数位与位值讲解：它到底是什么，在家怎么帮孩子

二年级的孩子带回一张练习，问 347 里的 3 表示多少，又要求把这个数写成 300 + 40 + 7，抬头印着“数位与位值”。答案是 300，这你知道。难的是怎么把“为什么是 300”讲成一个七岁孩子肯接受的说法。

一个数里的位值是什么？

位值是一条规则：一个数字值多少，取决于它站在哪一位上。347 用了 3、4、7 三个数字，各自带的量不一样：3 表示 300，4 表示 40，7 表示 7。把它摊开写出来，就是这个数的展开式，300 + 40 + 7。

每一位都是它右边那一位的十倍，也是它左边那一位的十分之一。十个一是一个十，十个十是一个百，十个百是一个千。国内的数位顺序是个位、十位、百位、千位、万位、十万位、百万位、千万位、亿位——注意汉语是四位一级（万、亿），和英文的三位一组不一样，读大数时先分级再读，会顺很多。

有三个说法总是被混在一起：

• 数字是纸上那个符号：3。
• 数位是它站的那一列：百位。
• 位值是它在那里表示多少：300。

美国国家研究理事会 2001 年的报告《Adding It Up》之所以把重点放在数与运算上，就是因为小学算术整个立在这块地基上。

0 是占位的，不是一片空白

0 虽然什么都不数，却在数里干着活。706 里的 0 宣布“十位上没有”，并且把 7 摁在百位上，这个数才没有塌成 76。

美国二年级的标准用的正是这个例子：706 等于 7 个百、0 个十和 6 个一（2.NBT.A.1）。把 0 跳过去的孩子，还没接受“空着的一位也算一位”。

位值为什么托着后面所有内容

位值是小学算术其余部分坐着的地基，所以这里缺一块，往往过好几年才以“莫名其妙”的形式冒出来。竖式加法、退位、估算、竖式乘法和小数，说到底都是关于“哪一列”的规则。读不懂列的孩子，只能把每套算法当成一个个互不相干的窍门死记。

What Works Clearinghouse 的实践指南《帮助数学困难的学生》建议，补救教学的材料要把整数从学前一直到五年级讲透。整数讲得透，讲的就是位值，因为整数就是由位值搭起来的。

进位、退位和小数都压在它上面

进位和退位其实就是位值的动作，只是名字更短。个位上 8 + 5 得 13，就把其中十个一捆起来，往左挪一位；退位则是把一个百拆成十个十。

估算用的是同一个想法。要把 347 估到最接近的整百，孩子得先知道它夹在哪两个百之间，国内三年级、美国的标准（3.NBT.A.1）要的都是这一步。在算法登场之前，先来几轮四舍五入练习和两位数加法，“哪一列”这种说法就不陌生了。

小数把同样的几列往小数点右边延长。美国五年级的标准说得直白：一个数字表示的量，是它右边一位的 10 倍，是它左边一位的十分之一（5.NBT.A.1）。

在家怎么一步步搭起位值

位值是先用东西摆出来的，然后才写成数字，而五次短练胜过一次长练。家里凡是能凑够十个的都行：意大利面、珠子、小棒、硬币。

1. 把十个捆成一捆。 数出 10 根小棒，用皮筋捆好。大声说这一捆就是一个十，而且这次练习里不许拆开。
2. 给列起名字。 在纸上画两列，左边写十位，右边写个位。捆好的放左边，散的放右边。
3. 把数读出来。 把 34 先读成“三个十和四个一”，再读成“三十四”。两个名字挨着听，那堆东西才和写下来的数对上号。
4. 写成展开式。 在那堆东西旁边写 34 = 30 + 4，让写的和摆的对上。等到十捆变成一个百，再上到 347 = 300 + 40 + 7。
5. 拆开一个十。 手边只剩捆好的时候，跟孩子要 7 根散的。剪开一根皮筋，退位这件事就全在手上做完了。

十分钟就够。第二天换大一点的数，把这五步再走一遍。

在浏览器里免费玩位值一至二年级

家长最爱跳过的一步：把数读出来

把数读出来是家长最爱跳过的一步，而它抓到的错比任何书面练习都多。把 347 读成“三、四、七”的孩子，还没遇上百位；读成“三百四十七”的孩子已经遇上了。

美国二年级的标准要求孩子会用数字、数词和展开式读写 1000 以内的数（2.NBT.A.3），读出来是标准的一部分。小棒用完了，浏览器里来一轮位值练习，练的是同一件事。

