Nombre rationnel et nombre irrationnel : comment les distinguer

Les devoirs de votre enfant en 4e demandent si 0,333…, √9 et π sont rationnels, et le corrigé dit que seul le dernier ne l'est pas. Les nombres rationnels sont les nombres que l'on peut écrire comme une fraction de deux entiers, et les nombres irrationnels sont ceux que l'on ne peut pas écrire ainsi, même en cherchant longtemps. Une définition et cinq tests rapides suffisent pour classer n'importe quel nombre, et ils expliquent aussi pourquoi une calculatrice n'affiche jamais la fin de π.

Qu'est-ce qu'un nombre rationnel ?

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire comme un quotient p/q, où p et q sont des entiers relatifs et q n'est pas 0. OpenStax Prealgebra 2e, section 7.1 le dit en une ligne : « Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire comme le rapport de deux entiers. » Le mot vient du latin ratio, le rapport, donc le guide sur les fractions est le bon point de départ si p/q vous semble lointain.

La même section d'OpenStax définit l'autre côté : « Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s'écrire comme le rapport de deux entiers. Son écriture décimale ne s'arrête pas et ne se répète pas. » Ensemble, les deux groupes forment les nombres réels, tous les points de la droite graduée.

En France, la notion arrive au collège. Le programme de mathématiques du cycle 4 demande en 4e de « définir la notion de nombre rationnel : le quotient de deux nombres entiers relatifs », et propose, avec la racine carrée, la « découverte de l'existence de nombres irrationnels ». Aux États-Unis, la norme Common Core 8.NS.A.1 fixe le même sujet en grade 8 et demande de convertir une écriture décimale qui finit par se répéter en nombre rationnel.

La famille des ensembles de nombres : ℕ, ℤ, ℚ et ℝ

Les ensembles de nombres s'emboîtent comme des boîtes gigognes. Les entiers naturels ℕ sont contenus dans les entiers relatifs ℤ, qui ajoutent les nombres négatifs comme −5 (voir les nombres négatifs expliqués). Les entiers relatifs sont contenus dans les nombres rationnels ℚ, qui ajoutent les fractions et les décimaux comme 3/4 et 0,75, et ℚ est contenu dans les nombres réels ℝ.

Les nombres irrationnels remplissent la partie de ℝ qui se trouve hors de ℚ. La lettre ℚ vient de « quotient », le résultat d'une division, que Wolfram MathWorld rattache au mot allemand Quotient. En France, ℕ commence à 0 (0, 1, 2, 3 …), et l'école ajoute un ensemble de plus entre ℤ et ℚ : les nombres décimaux 𝔻, comme 0,75 ou 2,5, que le schéma range avec les fractions dans ℚ.

Comment savoir si un nombre est rationnel, étape par étape

Un nombre est rationnel si l'un des quatre premiers tests ci-dessous répond oui ; seul un nombre qui échoue à tous est irrationnel. Faites les tests dans l'ordre et arrêtez-vous au premier oui.

1. Cherchez une fraction d'entiers. Un nombre déjà écrit p/q avec des entiers en haut et en bas, comme 7/3 ou −2/5, est rationnel. Un entier compte aussi, car 4 = 4/1 et 0 = 0/1.
2. Vérifiez si l'écriture décimale s'arrête. Un nombre décimal est rationnel, car c'est une fraction sur 10, 100 ou 1 000 : 0,75 = 75/100 = 3/4, et 2,5 = 25/10 = 5/2.
3. Vérifiez si l'écriture décimale se répète. Une écriture décimale avec un bloc de chiffres qui se répète à l'infini est rationnelle, donc 0,333… = 1/3 et 0,1666… = 1/6. La norme américaine Common Core 7.NS.A.2d demande de savoir que l'écriture décimale d'un nombre rationnel « se termine par des 0 ou finit par se répéter ».
4. Testez les racines carrées. La racine carrée d'un entier naturel n'est rationnelle que si ce nombre est un carré parfait : √9 = 3 et √49 = 7 sont rationnels, alors que √2, √3 et √10 sont irrationnels.
5. Reconnaissez les irrationnels célèbres. Pi (π = 3,14159…), e (2,71828…) et toute écriture décimale construite pour ne jamais se répéter, comme 1,010010001…, sont irrationnels.

