Polygoner förklarade: vad en polygon är, vad varje månghörning heter och hur du ser skillnad

Ditt barn i årskurs 2 kommer hem med ett blad med figurer som frågar ”Vilka är polygoner?”, och sexhörningen och cirkeln ser lika vänliga ut. Svaret på vad en polygon är ryms i en regel: en plan, sluten figur med raka sidor. Med den regeln handlar det om att räkna sidor och kontrollera några egenskaper när du ska namnge en polygon.

Vad är en polygon, och varför den är viktig i årskurs 1–6

En polygon är en plan figur som är sluten och bara består av raka sidor, och den har minst 3 sådana. OpenStax Contemporary Mathematics säger det på en rad: en polygon är en sluten, tvådimensionell figur som delas in efter antalet raka sidor. Sidorna möts bara i sina ändar, i punkter som kallas hörn.

Polygoner går som en röd tråd genom geometrin i de tidiga årskurserna. I Sverige tar kursplanen i matematik i Lgr22 upp ”grundläggande geometriska tvådimensionella objekt” och deras egenskaper i årskurs 1–3, och i årskurs 4–6 tillkommer ”metoder för hur omkrets och area hos olika tvådimensionella geometriska figurer kan bestämmas och uppskattas”. I USA ber Common Core-standarden 2.G.A.1 elever i årskurs 2 att känna igen och rita figurer med ett visst antal vinklar och att identifiera trianglar, fyrhörningar, femhörningar, sexhörningar och kuber. Guiden om vilken matte varje årskurs ska kunna visar hur stegen hänger ihop.

Orden hjälper: på grekiska betyder ”poly” många och ”gon” vinkel, så en polygon är en figur med många vinklar, och det svenska ordet månghörning säger samma sak med hörn.

Polygon eller inte: cirklar, öppna figurer, böjda sidor och kuber

En figur klarar inte polygontestet när den bryter mot någon av de fyra reglerna: plan, sluten, bara raka sidor, minst 3 sidor. Fyra figurer lurar barn oftast:

• Cirkel: en cirkel har en böjd kant och inga raka sidor, så den är ingen polygon.
• Öppen figur: ett sicksack av raka linjer vars ändar inte möts är inte sluten, så den är ingen polygon.
• Figur med en böjd sida: en ”gravstensfigur” med tre raka sidor och en rundad topp klarar inte testet, eftersom en sida är böjd.
• Kub eller kartong: en kub är en tredimensionell kropp. Dess sidoytor är kvadrater, och varje sidoyta är en polygon, men kuben själv är det inte.

Sidor som korsar varandra är ett femte fall. En åtta ritad med raka linjer, där två sidor korsar varandra i mitten, är ingen enkel polygon, och skolmatematiken lämnar den utanför. Be ditt barn följa kanten med fingret: om fingret korsar sin egen väg räknas figuren inte.

Så namnger du en polygon, steg för steg

Att namnge en polygon kräver fem kontroller, från polygontestet till hörnens form. Gå igenom dem högt med en pappersfigur eller en mönsterbricka.

1. Kontrollera att det är en polygon. Följ kanten med fingret. Den måste börja och sluta i samma punkt, med raka sidor och utan korsningar.
2. Räkna sidorna. Sätt en prick med pennan på den första sidan så att du vet var du började, och räkna sedan runt. Antalet sidor är alltid lika med antalet hörn.
3. Para ihop antalet med ett namn. 3 är en triangel, 4 en fyrhörning, 5 en femhörning, 6 en sexhörning, 7 en sjuhörning, 8 en åttahörning, 9 en niohörning och 10 en tiohörning. De internationella namnen pentagon, hexagon och oktagon bygger på de grekiska räkneorden för 5, 6 och 8.
4. Kontrollera regelbunden eller oregelbunden. OpenStax slår fast att polygoner där alla sidor är lika långa och alla vinklar lika stora kallas regelbundna. Mät sidorna med en linjal och jämför hörnen genom att lägga en figur ovanpå en annan.
5. Kontrollera konvex eller konkav. En konvex polygon har alla hörn riktade utåt. En konkav polygon har minst ett hörn som buktar inåt, som skåran i en pil eller en stjärna.

Ett fullständigt namn staplar kontrollerna, som ”en regelbunden sexhörning” för en cell i en bikaka eller ”en oregelbunden konkav sjuhörning” för en pil.