表示一个数的四种方式：计数块、数位表、展开式、汉字读法

课堂上会出现四种模型，每一种露出位值的不同侧面。孩子四种都会碰到，常常就在同一周里。

What Works Clearinghouse 关于小学阶段补救教学的指南建议，挑一套选得好的实物和半实物表示，再配上数轴。

什么时候用哪一种

该拿哪一种，取决于眼前是什么问题。计数块回答“有多少”，数位表回答“在哪一列”，展开式回答“这个数字表示多少”，汉字读法回答“这个数怎么念”。

书面练习才是那几列保持对齐还是开始歪掉的地方。二年级加法练习页给孩子留出对齐用的格子，还附答案。

免费可打印练习页加法 — 二年级学生练习卷 · PDF

各年级分别要求会什么

数位是一年一列往上加的，从一年级一直加到四年级下学期。每一年只添一个新想法，而下面括号里是美国同一内容对应的标准编号，方便和国外教材对照。

• 一年级。 认识 20 以内的数，再把两位数读成几个十和几个一：10 是十个一捆成的一个十，11 到 19 是一个十加几个一，20 到 90 是几个十和 0 个一（1.NBT.B.2）。
• 二年级。 认识万以内的数，把三位数读成几个百、几个十、几个一，100 是十个十捆成的一个百；还要会数数、按 5、10、100 跳着数，并用 >、=、< 比较三位数（2.NBT.A.1）。
• 三年级。 位值变成工具：估到最接近的整十或整百，并借助位值做 1000 以内的加减（3.NBT.A.1）。
• 四年级上学期。 认识亿以内的大数，四位一级地读写，并第一次把十倍关系说明白：一个数字表示的量是它右边一位的十倍，例子是 700 ÷ 70 = 10（4.NBT.A.1）。
• 四年级下学期。 小数加入这套体系，每一位仍然是右边一位的十倍、左边一位的十分之一（5.NBT.A.1）。

这条主线的依据是教育部印发、2022 年秋季学期起执行的《义务教育数学课程标准（2022年版）》，“数与运算”这一主题就是按这个次序展开的。各年级该会哪些数学讲的是其他几条线，而美国共同核心数学标准讲解回答的是大多数作业争执底下那个问题：为什么现在的方法和你当年学的完全不像。

小数在哪一步接进来

小数在四年级下学期接进这套体系，而各列的脾气一点没变。这一年要求孩子会读、写、比较小数，还要会把 347.392 写成展开式：3 × 100 + 4 × 10 + 7 × 1 + 3 × (1/10) + 9 × (1/100) + 2 × (1/1000)（5.NBT.A.3）。

怎么确认孩子真的会了

五个小问题就能看出位值有没有落地，一张练习纸都不用。

• 哪个数字表示的更多？ 问 347 里 3 和 7 哪个更大。答案是 3，因为它表示 300，而 7 就表示 7。
• 这个数字表示多少？ 指着 347 里的 4。答“四”是在说数字，答“四十”才是在说位值。
• 多 10、少 10。 问 347 多 10 是多少，少 10 是多少。二年级要求对 100 到 900 之间的任何数都能直接口算（2.NBT.B.8）。
• 用两种办法摆出来。 要 40：先只用十，再只用一。四捆和四十个散的一样多。
• 比两个数。 问 4102 和 4120 哪个大，为什么。玩一局比大小练习，练的就是一位一位往下比的习惯。

347 那道题，答错分别说明什么

347 那道题答错，指向两种缺口中的一种。答“7”的孩子，是把数字当成脱离了数位的符号在读；答“3，因为它在最前面”的孩子答案对，理由却是错的，一遇上小数就失灵。用计数块摆出 347，旁边再摆一个 743，问他哪一堆更多。

常见错误和一份检查清单

一到四年级里，位值上的麻烦大半来自五个错。

• 把 307 读成三十七。 0 被跳过去，因为它看着像什么都没有。把 0 遮上，一起承认剩下的读作 37，再把手拿开，问这个 0 撑住的是哪一位。
• 说数字，不说位值。 问 347 里的 4，孩子答“四”。每次都追一句数位：“四个十，也就是 40。”
• 把 0 当成完全没有。 把 4 和 40 用计数块并排摆出来。就是那个 0，把四个小方块变成了四根十条。
• 带 0 的大数读错。 汉语的数词其实很规整，“十三”本来就是“一个十和三个一”，这一条反倒是中文孩子的优势；真正容易栽的是 3004 要读成“三千零四”、4020 要读成“四千零二十”。按四位一级先分好，再读。
• 一道题里连着进两次位。 395 + 17，个位得 12 要进一个十，十位接着得 11 又要进一个百，结果是 412。用捆好的小棒亲手做一遍，连进两位就不再像魔术了。

位值检查清单

六个迹象说明地基是牢的。

• 任何数都能说两遍。 347 既是“三百四十七”，也是“3 个百、4 个十、7 个一”。
• 说的是位值，不是数字。 问 347 里的 4，孩子答 40。
• 讲得出 0 在干什么。 问 307，孩子说十位上没有。
• 口算加减 10 和 100。 347 加 10 是 357，347 减 100 是 247。
• 不用提醒就写展开式。 随便一个三位数，都拆得出几百加几十加几。
• 一位一位地比。 4120 比 4102 大，因为十位不同，而且孩子说得出这句话。

作业之间每天练一点，那几列才不会生疏。MathIt 有大约 90 种游戏，难度会自动跟着孩子长，2 到 5 人对战还能把枯燥的数位练习变成一场比赛。