Vielecke erklärt: was ein Polygon ist, wie jedes heißt und wie man es erkennt

Ihr Kind in der 2. Klasse bringt ein Blatt mit Formen nach Hause, auf dem steht „Welche sind Vielecke?“, und das Sechseck und der Kreis sehen gleich freundlich aus. Die Antwort auf die Frage, was ein Vieleck ist, passt in eine Regel: eine ebene, geschlossene Figur mit geraden Seiten. Mit dieser Regel heißt ein Vieleck benennen nur noch: Seiten zählen und ein paar Eigenschaften prüfen.

Was ist ein Vieleck, und warum es in der Grundschule und Unterstufe zählt

Ein Vieleck ist eine ebene Figur, die geschlossen ist und nur aus geraden Seiten besteht, und es hat mindestens 3 davon. Das Fachwort dafür ist Polygon. OpenStax Contemporary Mathematics fasst es in einem Satz: Ein Polygon ist eine geschlossene, zweidimensionale Figur, die nach der Zahl ihrer geraden Seiten eingeteilt wird. Die Seiten treffen sich nur an ihren Enden, in Punkten, die Ecken heißen.

Vielecke ziehen sich durch die Geometrie der ersten Schuljahre. In den USA verlangt der Common-Core-Standard 2.G.A.1 in der 2. Klasse, Formen mit einer vorgegebenen Zahl von Winkeln zu erkennen und zu zeichnen und Dreiecke, Vierecke, Fünfecke, Sechsecke und Würfel zu benennen. Die 3. Klasse sortiert dort die Vierecke, und die 5. Klasse ordnet sie in einen Stammbaum ein, wie der Leitfaden welche Mathe jede Klasse können sollte zeigt.

Das Wort hilft: Das griechische „poly“ heißt viel und „gon“ heißt Winkel, also ist ein Polygon eine Figur mit vielen Winkeln, genau wie das deutsche Vieleck eine Figur mit vielen Ecken ist.

Vieleck oder nicht: Kreise, offene Figuren, Kurven und Würfel

Eine Figur fällt durch den Vieleck-Test, wenn sie eine der vier Regeln bricht: eben, geschlossen, nur gerade Seiten, mindestens 3 Seiten. Vier Figuren bringen Kinder am häufigsten durcheinander:

• Kreis: Ein Kreis hat eine gekrümmte Linie und keine geraden Seiten, also ist er kein Vieleck.
• Offene Figur: Ein Zickzack aus geraden Linien, dessen Enden sich nicht treffen, ist nicht geschlossen, also ist es kein Vieleck.
• Figur mit runder Seite: Eine „Grabstein“-Form mit drei geraden Seiten und einem runden Dach fällt durch, weil eine Seite gekrümmt ist.
• Würfel oder Schachtel: Ein Würfel ist ein Körper. Seine Flächen sind Quadrate, und jede Fläche ist ein Vieleck, aber der Würfel selbst ist keins.

Sich kreuzende Seiten sind ein fünfter Fall. Eine mit geraden Linien gezeichnete Acht, bei der sich zwei Seiten in der Mitte kreuzen, ist kein einfaches Vieleck, und die Schulmathematik lässt sie weg. Lassen Sie Ihr Kind den Rand mit dem Finger nachfahren: Kreuzt der Finger seinen eigenen Weg, zählt die Figur nicht.

Ein Vieleck benennen, Schritt für Schritt

Ein Vieleck benennen braucht fünf Prüfungen, vom Vieleck-Test bis zur Form der Ecken. Gehen Sie sie mit einer Papierfigur oder einem Legeplättchen laut durch.

