Les nombres décimaux expliqués aux parents : lire, comparer et s'en servir à la maison

Votre enfant de CM1 écrit 0,45 € à côté de 0,5 € et affirme que le premier fait plus d'argent. Le même enfant range 45 et 5 sans hésiter, et c'est ce qui rend les décimaux si pénibles à expliquer à la table de la cuisine. Un nombre décimal est un seul nombre, et la virgule dit où s'arrête l'unité entière.

Ce qu'est un nombre décimal, en une phrase

Un nombre décimal est un nombre qui utilise les rangs situés à droite d'une virgule pour montrer des parts d'une unité. Les chiffres gardent le rôle qu'ils ont dans les entiers : chaque rang vaut un dixième du rang de gauche. Dix centièmes font un dixième, comme dix pièces de dix centimes font un euro.

Lire les rangs à voix haute une fois suffit à faire apparaître le motif. Dans 3,456, le 4 vaut 4 dixièmes, le 5 vaut 5 centièmes et le 6 vaut 6 millièmes. Les standards américains énoncent la règle qui se cache derrière chacun de ces rangs : un chiffre vaut 1/10 de ce qu'il représente au rang situé à sa gauche.

La virgule marque l'unité, ce n'est pas un séparateur entre deux nombres

Les enfants lisent souvent 3,45 « trois virgule quarante-cinq », comme si 3 et 45 étaient deux nombres collés. La taille des chiffres après la virgule dépend du nombre de rangs, et c'est pourquoi 3,45 et 3,450 sont égaux alors que 3,45 et 3,045 sont très éloignés.

La correction consiste à dire le nom du rang à chaque fois. Lisez 3,45 « trois et quarante-cinq centièmes » et 3,045 « trois et quarante-cinq millièmes » : la différence s'entend. Une manche d'entraînement à la numération rend le nommage automatique.

Pourquoi les décimaux embrouillent des enfants à l'aise avec les entiers

Les décimaux cassent la règle à laquelle les enfants se fient le plus au sujet des nombres : plus de chiffres veut dire plus grand. 45 bat 5, 100 bat 99, et chaque année d'école jusqu'au CM1 récompense cette habitude.

Les décimaux désactivent la règle sans prévenir, et l'erreur n'est pas celle d'une petite minorité. À la question de savoir lequel de 0,274 et 0,83 est le plus grand, la plupart des élèves de CM2 et de 6e ont choisi 0,274, le nombre le plus long. À l'évaluation nationale américaine de 2004, moins de 30 % des jeunes de 17 ans ont su traduire 0,029 par 29/1000.

« Plus long veut dire plus grand » est la fausse règle classique

La règle du plus long survit parce qu'elle marche sur les entiers et sur les étiquettes de prix au-dessus d'un euro. Elle tombe dès que les chiffres passent à droite de la virgule, où 0,45 vaut 45 centièmes et 0,5 vaut 50 centièmes. Demandez à votre enfant s'il préfère 45 centimes ou un demi-euro, et la fausse règle s'écroule toute seule.

Une deuxième fausse règle se cache derrière la première : certains enfants décident qu'un décimal plus long est forcément plus petit, parce que des parts plus petites sonnent plus petit. Les deux règles ont raison environ une fois sur deux, et c'est pour cela qu'elles survivent.

Comment lire et comparer des décimaux, étape par étape

Lire correctement un décimal est déjà l'essentiel du travail de comparaison, parce que le nom du rang porte la taille. Déroulez ces six étapes avec un papier et un crayon les premières fois, puis abandonnez l'écrit.

1. Lisez d'abord la partie entière. Dans 12,35, la partie entière est 12. Dites « douze et » et marquez une pause.
2. Nommez le dernier rang. Comptez les chiffres après la virgule : un, ce sont des dixièmes ; deux, des centièmes ; trois, des millièmes. Dans 12,35 il y en a deux, donc le nombre est « douze et trente-cinq centièmes ».
3. Alignez les virgules. Écrivez les deux nombres l'un sous l'autre avec les virgules dans une seule colonne verticale, pour que chaque rang occupe sa propre colonne.
4. Complétez le plus court avec des zéros. 0,5 devient 0,50, donc les deux nombres ont le même nombre de rangs. Un zéro ajouté à droite d'un décimal ne change jamais sa valeur.
5. Comparez rang par rang, depuis la gauche. Les dixièmes d'abord : 5 dixièmes contre 4 dixièmes. 0,50 gagne au premier rang, donc 0,5 > 0,45 et rien de ce qui suit ne compte.
6. Vérifiez le résultat avec la monnaie. Convertissez les deux nombres en centimes : 50 contre 45. Quand la réponse en monnaie ne colle pas, c'est l'écrit qui contient une erreur.

