三个角属于同一个三角形。

这些角加起来是 270° + 270° + 90° + 90° + 180° = 900°，正好等于 (7 − 2) × 180° = 900°。这个公式对每个简单多边形都成立，不管是凸的还是凹的。同一个箭头也是练面积的好例子：把它分成一个长方形和一个三角形，方法见面积和周长讲解。

多边形检查清单和下一步

• 平面且封闭： 边的起点和终点是同一点，图形平放在纸上。
• 只有直边： 有任何一条曲线，比如圆或半圆，就不是多边形。
• 数边： 3 到 10 条边，依次是三角形到十边形。
• 正或不正： 各边都相等、各角都相等，才是正多边形。
• 凸或凹： 有一个角向里凹，就是凹多边形。
• 按特征命名： 转过来的正方形还是正方形，也还是长方形和菱形。

学完多边形，接下来自然是圆，圆的周长和面积从这里接着讲。想和孩子一起练一小会儿，亲子数学游戏能让内角和背后的计算保持熟练。

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