1. Prüfen, ob es ein Vieleck ist. Den Rand mit dem Finger nachfahren. Er muss am selben Punkt beginnen und enden, mit geraden Seiten und ohne Kreuzungen.
2. Die Seiten zählen. Einen Bleistiftpunkt auf die erste Seite setzen, damit man weiß, wo man angefangen hat, dann rundherum zählen. Die Zahl der Seiten ist immer gleich der Zahl der Ecken.
3. Der Zahl einen Namen geben. 3 ist ein Dreieck, 4 ein Viereck, 5 ein Fünfeck, 6 ein Sechseck, 7 ein Siebeneck, 8 ein Achteck, 9 ein Neuneck und 10 ein Zehneck. Daneben kommen die griechischen Namen vor, etwa Pentagon für das Fünfeck, Hexagon für das Sechseck und Oktagon für das Achteck.
4. Regelmäßig oder unregelmäßig prüfen. OpenStax hält fest, dass Vielecke regelmäßig heißen, wenn alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich groß sind. Messen Sie die Seiten mit dem Lineal und vergleichen Sie die Ecken, indem Sie eine Figur auf eine andere legen.
5. Konvex oder konkav prüfen. Bei einem konvexen Vieleck zeigt jede Ecke nach außen. Ein konkaves Vieleck hat mindestens eine Ecke, die nach innen eingedellt ist, wie die Kerbe eines Pfeils oder eines Sterns.

Ein vollständiger Name stapelt die Prüfungen, etwa „ein regelmäßiges Sechseck“ für eine Bienenwabe oder „ein unregelmäßiges, konkaves Siebeneck“ für einen Pfeil.

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Wo es meistens schiefgeht: Ein Quadrat ist ein Rechteck und eine Raute

Ein Quadrat gehört zu mehr als einer Familie, und die meisten Erwachsenen haben es andersherum gelernt. Ein Rechteck ist jedes Viereck mit vier rechten Winkeln, also zählt ein Quadrat dazu. Eine Raute ist jedes Viereck mit vier gleich langen Seiten, also zählt ein Quadrat auch dort.

Der Common-Core-Standard 5.G.B.3 begründet es: Alle Rechtecke haben vier rechte Winkel, und Quadrate sind Rechtecke, also haben alle Quadrate vier rechte Winkel. Der nächste Standard, 5.G.B.4, verlangt, ebene Figuren nach ihren Eigenschaften in eine Hierarchie einzuordnen. Umgekehrt stimmt es nicht: Die meisten Rechtecke sind keine Quadrate, weil ihre Seiten nicht alle gleich lang sind.

Namen, Seiten und Winkel der Vielecke vom Dreieck bis zum Zehneck

Die Namen der Vielecke folgen der Zahl der Ecken, und die Winkelsumme folgt einer Formel. OpenStax gibt die Summe der Innenwinkel eines Vielecks mit n Seiten als (n − 2) · 180° an und jeden Winkel eines regelmäßigen Vielecks als (n − 2) · 180° : n. Die Formel stimmt, weil Strecken von einer Ecke aus jedes konvexe Vieleck in n − 2 Dreiecke zerlegen und jedes Dreieck 180° hat, was der Leitfaden zu Dreiecksarten und Winkeln erklärt.

Die Zeile mit dem Stoppschild ist eine Verkehrsregel. Das US-amerikanische Manual on Uniform Traffic Control Devices, Abschnitt 2B.05 schreibt vor, dass das Stoppschild ein Achteck mit weißer Schrift und weißem Rand auf rotem Grund ist. Seine acht Seiten sind gleich lang, also ist es ein regelmäßiges Achteck mit Ecken von 135°.

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Welche Formen lückenlos aneinanderpassen

Regelmäßige Vielecke pflastern einen Boden nur dann, wenn ein Winkel 360° genau teilt. Dreiecke (60° · 6 = 360°), Quadrate (90° · 4 = 360°) und Sechsecke (120° · 3 = 360°) passen ohne Lücken um einen Punkt, deshalb kommen sie in Bienenwaben und auf Badezimmerfliesen vor. Die 108° des regelmäßigen Fünfecks teilen 360° nicht, also lassen regelmäßige Fünfeck-Fliesen immer Lücken.

