La numération de position expliquée aux parents : ce que c'est et comment aider à la maison

Votre enfant de CE1 rentre avec un exercice qui demande ce que vaut le 3 de 347, puis réclame le même nombre en décomposition additive, et le mot numération est imprimé en haut de la feuille. Vous savez que la réponse est 300. Expliquer pourquoi c'est 300, avec des mots qu'un enfant de sept ans accepte, est la partie difficile.

Qu'est-ce que la valeur positionnelle dans un nombre ?

La valeur positionnelle est la règle selon laquelle la valeur d'un chiffre dépend de la colonne où il se trouve. Le nombre 347 utilise les chiffres 3, 4 et 7, et chacun porte une quantité différente : le 3 vaut 300, le 4 vaut 40 et le 7 vaut 7. Écrit en toutes lettres, cela donne la décomposition additive du nombre, 300 + 40 + 7.

Chaque rang vaut dix fois le rang de droite et un dixième du rang de gauche. Dix unités font une dizaine, dix dizaines font une centaine, dix centaines font un millier. Les colonnes se suivent ainsi : unités, dizaines, centaines, milliers, dizaines de mille, centaines de mille, millions.

Trois mots sont sans arrêt confondus :

• Le chiffre est le symbole écrit sur la page : 3.
• Le rang est la colonne où il se trouve : les centaines.
• La valeur est ce qu'il vaut à cet endroit : 300.

Le rapport Adding It Up du National Research Council, publié en 2001, a choisi de se concentrer sur les nombres et leurs opérations, parce que c'est le sol sur lequel tient toute l'arithmétique de l'école.

Le zéro est un marqueur de position, pas une case vide

Le zéro fait un travail à l'intérieur d'un nombre même s'il ne compte rien. Dans 706, le 0 annonce qu'il n'y a aucune dizaine, et il maintient le 7 dans la colonne des centaines pour que le nombre ne s'effondre pas en 76.

Le standard américain de grade 2, l'équivalent du CE1, prend cet exemple exact : 706 vaut 7 centaines, 0 dizaine et 6 unités (2.NBT.A.1). Un enfant qui saute le zéro n'a pas encore accepté qu'une colonne vide compte quand même.

Pourquoi la valeur positionnelle porte tout ce qui vient ensuite

La valeur positionnelle est la fondation sur laquelle repose le reste de l'arithmétique élémentaire, et un trou à cet endroit ressort des années plus tard sous forme de mystère. L'addition posée, la retenue, l'arrondi, la multiplication posée et les nombres décimaux sont tous des règles de colonnes. Un enfant qui ne sait pas lire les colonnes mémorise chaque procédure comme une astuce séparée.

Le guide du What Works Clearinghouse Assisting Students Struggling with Mathematics recommande que les supports de remédiation traitent les nombres entiers en profondeur, de la maternelle à la fin de l'école élémentaire. Traiter les entiers en profondeur, c'est traiter la numération de position, puisque c'est de cela que les entiers sont faits.

Les retenues et les décimaux reposent dessus

La retenue à l'addition et la retenue à la soustraction sont des gestes de numération sous un nom plus court. Quand 8 + 5 fait 13 dans la colonne des unités, dix de ces unités sont groupées et déplacées d'une colonne vers la gauche ; quand on emprunte, une centaine est cassée en dix dizaines.

L'arrondi marche sur la même idée. Pour arrondir 347 à la centaine la plus proche, votre enfant doit savoir entre quelles centaines il se situe, et le standard de grade 3, l'équivalent du CE2, demande exactement cela (3.NBT.A.1). Quelques manches d'arrondi des nombres et d'addition à deux chiffres rendent le vocabulaire des colonnes familier avant l'arrivée des techniques posées.

Les nombres décimaux prolongent les mêmes colonnes à droite de la virgule. Le standard de grade 5, l'équivalent du CM2, le dit sans détour : un chiffre représente dix fois ce qu'il représente au rang de droite et un dixième de ce qu'il représente au rang de gauche (5.NBT.A.1).

Comment construire la numération à la maison, étape par étape

La numération se construit avec des objets avant de s'écrire avec des chiffres, et cinq séances courtes valent mieux qu'une longue. Tout ce dont vous avez dix exemplaires fait l'affaire : pâtes, perles, pailles, pièces de un euro.