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Le piège : 22/7 et 0,333…

La fraction 22/7 est rationnelle, alors que π est irrationnel, même si l'école utilise souvent 22/7 à la place de π. La division posée donne 22/7 = 3,142857142857…, avec le bloc 142857 qui se répète, alors que π = 3,14159… ne tombe jamais dans un bloc. Les deux nombres diffèrent dès la troisième décimale, c'est pourquoi 22/7 est une valeur approchée (le guide sur le périmètre et l'aire du cercle utilise les deux).

L'écriture 0,333… semble sans fin, donc beaucoup de gens la disent irrationnelle, mais elle vaut exactement 1/3. Une écriture décimale infinie est rationnelle tant qu'elle se répète. Seule une écriture décimale qui ne s'arrête jamais et ne se répète jamais correspond à un nombre irrationnel.

Nombres rationnels et irrationnels : exemples côte à côte

Les nombres rationnels et irrationnels se distinguent le plus facilement quand on applique les mêmes tests à des exemples courants. Chaque ligne de la comparaison donne le nombre, le verdict, la raison et la fraction quand elle existe.

Quel test essayer en premier

Le test le plus rapide dépend de la façon dont le nombre est écrit. Une fraction ou un entier est rationnel au premier coup d'œil, une écriture décimale demande la vérification « s'arrête ou se répète », et une racine carrée demande la vérification du carré parfait du guide sur les racines carrées.

La dernière ligne de la comparaison est la plus piégeuse. L'écriture 1,010010001… suit un motif clair (un 0 de plus à chaque fois), mais aucun bloc de chiffres ne se répète à l'infini, donc le nombre est irrationnel.

Comment transformer une écriture décimale périodique en fraction

Une écriture décimale périodique devient une fraction quand on fait disparaître la partie qui se répète par une multiplication. Prenez x = 0,272727…, où le bloc « 27 » a 2 chiffres, donc multipliez par 100.

• 100x = 27,272727…
• x = 0,272727…
• Soustrayez : 99x = 27, donc x = 27/99.

La fraction 27/99 se simplifie en divisant le numérateur et le dénominateur par 9, ce qui donne 3/11 ; le guide pour simplifier une fraction détaille cette étape. Vérifiez par la division posée : 3 : 11 = 0,272727…, l'écriture de départ.

Une écriture qui commence à se répéter plus tard demande une étape de plus. Pour x = 0,1666…, 10x = 1,666… et 100x = 16,666…, donc 100x − 10x = 90x = 15 et x = 15/90 = 1/6. La division décimale derrière ces vérifications se travaille en CM2 et en 6e, et le guide sur les nombres décimaux explique les rangs après la virgule.

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La règle d'entraînement : la longueur du bloc donne le nombre de 9

Un bloc de n chiffres qui se répète juste après la virgule se place sur n chiffres 9. Donc 0,777… = 7/9, 0,272727… = 27/99 et 0,123123… = 123/999 = 41/333.

Les nombres irrationnels n'ont pas d'écriture fractionnaire, donc on les situe avec une valeur approchée décimale. Le programme de 4e demande d'« encadrer la racine carrée d'un entier par deux nombres entiers consécutifs », et la norme américaine Common Core 8.NS.A.2 va jusqu'à placer √2 « entre 1 et 2, puis entre 1,4 et 1,5 ». La vérification est rapide : 1,4² = 1,96 et 1,5² = 2,25, donc √2 se trouve entre les deux.

Comment vérifier vos progrès sur les nombres rationnels

Cinq petites questions montrent si vous savez classer les nombres ou si vous devinez. Répondez sans notes, puis comparez.