L'étape que presque tout le monde saute : compléter avec des zéros

Compléter avec des zéros transforme une devinette en méthode, et les adultes la sautent parce qu'ils n'en ont plus besoin. Écrire 0,5 sous la forme 0,50 met un chiffre dans la colonne des centièmes, donc il y a quelque chose à comparer au 5 de 0,45. Le guide du What Works Clearinghouse propose un test de dépistage pour exactement cela : demander à un enfant de ranger 0,2, 0,12 et 0,056 du plus petit au plus grand.

L'ordre est 0,056 ; 0,12 ; 0,2. L'enfant qui déclare 0,056 le plus grand lit 56 au lieu de 56 millièmes. Comparer d'abord des entiers dans un jeu de plus grand et plus petit évite que les symboles deviennent un second problème.

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Décimaux, fractions et pourcentages côte à côte

Les décimaux, les fractions et les pourcentages sont trois façons d'écrire la même quantité, et chacune est plus commode pour un travail différent. Trois quarts d'une pizza, c'est 3/4, 0,75 et 75 %, et votre enfant rencontre les trois formes d'ici le CM2.

Quelle forme choisir

La monnaie et les mesures veulent un décimal, parce que les rangs collent aux euros et aux centimes et au système métrique. Les parts exactes veulent une fraction, puisqu'un tiers vaut 1/3 exactement alors que 0,333… ne finit jamais. La comparaison veut un pourcentage, parce que tous les pourcentages sont rapportés aux mêmes 100.

Convertir entre les trois formes, c'est de la division et de la multiplication, rien de plus. Le guide des fractions pour les parents couvre la moitié fractionnaire, et quelques manches d'entraînement aux pourcentages couvrent la troisième forme.

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Des décimaux du quotidien, résolus

Les décimaux s'enseignent plus facilement avec des objets qui en portent déjà qu'avec une feuille d'exercices, parce que la raison d'être du deuxième rang y est visible. Quatre endroits où votre enfant croise des décimaux chaque semaine : la monnaie, la balance de cuisine, le chronomètre et le panneau de la station-service.

Monnaie, balance, chronomètre et prix du carburant

La monnaie est le meilleur premier modèle parce qu'un euro est découpé en exactement 100 centimes égaux. 0,45 € fait 45 de ces centimes et 0,50 € en fait 50, donc le deuxième chiffre est une chose que votre enfant peut compter en pièces. Demandez 1,05 € en pièces et le zéro au rang des dixièmes cesse d'avoir l'air décoratif.

• Balance de cuisine. Une balance qui affiche 0,25 kg montre 250 g, parce qu'un kilogramme contient 1 000 g et que 0,25 en est 25 centièmes.
• Chronomètre. Un temps de 12,35 secondes est meilleur qu'un temps de 12,4 secondes, parce que 12,4 vaut 12,40. C'est l'erreur du plus long avec un enjeu qui intéresse l'enfant.
• Prix du carburant. Le panneau affiche 1,859 € le litre, écrit aux millièmes pour que le prix se termine par neuf dixièmes de centime. Arrondi au centime, cela fait 1,86 €.
• Recettes. Une recette qui demande 1,5 litre veut un litre et demi, parce que 0,5 vaut 5 dixièmes de litre.

Dix minutes au supermarché couvrent plus de rangs décimaux qu'une page d'exercices. Un ensemble varié comme le jeu de maths niveau CM2 entretient la forme écrite entre deux courses.

Comment vérifier que votre enfant a les décimaux

Deux questions courtes vous disent si votre enfant comprend les décimaux ou recopie une procédure. Posez-les des jours différents, et écoutez le raisonnement plutôt que de corriger la réponse.

