Çokgenler: çokgen nedir, her birinin adı ne ve nasıl ayırt edilir?

İlkokuldaki çocuğunuz eve “Hangileri çokgendir?” diye soran bir şekil kâğıdı getiriyor ve altıgen ile daire ikisi de aynı derecede masum görünüyor. Çokgen nedir sorusunun cevabı tek bir kurala sığar: düz kenarlı, düz ve kapalı bir şekil. Bu kuralla bir çokgene ad vermek, kenarları saymaya ve birkaç özelliği kontrol etmeye iner.

Çokgen nedir ve ilkokulda, ortaokulda neden önemlidir?

Çokgen, kapalı olan ve yalnızca düz kenarlardan oluşan düz bir şekildir ve en az 3 kenarı vardır. OpenStax Contemporary Mathematics bunu tek satırla söyler: çokgen, düz kenarlarının sayısına göre sınıflandırılan kapalı, iki boyutlu bir şekildir. Kenarlar yalnızca uçlarında, köşe denen noktalarda birleşir.

Çokgenler Türkiye'deki matematik programının ilkokuldan ortaokula kadar her yerinde vardır. MEB'in 2018 Matematik Dersi Öğretim Programı 1. sınıfta şekilleri köşe ve kenar sayılarına göre sınıflandırtır, 3. sınıfta “Şekillerin kenar sayılarına göre isimlendirildiklerini fark eder” kazanımıyla (M.3.2.1.4) dörtgeni, beşgeni, altıgeni ve sekizgeni tanıtır, 5. sınıfta çokgenleri isimlendirtir ve 7. sınıfta düzgün çokgenleri ve iç açılarını işler. ABD'de Common Core 2.G.A.1 standardı 2. sınıflardan belirli sayıda açısı olan şekilleri tanıyıp çizmelerini ve üçgenleri, dörtgenleri, beşgenleri, altıgenleri ve küpleri ayırt etmelerini ister; her sınıfta hangi matematik konularının bilinmesi gerektiği rehberi bu adımları sınıf sınıf gösterir.

Kelimenin kendisi de yardım eder: uluslararası ad olan poligon Yunanca “çok” ve “açı” sözcüklerinden gelir, Türkçedeki çokgen de çok köşeli bir şekil demektir.

Çokgen mi değil mi: daireler, açık şekiller, eğriler ve küpler

Bir şekil dört kuraldan herhangi birini bozduğunda çokgen testinden kalır: düz, kapalı, yalnızca düz kenarlı ve en az 3 kenarlı. Çocukları en çok dört şekil şaşırtır:

• Daire: dairenin eğri bir sınırı vardır ve düz kenarı yoktur, bu yüzden çokgen değildir.
• Açık şekil: uçları birleşmeyen düz çizgilerden bir zikzak kapalı değildir, bu yüzden çokgen değildir.
• Eğri kenarlı şekil: üç düz kenarı ve yuvarlak bir tepesi olan “mezar taşı” şekli kalır, çünkü bir kenarı eğridir.
• Küp ya da kutu: küp üç boyutlu bir cisimdir. Yüzleri karedir ve her yüz bir çokgendir, ama küpün kendisi çokgen değildir.

Kesişen kenarlar beşinci durumdur. Düz çizgilerle çizilmiş ve iki kenarı ortada kesişen bir sekiz rakamı basit bir çokgen değildir ve okul matematiği onu dışarıda bırakır. Çocuğunuzdan kenarı parmağıyla izlemesini isteyin: parmak kendi yolunu kesiyorsa şekil sayılmaz.

Bir çokgene adım adım nasıl ad verilir?

Bir çokgene ad vermek, çokgen testinden köşelerin biçimine kadar beş kontrol ister. Bunları kâğıttan bir şekille ya da bir geometrik blokla yüksek sesle yapın.