• Entiers : −12 est-il rationnel ? Oui, car −12 = −12/1.
• Racines carrées : lesquels de √16, √20 et √25 sont rationnels ? √16 = 4 et √25 = 5 sont rationnels ; √20 est irrationnel, car 20 n'est pas un carré parfait.
• Écritures périodiques : écrivez 0,444… sous forme de fraction. La réponse est 4/9.
• Blocs de deux chiffres : écrivez 0,454545… sous forme de fraction. La réponse est 45/99 = 5/11.
• Ranger : rangez 7/3, √5 et 2,2 dans l'ordre croissant. √5 ≈ 2,236 et 7/3 ≈ 2,333, donc l'ordre est 2,2, √5, 7/3.

Un auto-test de dix minutes

Un auto-test de dix minutes mélange un nombre de chaque sorte : une fraction, un nombre décimal, une écriture périodique, une racine carrée et π. Dites le verdict et la raison à voix haute avant d'écrire quoi que ce soit, puis comparez la raison aux cinq tests.

Un bon verdict avec une fraction fausse montre un problème de calcul, pas un problème de compréhension des nombres rationnels. Connaître par cœur les carrés parfaits jusqu'à 144 et la règle des 9 supprime la plupart de ces erreurs, et les adultes qui reconstruisent ces automatismes peuvent utiliser le jeu de maths pour adultes en courtes séances quotidiennes.

Erreurs fréquentes et cas limites

Quatre erreurs causent la plupart des mauvaises réponses sur les nombres rationnels, et chacune se corrige vite.

• Dire irrationnelle toute écriture infinie : 0,333… ne s'arrête jamais mais vaut 1/3. Demandez-vous si les chiffres se répètent ; le fait qu'ils s'arrêtent ou non ne tranche pas la question.
• Prendre 22/7 ou 3,14 pour π : les deux sont des valeurs approchées rationnelles. Écrivez « π ≈ 3,14 » avec le signe ≈, qui garde la différence visible.
• Dire irrationnelle toute racine carrée : √9, √36 et √100 sont des entiers. Cherchez d'abord un carré parfait.
• Oublier zéro et les négatifs : 0 = 0/1 et −7 = −7/1 sont rationnels. La seule valeur interdite est un dénominateur égal à 0.

Cas limite : sommes et produits de nombres irrationnels

Un nombre rationnel plus un nombre irrationnel donne toujours un nombre irrationnel, donc 3 + √2 et π − 1 sont irrationnels. Un nombre rationnel non nul multiplié par un nombre irrationnel donne aussi un nombre irrationnel, donc 2π est irrationnel.

Deux nombres irrationnels peuvent se combiner en un nombre rationnel. √2 × √2 = 2, et √2 + (−√2) = 0, deux résultats rationnels. La raison pour laquelle √2 est irrationnel est une démonstration classique : si √2 = p/q sous forme irréductible, alors p² = 2q², donc p est pair ; en écrivant p = 2k, on obtient q² = 2k², donc q est pair aussi, ce qui contredit « irréductible ». MathWorld ajoute que les nombres irrationnels « ont des développements décimaux qui ne se terminent pas et ne deviennent pas périodiques ».

Votre liste de contrôle sur les nombres rationnels et la suite

• Fraction : pouvez-vous écrire le nombre p/q avec des entiers et q ≠ 0 ? Alors il est rationnel.
• Écriture décimale : l'écriture décimale s'arrête-t-elle ou se répète-t-elle ? Alors le nombre est rationnel.
• Racines carrées : le nombre sous la racine est-il un carré parfait ? Seulement dans ce cas, la racine est rationnelle.
• Valeurs approchées : traitez 22/7 et 3,14 comme des remplaçants de π, jamais comme π.
• Écritures périodiques : placez un bloc de n chiffres qui se répète sur n chiffres 9, puis simplifiez.
• Vérification : reconvertissez votre fraction par la division posée pour confirmer qu'elle correspond.

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