1. Groupez dix objets. Comptez 10 pailles et mettez un élastique autour. Dites à voix haute que le paquet est une dizaine, et gardez-le entier pendant la séance.
2. Nommez les colonnes. Tracez deux colonnes sur une feuille et écrivez dizaines et unités. Les paquets vont dans la colonne de gauche, les pailles isolées dans celle de droite.
3. Dites le nombre à voix haute. Lisez 34 comme « trois dizaines et quatre unités », puis comme « trente-quatre ». Entendre les deux noms ensemble relie le tas au nombre écrit.
4. Écrivez la décomposition additive. Écrivez 34 = 30 + 4 à côté du tas pour que l'écrit et les objets s'accordent. Passez à 347 = 300 + 40 + 7 une fois que dix paquets sont devenus une centaine.
5. Cassez une dizaine. Demandez 7 pailles isolées quand il ne reste que des paquets. Couper un élastique, c'est toute la retenue de la soustraction, faite avec les mains.

Dix minutes suffisent. Recommencez les cinq étapes le lendemain avec des nombres plus grands.

Jouer gratuitement dans le navigateurValeur de positionCP–CE1

L'étape que les familles sautent : dire le nombre à voix haute

Dire le nombre à voix haute est l'étape que les familles sautent, et elle attrape plus d'erreurs que n'importe quel exercice écrit. Un enfant qui lit 347 « trois quatre sept » n'a pas encore rencontré les centaines ; celui qui lit « trois-cent-quarante-sept » les a rencontrées.

Le programme de mathématiques du cycle 2 vise dès le CP de « connaitre la valeur des chiffres en fonction de leur position » et demande au CE1 de passer d'une écriture à l'autre pour un même nombre : le programme officiel liste pour 635 le matériel, l'écriture en chiffres, le nom à l'oral « six-cent-trente-cinq », les écritures en unités de numération et la décomposition additive 600 + 30 + 5. Le nom dit à voix haute fait partie du programme. Une manche d'entraînement à la numération dans le navigateur fait le même exercice quand les pailles sont épuisées.

Quatre façons de montrer un nombre : matériel, tableau, décomposition, lettres

Quatre modèles circulent en classe, et chacun montre une tranche différente de la numération. Votre enfant rencontre les quatre, souvent la même semaine.

Le guide du What Works Clearinghouse sur la remédiation à l'école élémentaire recommande un ensemble bien choisi de représentations concrètes et semi-concrètes, plus la droite graduée.

Quel modèle utiliser et quand

Le modèle à choisir dépend de la question posée. Le matériel répond à « combien », le tableau répond à « quelle colonne », la décomposition répond à « que vaut ce chiffre », et l'écriture en lettres répond à « comment ça se dit ».

C'est à l'écrit que les colonnes restent alignées ou dérivent. Une fiche d'addition pour le CE1 donne à votre enfant des lignes réglées et un corrigé.

Fiche gratuite à imprimerAddition — élèves de CE1Fiche · PDF

Ce qui est attendu à chaque niveau

Les standards américains Common Core introduisent la numération un rang à la fois, du grade 1 au grade 5, c'est-à-dire du CP au CM2. Chaque année ajoute une seule idée, et les niveaux français suivent la même marche.

• CP, grade 1 (1.NBT.B.2). Les nombres à deux chiffres se lisent en dizaines et en unités : 10 est un paquet de dix unités, 11 à 19 sont une dizaine et quelques unités, et 10 à 90 sont tant de dizaines et 0 unité.
• CE1, grade 2 (2.NBT.A.1). Les nombres à trois chiffres se lisent en centaines, dizaines et unités, avec 100 comme paquet de dix dizaines. Ce niveau compte aussi jusqu'à mille, compte de 5 en 5, de 10 en 10 et de 100 en 100, et compare les nombres à trois chiffres avec >, = et <.
• CE2, grade 3 (3.NBT.A.1). La numération devient un outil : les enfants arrondissent à la dizaine ou à la centaine la plus proche et calculent jusqu'à 1 000 avec des stratégies fondées sur les rangs.
• CM1, grade 4 (4.NBT.A.1). La règle du « dix fois » est énoncée pour la première fois : un chiffre vaut dix fois ce qu'il vaut un rang plus à droite. Le standard donne 700 ÷ 70 = 10 comme exemple.
• CM2, grade 5 (5.NBT.A.1). Les nombres décimaux rejoignent le système, chaque rang valant dix fois le rang de droite et un dixième du rang de gauche.

Ce qu'il faut savoir en maths à chaque niveau couvre les autres domaines, et les maths Common Core expliquées répondent à la question qui se cache sous la plupart des disputes de devoirs : pourquoi la méthode ne ressemble en rien à la vôtre.

