位取りをやさしく解説：意味と、家でできる手伝い方

小学2年生のお子さんが、347の3はいくつを表しますかと聞くプリントを持って帰ってきます。次の問いは同じ数を位ごとに分けて書くこと。上の欄には「位取り」と印刷されています。答えが300なのはご存じでしょう。難しいのは、なぜ300なのかを、7歳が納得する言葉で説明することです。

位取りとは何ですか？

位取りとは、数字の表す大きさが、その数字のいる位で決まるという決まりです。347は3と4と7という数字でできていて、それぞれが別の大きさを運んでいます。3は300、4は40、7は7です。これを書き出したものが、位ごとに分けた式、300 + 40 + 7です。

どの位も、1つ右の位の10倍で、1つ左の位の10分の1です。1が10個で10、10が10個で100、100が10個で1000。位の名前は一の位、十の位、百の位、千の位と続き、日本語ではそのあと万、億、兆と4けたごとに新しい名前が来ます。

3つの言葉がいつも混ざります。

• 数字は紙の上の記号です。3。
• 位はその数字がいる列です。百の位。
• 表す大きさはそこでの値です。300。

アメリカの全米研究評議会が2001年に出した報告書Adding It Upは、数とその計算の数学に的をしぼることを選びました。学校の算数が立っている地面がそこだからです。

0は空き地ではなく、位を開けておく役目

0は何も数えていないのに、数の中で仕事をしています。706では、0が十の位には何もないと知らせ、7を百の位に留めているので、この数は76につぶれません。

小学校学習指導要領は第2学年に「4位数までについて、十進位取り記数法による数の表し方及び数の大小や順序について理解すること」を置いています。アメリカの標準も同じ例を使っていて、706は7つの百、0の十、6つの一だと書きます（2.NBT.A.1）。0を飛ばして読む子は、空いている位も数のうちだとまだ認めていません。

なぜ位取りが、この先のすべてを支えるのですか？

位取りは小学校の計算が座っている土台なので、ここに穴があると何年もあとに原因不明のつまずきとして表に出ます。筆算のたし算、くり下がり、四捨五入、かけ算の筆算、小数は、どれも位についての決まりです。位が読めない子は、手続きを1つずつ別の手品として覚えるしかありません。

アメリカの実践ガイドAssisting Students Struggling with Mathematicsは、支援の教材が幼稚園から5年生までの整数を深く扱うことをすすめています。整数を深く扱うとは、位取りを扱うということです。整数は位取りでできているからです。

くり上がり、くり下がり、小数はこの上にある

くり上がりとくり下がりは、短い名前がついた位取りの操作です。一の位で 8 + 5 が13になったら、そのうちの10を1つに束ねて1つ左の位へ動かします。くり下がりでは、1つの百をほどいて10個の十にします。

四捨五入も同じ考えで動きます。347を百の位までのがい数にするには、どの百とどの百の間にいるかが分かっていなければなりません。学習指導要領は第4学年に四捨五入とがい数を置き、アメリカの標準は3年生に同じことを求めます（3.NBT.A.1）。がい数のゲームと2けたのたし算のゲームを何回かやっておくと、筆算が来る前に位の言葉が耳になじみます。

小数は、同じ位を小数点の右へのばしただけです。学習指導要領は第5学年に「ある数の10倍、100倍、1000倍、10分の1、100分の1などの大きさの数を、小数点の位置を移してつくること」と書いています。アメリカの標準も5年生で同じことを言います（5.NBT.A.1）。

家で位取りを育てる手順

位取りは、数字で書く前にものを使って作ります。長い1回より短い5回です。10個そろうものなら何でも使えます。パスタ、ビーズ、ストロー、1円玉。

1. 10個を束ねる。 ストローを10本数えて、輪ゴムでまとめます。この束が1つの十だと声に出して言い、その回のあいだは束のまま置いておきます。
2. 位に名前をつける。 紙に2列かいて、左に十の位、右に一の位と書きます。束は左の列、ばらのストローは右の列へ。
3. 数を声に出す。 34を「十が3つと1が4つ」と読み、続けて「さんじゅうよん」と読みます。2つの言い方を続けて聞くと、目の前の山と書かれた数がつながります。
4. 位ごとに分けて書く。 山の横に 34 = 30 + 4 と書き、書いたものと目の前のものを一致させます。束が10個そろって百になったら 347 = 300 + 40 + 7 に上げます。
5. 十を1つほどく。 束しか残っていないところで、ばらのストローを7本ください、と頼みます。輪ゴムを1本切ることが、くり下がりのすべてです。手でやるわけです。

10分で十分です。次の日、同じ5手をもっと大きい数でくり返します。

ブラウザで無料で遊ぶ位取り小1〜小2

家庭が飛ばす一手：数を声に出す

家庭が飛ばす一手は、数を声に出すことです。書かせる練習より多くの間違いをここで拾えます。347を「さん、よん、なな」と読む子はまだ百に出会っていませんし、「さんびゃくよんじゅうなな」と読む子は出会っています。

日本語の数の言い方は英語と違ってきれいに規則的で、13は「じゅうさん」、つまり十が先に来ます。その分、声に出す練習はそのまま位の練習になります。学習指導要領も第2学年で4位数までの読み方と大小、順序を求めており、読み上げは内容の一部です。ストローが尽きたら、ブラウザの位取りの練習ゲームが同じ練習を続けます。

数を見せる4つの方法：ブロック、位取り表、位ごとの式、言葉

教室には4つの見せ方が出てきて、それぞれ位取りの別の面を見せます。お子さんは4つとも、しかも同じ週のうちに出会うことがあります。

アメリカの小学校段階の支援に関する実践ガイドは、具体物と半具体物をよく選んで組み合わせ、そこに数直線を加えることをすすめています。

どの場面でどれを使うか

どれを手に取るかは、目の前の問いで決まります。ブロックは「どれくらい大きいか」に、表は「どの位か」に、位ごとに分けた式は「この数字はいくつを表すか」に、言葉は「どう読むか」に答えます。