1. Çokgen olduğunu kontrol edin. Kenarı parmağınızla izleyin. Aynı noktada başlayıp bitmeli, kenarları düz olmalı ve kesişme olmamalıdır.
2. Kenarları sayın. Nereden başladığınızı bilmek için ilk kenara kalemle bir nokta koyun, sonra etrafında sayın. Kenar sayısı her zaman köşe sayısına eşittir.
3. Sayıyı bir adla eşleştirin. 3 üçgen, 4 dörtgen, 5 beşgen, 6 altıgen, 7 yedigen, 8 sekizgen, 9 dokuzgen ve 10 ongendir. Türkçede ad, sayıya “-gen” eklenerek kurulur.
4. Düzgün olup olmadığını kontrol edin. OpenStax bir çokgenin bütün kenarları eşit uzunlukta ve bütün açıları eşitse ona düzgün çokgen dendiğini belirtir. Kenarları cetvelle ölçün, köşeleri de bir şekli öbürünün üstüne koyarak karşılaştırın.
5. Dışbükey mi içbükey mi kontrol edin. Dışbükey bir çokgenin bütün köşeleri dışa bakar. İçbükey bir çokgenin ise bir okun çentiği ya da bir yıldız gibi içe doğru göçen en az bir köşesi vardır.

Tam bir ad bu kontrolleri üst üste koyar: bal peteğinin bir gözü için “düzgün altıgen”, bir ok için “düzgün olmayan içbükey yedigen” gibi.

Tarayıcıda ücretsiz oynayınNesneleri SaymaOkul öncesi–anasınıfı

En çok karıştırılan kısım: kare hem dikdörtgen hem eşkenar dörtgendir

Kare birden fazla aileye aittir ve çoğu yetişkin bunu tersinden öğrenmiştir. Dikdörtgen dört dik açısı olan her dörtgendir, bu yüzden kare de sayılır. Eşkenar dörtgen dört kenarı eşit olan her dörtgendir, bu yüzden kare orada da sayılır.

MEB programı bu ilişkiyi 7. sınıfta açıkça yazar (M.7.3.2.3): kare, dikdörtgenin ve eşkenar dörtgenin özel bir durumu olarak ele alınır; dikdörtgen ve eşkenar dörtgen de paralelkenarın özel hâlleridir. ABD'de Common Core 5.G.B.3 aynı nedeni verir: bütün dikdörtgenlerin dört dik açısı vardır ve kareler dikdörtgendir, bu yüzden bütün karelerin dört dik açısı vardır; 5.G.B.4 de iki boyutlu şekilleri özelliklerine göre bir hiyerarşide sınıflandırmayı ister. Tersi yanlıştır: dikdörtgenlerin çoğu kare değildir, çünkü kenarlarının hepsi eşit değildir.

Üçgenden ongene çokgenlerin adları, kenarları ve açıları

Çokgenlerin adları kenar sayısını, iç açılar toplamı da bir formülü izler. OpenStax n kenarlı bir çokgenin iç açılarının toplamını (n − 2) × 180°, düzgün bir çokgenin her bir açısını da (n − 2) × 180° ÷ n olarak verir. Formül işe yarar, çünkü bir köşeden çizilen doğrular her dışbükey çokgeni n − 2 üçgene böler ve her üçgen 180° taşır; bu bilgiyi üçgen ve açı çeşitleri rehberi anlatır.

STOP levhası satırı bir trafik kuralıdır. ABD'nin federal Trafik Kontrol Cihazları El Kitabı (MUTCD), bölüm 2B.05 STOP levhasının kırmızı zemin üzerinde beyaz yazılı ve beyaz kenarlı bir sekizgen olacağını söyler. Sekiz kenarı eşittir, bu yüzden 135° köşeli düzgün bir sekizgendir.

Tarayıcıda ücretsiz oynayınKatlar Yarışı3–5. sınıf

Hangi şekiller boşluk bırakmadan birleşir?

Düzgün çokgenler bir zemini ancak bir açıları 360°'yi tam böldüğünde kaplar. Üçgenler (60° × 6 = 360°), kareler (90° × 4 = 360°) ve altıgenler (120° × 3 = 360°) bir noktanın etrafına boşluksuz oturur; bal petekleri ve banyo fayansları bu yüzden onları kullanır. Düzgün beşgenin 108°'lik açısı 360°'yi bölmez, bu yüzden düzgün beşgen fayanslar her zaman boşluk bırakır.