Die Familie der Vierecke zu Hause

Vierecke sind die Vielecke mit vier Seiten, und in der Schule bekommen sie mehr Zeit als jede andere Form. Der bayerische LehrplanPLUS für das Gymnasium, Jahrgangsstufe 5 verlangt, die Vierecke Quadrat, Rechteck, Parallelogramm, Raute, Drachenviereck und Trapez zu erkennen, Gegenstände aus der Umgebung zuzuordnen und ihre Eigenschaften zu beschreiben. In den USA verlangt der Common-Core-Standard 3.G.A.1 in der 3. Klasse, Rauten, Rechtecke und Quadrate als Vierecke zu erkennen. Die Vierecke, denen Ihr Kind begegnet, sind:

• Parallelogramm: zwei Paare paralleler Seiten.
• Rechteck: ein Parallelogramm mit vier rechten Winkeln.
• Raute: ein Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten.
• Quadrat: Rechteck und Raute zugleich, mit vier rechten Winkeln und vier gleich langen Seiten.
• Trapez: mindestens ein Paar paralleler Seiten; nach dieser in deutschen Schulbüchern üblichen Definition ist auch jedes Parallelogramm ein Trapez (manche US-Bücher verlangen genau ein Paar, also schauen Sie ins Schulbuch Ihres Kindes).
• Drachenviereck: zwei Paare gleich langer Nachbarseiten, parallele Seiten sind nicht nötig.

Eine Suche in der Küche lässt die Familie haften. Die Vorderseite einer Müslipackung ist ein Rechteck, ein Keks kann ein Quadrat sein, und ein schräg geschnittenes Kuchenstück kann ein Parallelogramm ergeben. Bitten Sie Ihr Kind, jede Form doppelt zu benennen: „ein Quadrat und auch ein Rechteck“.

Übungsregel: nach Eigenschaften benennen, nicht nach der Lage

Eine Figur behält ihren Namen, wenn man sie dreht. Ein um 45° gedrehtes Quadrat nennen viele „Karo“, aber seine Seiten sind weiterhin gleich lang und seine Ecken weiterhin 90°, also ist es weiterhin ein Quadrat. Drehen Sie Papierfiguren auf dem Tisch und fragen Sie „Hat sie sich verändert?“, bis die Antwort ein selbstverständliches „Nein“ ist.

Die Symmetrie liefert eine zweite Prüfung der Eigenschaften. Ein Quadrat hat 4 Symmetrieachsen, ein Rechteck, das kein Quadrat ist, hat 2, also unterscheidet das Falten einer Papierfigur die beiden; der Leitfaden zu Symmetrieachsen zeigt, wie man dafür faltet. Die Ecken einer Figur in ein Gitter einzutragen, wie im Leitfaden das Koordinatensystem erklärt, ist die Version derselben Prüfung für die 5. und 6. Klasse.

So prüfen Sie den Fortschritt Ihres Kindes bei Vielecken

Fünf kurze Fragen zeigen, ob Ihr Kind die Regeln kennt oder nur Bilder wiedererkennt. Zeichnen Sie jede Figur auf Papier und fragen Sie ohne Hilfen.

• Zählen: Eine Figur mit 6 Seiten ist schief gezeichnet. Ist sie trotzdem ein Sechseck? Ja, jedes Vieleck mit 6 Seiten ist ein Sechseck.
• Ausschließen: Ist ein Halbkreis ein Vieleck? Nein, eine Seite ist gekrümmt.
• Regelmäßig: Ist ein langes Rechteck ein regelmäßiges Vieleck? Nein, seine Seiten sind nicht alle gleich lang.
• Familie: Ist jedes Quadrat eine Raute? Ja. Ist jede Raute ein Quadrat? Nein.
• Winkelsumme (ab Klasse 7): Welches Vieleck hat eine Innenwinkelsumme von 1.080°? 1.080 : 180 = 6 und 6 + 2 = 8, also ist es ein Achteck.