列がそろったままでいるか、それともずれていくかは、書く練習で決まります。小学2年生向けのたし算プリントには、けいせんの入った書く場所と答えがついています。

無料で印刷できるプリントたし算 — 2年生ワークシート · PDF

学年ごとに何を求められますか？

学習指導要領は、位取りを1つの位ずつ、小学1年から5年にかけて積み上げます。どの学年も足すのは1つの考えだけです。

• 小学1年。 2位数の表し方を理解し、数を十を単位としてみます。用語として一の位と十の位が出てきます。「一つの数をほかの数の和や差としてみる」ことも、ここに入っています。
• 小学2年。 4位数までについて、十進位取り記数法による表し方と、数の大小や順序を理解します。100は十が10個だという束ね方も、この学年です。
• 小学3年。 万の単位を知り、10倍、100倍、1000倍と10分の1の大きさを扱います。3位数や4位数のたし算とひき算の筆算も、この位取りの上で立ちます。
• 小学4年。 億と兆の単位を知り、十進位取り記数法についての理解を深めます。がい数と四捨五入もここです。
• 小学5年。 小数が同じ仕組みに入り、10倍、100倍、1000倍、10分の1、100分の1を、小数点の位置を移してつくります。

アメリカの州共通基礎スタンダードは同じ内容を1.NBT.B.2から5.NBT.A.1まで並べていて、順番はほぼ同じです。学年ごとに身につけたい算数がほかの領域を扱い、アメリカの州共通基礎スタンダードとはは、宿題をめぐる言い争いの下にある問いに答えます。どうしてやり方が自分の習ったものと違うのか、という問いです。

小数が入ってくるのは小学5年

小数が位取りの仕組みに正式に入るのは小学5年で、位のふるまいはそれまでと変わりません。小数そのものは小学3年に、端数の大きさを表すものとして10分の1の位まで出てきます。第5学年では小数点の位置を移す操作が加わり、347.392は 300 + 40 + 7 + 0.3 + 0.09 + 0.002 と分けられます。同じ内容はアメリカの標準では5.NBT.A.3にあたります。

身についたかどうかを確かめるには

5つの短い質問で、位取りが入ったかどうかが分かります。どれもプリントはいりません。

• どちらの数字が大きい大きさを表すか。 347の3と7ではどちらが大きいかを聞きます。答えは3です。3は300を表し、7は7だからです。
• この数字はいくつを表すか。 347の4を指さします。「よん」は数字の答え、「よんじゅう」は位取りの答えです。
• 10大きい数、10小さい数。 347より10大きい数と10小さい数を聞きます。100から900までのどの数でも暗算で言えるのが目標です。
• 2通りで作る。 40を、十だけで作り、次に一だけで作ってもらいます。4束と40個のばらは同じ量です。
• 2つの数をくらべる。 4,102と4,120はどちらが大きいか、そしてなぜかを聞きます。大小をくらべるゲームが、同じ位ごとに見ていく習慣を鍛えます。

347の問題と、間違いが示すもの

347の問題を間違えたとき、その先には2つの穴のどちらかがあります。「7」と答える子は数字を位のついていない記号として読んでいますし、「3、最初にあるから」と答える子は、答えは合っていても理由が小数で通じません。ブロックで347を作り、その横に743も作って、どちらの山が大きいかを聞いてみてください。

よくある間違いと、チェックリスト

小学1年から4年までの位取りのつまずきは、5つの間違いでほとんど説明できます。

• 307を三十七と読む。 0が何もないものに見えるので飛ばされます。0をかくして、残りが37と読めることを確かめ、次に指をどけて、この0が何を開けているのかを聞きます。
• 表す大きさではなく数字を答える。 347の4を聞かれて「よん」と答えます。毎回、位まで言わせてください。「十が4つ、つまり40」。
• 0をまったくの無だと思う。 4と40をブロックで並べてくらべます。0が、4個のタイルを4本の棒に変えたわけです。
• 4けたごとの読みと3けたごとのコンマがずれる。 日本語は万、億、兆と4けたで名前が変わるのに、数字には3けたごとにコンマが入ります。12,345,678を読むときは、コンマを無視して右から4けたで区切り直し、1234万5678として読ませてください。
• 1つの問題で2回くり上がる。 395 + 17 では一の位が12になって十が1つくり上がり、十の位が11になって百が1つくり上がり、412になります。束で1回やってみると、2回のくり上がりが手品ではなくなります。

位取りのチェックリスト

土台がしっかりしているかどうかは、6つのしるしで分かります。

• どの数も2通りで言える。 347は「さんびゃくよんじゅうなな」であり、「百が3つ、十が4つ、一が7つ」でもあります。
• 数字ではなく表す大きさを言える。 347の4を聞かれて、40と答えます。
• 0の役目を説明できる。 307について聞かれて、十がないと答えます。
• 10や100を暗算でたし引きできる。 347に10をたすと357、347から100を引くと247。
• 言われなくても位ごとに分けて書く。 どの3位数も、百と十と一の和になります。
• 位ごとにくらべる。 4,120が4,102より大きいのは十の位が違うからだと、自分の言葉で言えます。

宿題の夜と夜のあいだ、短い練習を毎日続けると位が身近なままでいられます。MathIt のアプリには約90種類のゲームがあり、難しさが答えに合わせて動くので、数はお子さんと一緒に大きくなります。2〜5人の対戦にすれば、位の練習がそのまま競走になります。