Evde dörtgen ailesi

Dörtgenler dört kenarlı çokgenlerdir ve Türkiye'de 5. sınıf, dikdörtgenin, paralelkenarın, eşkenar dörtgenin ve yamuğun temel elemanlarını belirleyip çizmeye (M.5.2.2.3) ayrı zaman ayırır. ABD'de Common Core 3.G.A.1 3. sınıflardan eşkenar dörtgenleri, dikdörtgenleri ve kareleri dörtgen örnekleri olarak tanımalarını ve bu alt grupların hiçbirine girmeyen dörtgenler çizmelerini ister. Çocuğunuzun karşılaştığı dörtgen çeşitleri şunlardır:

• Paralelkenar: iki çift paralel kenar.
• Dikdörtgen: dört dik açısı olan bir paralelkenar.
• Eşkenar dörtgen: dört kenarı eşit olan bir paralelkenar.
• Kare: dört dik açısı ve dört eşit kenarıyla aynı anda hem dikdörtgen hem eşkenar dörtgen.
• Yamuk: en az bir çift paralel kenar; MEB programı yamuğu tanıtırken kenar çiftlerinden en az birinin paralel olduğunu vurgular, ABD'deki bazı ders kitapları ise tam olarak bir çift der.
• Deltoid: komşu kenarlardan oluşan iki çift eş kenar; paralel kenar gerekmez.

Mutfakta bir avlanma, aileyi akılda tutar. Bir mısır gevreği kutusunun yüzü dikdörtgendir, bir kraker kare olabilir, eğik kesilmiş bir kek dilimi de paralelkenar oluşturabilir. Çocuğunuzdan her birine iki ad vermesini isteyin: “bir kare, aynı zamanda bir dikdörtgen.”

Alıştırma kuralı: şekle duruşuna göre değil, özelliklerine göre ad verin

Bir şekil döndürüldüğünde adını korur. 45° eğilmiş bir kareye çoğu zaman “baklava” denir, ama kenarları hâlâ eşit, köşeleri hâlâ 90°'dir, yani hâlâ bir karedir. MEB programı da 2. sınıfta şekillerin yönü, konumu ya da büyüklüğü değiştiğinde biçimsel özelliklerinin değişmediğini fark ettirmeyi ister (M.2.2.1.4). Kâğıt şekilleri masada döndürün ve cevap kendiliğinden “hayır” olana kadar “Değişti mi?” diye sorun.

Simetri ikinci bir özellik kontrolü verir. Karenin 4, kare olmayan bir dikdörtgenin 2 simetri doğrusu vardır, bu yüzden kâğıt bir şekli katlamak onları ayırır; nasıl katlanacağını simetri doğrusu rehberi gösterir. Bir şeklin köşelerini kareli bir düzleme yerleştirmek, koordinat düzlemi rehberinde olduğu gibi, aynı kontrolün ortaokul sürümüdür.

Çocuğunuzun çokgenlerdeki ilerlemesi nasıl kontrol edilir?

Beş kısa soru, çocuğunuzun kuralları mı bildiğini yoksa yalnızca resimleri mi tanıdığını gösterir. Her şekli kâğıda çizin ve ipucu vermeden sorun.

• Sayma: 6 kenarlı bir şekil yamuk yumuk çizilmiş. Hâlâ altıgen mi? Evet, 6 kenarlı her çokgen bir altıgendir.
• Eleme: yarım daire bir çokgen mi? Hayır, bir kenarı eğridir.
• Düzgün: uzun bir dikdörtgen düzgün bir çokgen mi? Hayır, kenarlarının hepsi eşit değildir.
• Aile: her kare bir eşkenar dörtgen mi? Evet. Her eşkenar dörtgen bir kare mi? Hayır.
• İç açılar toplamı (7. sınıf ve sonrası): iç açıları toplamı 1.080° olan çokgen hangisidir? 1.080 ÷ 180 = 6 ve 6 + 2 = 8, yani bir sekizgendir.