Eine wöchentliche Formen-Suche in fünf Minuten

Eine wöchentliche Formen-Suche zeigt den Fortschritt ohne Test. Geben Sie Ihrem Kind fünf Minuten, um im Haus Vielecke zu finden und zu benennen, und zählen Sie dann, wie viele vollständige Namen es nennt, etwa „unregelmäßiges Fünfeck“ oder „regelmäßiges Sechseck“.

Ein Kind in der 2. Klasse, das Dreiecke, Vierecke, Fünfecke und Sechsecke durch Zählen der Seiten benennt, ist auf einem guten Weg. Ein Kind in der 4. oder 5. Klasse sollte regelmäßig oder unregelmäßig ergänzen und erklären können, warum ein Quadrat ein Rechteck ist. Kostenlose Mathespiele für die 3. Klasse halten die Rechenaufgaben hinter diesen Prüfungen schnell.

Typische Fehler und Sonderfälle bei Vielecken

Vier Fehler verursachen die meisten falschen Antworten auf Arbeitsblättern zu Vielecken, und jeder hat eine kurze Lösung.

• Ein gedrehtes Quadrat „Karo“ nennen: „Karo“ ist kein mathematischer Name. Die Figur zurückdrehen und Seiten und Winkel prüfen.
• Ecken doppelt zählen: Bei Figuren mit vielen Seiten verlieren Kinder den Überblick. Die Startseite mit einem Punkt markieren und aufhören, wenn man wieder dort ankommt.
• Glauben, „Sechseck“ heiße regelmäßig: Ein Sechseck ist jedes Vieleck mit 6 Seiten. Ein schiefes zählt auch, nur das Wort „regelmäßig“ fällt weg.
• Einen Würfel Quadrat nennen: Ein Würfel ist ein Körper mit 6 quadratischen Flächen. Die Fläche heißt Quadrat, der ganze Gegenstand Würfel.

Konkave Vielecke: Die Winkelformel gilt trotzdem

Ein konkaves Vieleck hat mindestens einen Innenwinkel über 180°. OpenStax hält fest, dass ein Vieleck genau dann konkav ist, wenn es einen Innenwinkel von mehr als 180° hat. Der Pfeil im Bild „Vieleck oder nicht“ hat 7 Seiten, mit zwei Kerbwinkeln von 270°, zwei rechten Winkeln am Ende und drei Winkeln in der Pfeilspitze, die zu einem Dreieck gehören.

Diese Winkel ergeben zusammen 270° + 270° + 90° + 90° + 180° = 900°, und das passt zu (7 − 2) · 180° = 900°. Die Formel gilt für jedes einfache Vieleck, ob konvex oder konkav. Derselbe Pfeil ist ein guter nächster Schritt für den Flächeninhalt: ihn in ein Rechteck und ein Dreieck zerlegen, wie im Leitfaden Flächeninhalt und Umfang erklärt.

Ihre Checkliste zu Vielecken und die nächsten Schritte

• Eben und geschlossen: Der Rand beginnt und endet am selben Punkt und liegt flach auf dem Papier.
• Nur gerade Seiten: Jede Krümmung, wie beim Kreis oder Halbkreis, schließt die Figur aus.
• Seiten zählen: 3 bis 10 Seiten ergeben Dreieck bis Zehneck.
• Regelmäßig oder unregelmäßig: Lauter gleiche Seiten und lauter gleiche Winkel machen es regelmäßig.
• Konvex oder konkav: Eine nach innen eingedellte Ecke macht es konkav.
• Nach Eigenschaften benennen: Ein gedrehtes Quadrat ist weiterhin ein Quadrat und weiterhin ein Rechteck und eine Raute.

Kreise sind die natürliche nächste Form nach den Vielecken, und der Leitfaden zu Umfang und Fläche eines Kreises setzt dort an. Für eine kurze gemeinsame Runde hält das Mathespiel für Eltern und Kinder das Rechnen hinter den Winkelsummen schnell.

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