Où les décimaux entrent, au CM2

Les nombres décimaux rejoignent la numération de position au CM2, et les colonnes continuent de se comporter comme avant. Ce niveau demande de lire, écrire et comparer les décimaux jusqu'aux millièmes, et il écrit 347,392 en décomposition comme 3 × 100 + 4 × 10 + 7 × 1 + 3 × (1/10) + 9 × (1/100) + 2 × (1/1000) (5.NBT.A.3).

Comment vérifier que votre enfant a compris

Cinq questions courtes vous disent si la numération est en place, et aucune ne demande de feuille d'exercices.

• Quel chiffre vaut le plus ? Demandez lequel vaut le plus dans 347, le 3 ou le 7. La réponse est le 3, parce qu'il vaut 300 alors que le 7 vaut 7.
• Que vaut ce chiffre ? Montrez le 4 de 347. « Quatre » est une réponse de chiffre ; « quarante » est une réponse de valeur positionnelle.
• Dix de plus, dix de moins. Demandez 10 de plus que 347, puis 10 de moins. Le standard de grade 2 attend cela de tête pour tout nombre de 100 à 900 (2.NBT.B.8).
• Construisez-le de deux façons. Demandez 40 avec uniquement des dizaines, puis avec uniquement des unités. Quatre paquets et quarante objets isolés font la même quantité.
• Comparez deux nombres. Demandez lequel est le plus grand, 4 102 ou 4 120, et pourquoi. Une partie de comparaison des nombres entraîne cette habitude de comparer colonne par colonne.

Le test du 347, et ce qu'une mauvaise réponse veut dire

Une mauvaise réponse à la question du 347 désigne l'un de deux trous. L'enfant qui répond « le 7 » lit les chiffres comme des symboles sans colonne attachée, et l'enfant qui répond « le 3, parce qu'il est en premier » a la bonne réponse pour une raison qui tombera en panne sur les décimaux. Construisez 347 avec du matériel, construisez 743 à côté, et demandez quel tas est le plus gros.

Les erreurs fréquentes de numération, et votre pense-bête

Cinq erreurs expliquent l'essentiel des difficultés de numération du CP au CM1.

• Lire 307 comme trente-sept. Le zéro est sauté parce qu'il a l'air de rien. Cachez le 0, convenez que ce qui reste se lit 37, puis découvrez-le et demandez ce que le 0 maintient ouvert.
• Nommer le chiffre au lieu de sa valeur. Interrogé sur le 4 de 347, l'enfant répond « quatre ». Exigez la colonne à chaque fois : « quatre dizaines, c'est-à-dire 40 ».
• Prendre le zéro pour rien du tout. Comparez 4 et 40 avec du matériel côte à côte. Le 0 a transformé quatre cubes en quatre barres.
• Les noms de nombres qui cachent la dizaine. De onze à seize, le nom ne dit pas la dizaine, et soixante-dix et quatre-vingt-dix la disent en calcul. Dites « une dizaine et trois unités » à côté de « treize » jusqu'à ce que les deux sonnent normalement.
• Deux échanges dans le même calcul. Dans 395 + 17, les unités font 12, donc une dizaine passe à gauche, puis les dizaines font 11, donc une centaine passe à gauche, ce qui donne 412. Faites-le une fois avec des paquets et la double retenue cesse d'être magique.

Votre pense-bête de la numération

Six signes vous disent que la fondation est solide.

• Il dit n'importe quel nombre de deux façons. 347, c'est « trois-cent-quarante-sept » et « 3 centaines, 4 dizaines, 7 unités ».
• Il nomme la valeur, pas le chiffre. Interrogé sur le 4 de 347, votre enfant répond 40.
• Il explique ce que fait un zéro. Interrogé sur 307, votre enfant dit qu'il n'y a pas de dizaine.
• Il ajoute et retire 10 et 100 de tête. 347 plus 10 fait 357, et 347 moins 100 fait 247.
• Il écrit la décomposition sans qu'on le demande. Tout nombre à trois chiffres devient centaines plus dizaines plus unités.
• Il compare colonne par colonne. 4 120 l'emporte sur 4 102 parce que les dizaines diffèrent, et votre enfant sait le dire.

Un entraînement court et quotidien garde les colonnes familières entre deux soirs de devoirs. L'application MathIt propose environ 90 types de jeux à difficulté adaptative, donc les nombres grandissent en même temps que votre enfant, et ses parties à 2 à 5 joueurs transforment un exercice de colonnes en course.