Spela gratis i webbläsarenRäkna föremålFörskola–förskoleklass

Det som många gör fel: en kvadrat är en rektangel och en romb

En kvadrat hör till mer än en familj, och de flesta vuxna lärde sig det tvärtom. En rektangel är en fyrhörning med fyra räta vinklar, så en kvadrat räknas. En romb är en fyrhörning med fyra lika långa sidor, så en kvadrat räknas där också.

Common Core 5.G.B.3 förklarar varför: alla rektanglar har fyra räta vinklar och kvadrater är rektanglar, så alla kvadrater har fyra räta vinklar. Nästa standard, 5.G.B.4, ber elever i årskurs 5 att ordna tvådimensionella figurer i en hierarki efter deras egenskaper. Det omvända är fel: de flesta rektanglar är inte kvadrater, eftersom deras sidor inte är lika långa.

Polygonernas namn, sidor och vinklar från triangel till tiohörning

Polygonernas namn följer antalet sidor, och vinkelsumman följer en formel. OpenStax anger vinkelsumman i en polygon med n sidor som (n − 2) × 180° och varje vinkel i en regelbunden polygon som (n − 2) × 180° : n. Formeln fungerar eftersom linjer från ett hörn delar varje konvex polygon i n − 2 trianglar, och varje triangel rymmer 180°, något som guiden om olika sorters trianglar och vinklar går igenom.

Raden med stoppskylten är en trafikregel. I USA säger den federala Manual on Uniform Traffic Control Devices, avsnitt 2B.05 att stoppskylten ska vara en åttahörning med vit text och kant på röd botten. Dess åtta sidor är lika långa, så den är en regelbunden åttahörning med 135° i varje hörn.

Spela gratis i webbläsarenMultipeljaktÅk 3–5

Vilka figurer som passar ihop utan glipor

Regelbundna polygoner kan täcka ett golv bara när en vinkel går jämnt upp i 360°. Trianglar (60° × 6 = 360°), kvadrater (90° × 4 = 360°) och sexhörningar (120° × 3 = 360°) passar runt en punkt utan glipor, och därför används de i bikakor och badrumskakel. En regelbunden femhörnings 108° går inte jämnt upp i 360°, så plattor formade som regelbundna femhörningar lämnar alltid glipor.

Fyrhörningarnas familj hemma

Fyrhörningar är polygonerna med fyra sidor, och i USA ägnar årskurs 3 det mesta av sin tid med figurer åt dem. Common Core 3.G.A.1 ber barnen känna igen romber, rektanglar och kvadrater som exempel på fyrhörningar och rita fyrhörningar som inte hör till någon av de grupperna. De sorters fyrhörningar ditt barn möter är:

• Parallellogram: två par parallella sidor.
• Rektangel: ett parallellogram med fyra räta vinklar.
• Romb: ett parallellogram med fyra lika långa sidor.
• Kvadrat: både en rektangel och en romb, med fyra räta vinklar och fyra lika långa sidor.
• Parallelltrapets: minst ett par parallella sidor (vissa läroböcker säger exakt ett par, så titta i ditt barns bok).
• Drake (deltoid): två par lika långa sidor som ligger bredvid varandra, och inga parallella sidor behövs.

En jakt i köket får familjen att fastna. En sida på ett flingpaket är en rektangel, ett kex kan vara en kvadrat, och en tårtbit som skärs snett kan bli ett parallellogram. Be ditt barn namnge varje figur två gånger: ”en kvadrat, och också en rektangel.”

Övningsregel: namnge efter egenskaper, inte efter hur figuren är vriden

En figur behåller sitt namn när du vrider den. En kvadrat som vridits 45° kallas ofta ”ruter”, men sidorna är fortfarande lika långa och hörnen fortfarande 90°, så den är fortfarande en kvadrat. Vrid pappersfigurer på bordet och fråga ”Ändrades den?” tills svaret är ett självklart ”nej”.

Symmetri ger en andra kontroll av egenskaperna. En kvadrat har 4 symmetrilinjer och en rektangel som inte är en kvadrat har 2, så att vika en pappersfigur skiljer dem åt; guiden om symmetrilinjer visar hur du viker. Att pricka in en figurs hörn i ett rutnät, som i koordinatsystemet förklarat, är mellanstadiets version av samma kontroll.