Haftalık beş dakikalık şekil avı

Haftalık bir şekil avı, test yapmadan ilerlemeyi gösterir. Çocuğunuza evde çokgen bulup adlandırması için beş dakika verin, sonra “düzgün olmayan beşgen” ya da “düzgün altıgen” gibi kaç tam ad verdiğini sayın.

Üçgeni, dörtgeni, beşgeni, altıgeni ve sekizgeni kenarlarını sayarak adlandıran bir 3. sınıf öğrencisi MEB'in 3. sınıf kazanımına uygun ilerliyordur. 5. sınıftan itibaren bir öğrenci karenin neden aynı zamanda dikdörtgen olduğunu açıklayabilmeli, 7. sınıfta da düzgün ya da düzgün olmayan ayrımını eklemelidir. Ücretsiz 3. sınıf matematik oyunları bu kontrollerin arkasındaki sayı bilgilerini hızlı tutar.

Çokgenlerde sık yapılan hatalar ve sınır durumlar

Çokgen çalışma kâğıtlarındaki yanlış cevapların çoğunu dört hata doğurur ve her birinin kısa bir çözümü vardır.

• Eğik kareye baklava demek: “baklava” matematiksel bir ad değildir. Şekli geri döndürün ve kenarları ve açıları kontrol edin.
• Köşeleri iki kez saymak: çocuklar çok kenarlı şekillerde sayıyı kaçırır. Başlangıç kenarını bir noktayla işaretleyin ve ona geri dönünce durun.
• “Altıgen” düzgün demek sanmak: altıgen 6 kenarlı her çokgendir. Yamuk yumuk olan da sayılır; yalnızca “düzgün” etiketi değişir.
• Küpe kare demek: küp, 6 kare yüzü olan üç boyutlu bir cisimdir. Yüze kare, nesnenin tamamına küp deyin.

İçbükey çokgenler: iç açı formülü yine işe yarar

İçbükey bir çokgenin en az bir iç açısı 180°'den büyüktür. OpenStax bir çokgeni içbükey yapan şeyin 180°'den büyük bir iç açıya sahip olması olduğunu belirtir. Çokgen mi değil mi resmindeki okun 7 kenarı vardır: 270°'lik iki çentik açısı, kuyrukta iki dik açı ve ok ucunda tek bir üçgene ait üç açı.

Bu açılar 270° + 270° + 90° + 90° + 180° = 900° eder ve (7 − 2) × 180° = 900° ile uyuşur. Formül dışbükey ya da içbükey her basit çokgende geçerlidir. Aynı ok alan için de iyi bir sonraki adımdır: alan ve çevre rehberinde gösterildiği gibi onu bir dikdörtgene ve bir üçgene bölün.

Çokgen kontrol listeniz ve sonraki adımlar

• Düz ve kapalı: kenar aynı noktada başlayıp biter ve kâğıdın üzerinde düz durur.
• Yalnızca düz kenarlar: daire ya da yarım dairedeki gibi herhangi bir eğri şekli dışarıda bırakır.
• Kenarları sayın: 3 ile 10 arası kenar, üçgenden ongene kadar adları verir.
• Düzgün mü değil mi: bütün kenarlar ve bütün açılar eşitse çokgen düzgündür.
• Dışbükey mi içbükey mi: içe göçen bir köşe çokgeni içbükey yapar.
• Özelliklere göre ad verin: döndürülmüş bir kare hâlâ karedir, hâlâ hem dikdörtgen hem eşkenar dörtgendir.

Çokgenlerden sonra doğal olarak daire gelir ve çemberin çevresi ve dairenin alanı rehberi oradan devam eder. Kısa bir ortak çalışma için veliler ve çocuklar için matematik oyunu iç açılar toplamının arkasındaki işlemleri hızlı tutar.

MathIt, yaklaşık 90 oyun türü, uyarlanabilir zorluk ve kısa bir günlük alıştırma sunan ücretsiz bir iOS ve Android uygulamasıdır; böylece çocuğunuz şekilleri öğrenirken iç açılar toplamının arkasındaki çarpma ve bölme işlemleri hızlı kalır.