Les signaux à écouter

Regarder comment un enfant arrive à une réponse renseigne plus que la réponse elle-même, parce qu'une mauvaise méthode produit souvent un bon résultat.

• Le test 0,45 contre 0,5 : demandez ce qui fait le plus d'argent. L'enfant qui répond 0,5 et l'explique par 50 centimes a la valeur positionnelle. L'enfant qui répond 0,5 parce qu'« on ajoute un zéro » a la règle sans la raison.
• Le test de la fraction : demandez combien vaut 0,7 en fraction. La réponse est 7/10, et 0,07 vaut 7/100, ce qui montre si les noms de rangs sont bien attachés à des tailles.
• Le test de la droite graduée : tracez une demi-droite de 0 à 1 graduée en dixièmes et demandez où se place 0,45. Le guide rapporte que des droites graduées en dixièmes ont rendu les élèves de CM2 et de 6e plus précis dans le placement des décimaux.
• Le test de lecture : écrivez 3,07 et demandez à votre enfant de le lire à voix haute. La lecture correcte est « trois et sept centièmes », et « trois virgule sept » signifie que le zéro a sauté.
• Le test de l'estimation : demandez à peu près combien fait 0,8 × 0,9 avant tout calcul. Les deux nombres sont sous 1 et assez proches de 1, donc la réponse est 0,72, et l'estimation écarte 0,072 et 7,2.

Les erreurs fréquentes sur les décimaux, et votre pense-bête maison

Cinq erreurs couvrent l'essentiel du travail sur les décimaux qui revient corrigé en rouge. Chacune a une correction en une ligne, utilisable à la table de la cuisine ce soir.

• Plus long veut dire plus grand. Déclarer 0,45 plus grand que 0,5 traite les chiffres comme un entier. Complétez le plus court en 0,50 et comparez d'abord les dixièmes.
• Lire 3,07 « trois virgule sept ». Sauter le zéro fait perdre un rang entier et transforme 7 centièmes en 7 dixièmes. Dites le nom du rang du dernier chiffre à chaque fois.
• Supprimer le zéro de 0,5. Écrire ,5 rend la virgule facile à manquer sur une page chargée, et les règles de rédaction du NIST comme la Brochure SI exigent le zéro devant.
• Additionner sans aligner la virgule. Aligner 3,2 et 0,45 à droite revient à ajouter 2 dixièmes à 5 centièmes. Écrivez 3,20 + 0,45 = 3,65 avec les virgules dans une seule colonne.
• Arrondir deux fois. Arrondir 4,649 au centime donne 4,65, et arrondir encore à un rang donne 4,7, alors que 4,649 à un rang donne 4,6. Arrondissez une seule fois, à partir du nombre d'origine.

Quelques manches d'un jeu d'arrondi règlent la dernière plus vite qu'une fiche de règles. Cinq habitudes empêchent les autres de revenir.

• Dites-le, ne le montrez pas du doigt. Votre enfant lit chaque décimal à voix haute avec le nom du rang avant de s'en servir.
• Les zéros à leur place. Tout nombre inférieur à 1 s'écrit avec son zéro devant la virgule, et les décimaux courts sont complétés avant toute comparaison.
• Vérification en monnaie. Toute réponse en euros est revérifiée en centimes.
• Estimer d'abord. Votre enfant dit à peu près ce que vaudra la réponse avant de multiplier ou de diviser des décimaux.
• Une page écrite par semaine. Une fiche d'exercices mixte niveau CM2 entretient la méthode écrite sans bagarre quotidienne.

Le calendrier est fixé par le programme de mathématiques du cycle 3 : « au CM1, les nombres décimaux rencontrés ne vont pas au-delà des centièmes et s'écrivent donc avec au plus deux chiffres après la virgule », puis au CM2 « l'étude des nombres décimaux s'étend aux millièmes », avec l'addition et la soustraction posées. Les standards américains suivent la même marche, de l'écriture décimale des fractions en dixièmes et centièmes (4.NF.C.6) jusqu'aux quatre opérations aux centièmes (5.NBT.B.7). Un fait vaut d'être dit à un enfant qui lit des étiquettes étrangères : beaucoup de pays écrivent un point là où la France écrit une virgule, et la Brochure SI autorise les deux marqueurs.