Så kontrollerar du ditt barns framsteg med polygoner

Fem korta frågor visar om ditt barn kan reglerna eller bara känner igen bilder. Rita varje figur på papper och fråga utan ledtrådar.

• Räkna: en figur med 6 sidor är ritad sned. Är den fortfarande en sexhörning? Ja, varje polygon med 6 sidor är en sexhörning.
• Uteslut: är en halvcirkel en polygon? Nej, en sida är böjd.
• Regelbunden: är en lång rektangel en regelbunden polygon? Nej, dess sidor är inte lika långa.
• Familj: är varje kvadrat en romb? Ja. Är varje romb en kvadrat? Nej.
• Vinkelsumma (från mellanstadiet): vilken polygon har en vinkelsumma på 1 080°? 1 080 : 180 = 6, och 6 + 2 = 8, så det är en åttahörning.

En veckovis figurjakt på fem minuter

En figurjakt varje vecka visar framstegen utan prov. Ge ditt barn fem minuter att hitta och namnge polygoner i hemmet, och räkna sedan hur många fullständiga namn det ger, som ”oregelbunden femhörning” eller ”regelbunden sexhörning”.

Ett barn i årskurs 2 eller 3 som namnger trianglar, fyrhörningar, femhörningar och sexhörningar genom att räkna sidor ligger rätt för Lgr22:s tvådimensionella objekt i årskurs 1–3. Ett barn i årskurs 4 eller 5 bör lägga till regelbunden eller oregelbunden och förklara varför en kvadrat är en rektangel. Kostnadsfria mattespel för årskurs 3 håller räknefakta bakom de kontrollerna snabba.

Vanliga fel och specialfall med polygoner

Fyra fel ligger bakom de flesta felaktiga svar på arbetsblad om polygoner, och vart och ett har en kort lösning.

• Att kalla en vriden kvadrat för ruter: ”ruter” är inget matematiskt namn. Vrid tillbaka figuren och kontrollera sidor och vinklar.
• Att räkna hörn två gånger: barn tappar räkningen på figurer med många sidor. Markera den första sidan med en prick och sluta när du kommer tillbaka till den.
• Att tro att sexhörning betyder regelbunden: en sexhörning är varje polygon med 6 sidor. En sned sexhörning räknas också, och bara ordet ”regelbunden” försvinner.
• Att kalla en kub för kvadrat: en kub är en tredimensionell kropp med 6 kvadratiska sidoytor. Kalla sidoytan en kvadrat och hela föremålet en kub.

Konkava polygoner: formeln för vinkelsumman fungerar ändå

En konkav polygon har minst en vinkel som är större än 180°. OpenStax påpekar att det som gör en polygon konkav är en inre vinkel som är större än 180°. Pilen i bilden med polygon eller inte har 7 sidor, med två vinklar på 270° i skårorna, två räta vinklar vid stjärten och tre vinklar i pilspetsen som hör till en triangel.

Vinklarna blir tillsammans 270° + 270° + 90° + 90° + 180° = 900°, vilket stämmer med (7 − 2) × 180° = 900°. Formeln gäller för varje enkel polygon, konvex eller konkav. Samma pil är ett bra nästa steg för area: dela den i en rektangel och en triangel, som i area och omkrets förklarat.

Din checklista för polygoner och nästa steg

• Plan och sluten: kanten börjar och slutar i samma punkt och ligger plant på papperet.
• Bara raka sidor: en böjd del, som i en cirkel eller en halvcirkel, utesluter figuren.
• Räkna sidorna: 3 till 10 sidor ger triangel till tiohörning.
• Regelbunden eller oregelbunden: alla sidor och alla vinklar lika gör den regelbunden.
• Konvex eller konkav: ett hörn som buktar inåt gör den konkav.
• Namnge efter egenskaper: en vriden kvadrat är fortfarande en kvadrat, och fortfarande en rektangel och en romb.

Cirklar är den naturliga figuren efter polygonerna, och guiden om omkrets och area för en cirkel tar vid där. För en kort stund tillsammans håller mattespelet för föräldrar och barn räkningen bakom vinkelsummorna snabb.

MathIt är en kostnadsfri app för iOS och Android med ungefär 90 speltyper, anpassad svårighetsgrad och kort daglig träning, så multiplikationen och divisionen bakom vinkelsummorna går snabbt medan ditt barn lär sig figurerna.