Rationella och irrationella tal förklarade: så skiljer du dem åt

Ditt barns läxa i årskurs 8 frågar om 0,333…, √9 och π är rationella, och facit säger att bara det sista inte är det. Rationella tal är de tal du kan skriva som ett bråk av två heltal, och irrationella tal är de som du inte kan skriva så, hur länge du än försöker. En definition och fem snabba tester räcker för att sortera vilket tal du än möter, och de förklarar också varför en miniräknare aldrig visar slutet på π.

Vad är ett rationellt tal?

Ett rationellt tal är ett tal som kan skrivas som ett bråk p/q, där p och q är heltal och q inte är 0. OpenStax Prealgebra 2e, avsnitt 7.1 säger det på en rad: ett rationellt tal är ett tal som kan skrivas som en kvot av två heltal. Ordet kommer från latinets ratio, förhållande, så guiden om bråk är rätt startpunkt om p/q känns ringrostigt.

Samma avsnitt i OpenStax definierar den andra sidan: ett irrationellt tal är ett tal som inte kan skrivas som en kvot av två heltal, och dess decimalform varken tar slut eller upprepas. Tillsammans bildar de två grupperna de reella talen, alla punkter på tallinjen.

I Sverige kommer ämnet i två steg. Kursplanen i matematik i Lgr22 tar upp ”rationella tal, däribland negativa tal, och deras egenskaper” i årskurs 4–6 och ”talsystemets utveckling från naturliga tal till reella tal” i årskurs 7–9. I USA ligger ämnet i årskurs 8: Common Core-standarden 8.NS.A.1 säger att tal som inte är rationella kallas irrationella, att varje tal har en decimalutveckling, att decimalerna i ett rationellt tal till slut upprepas och att ett periodiskt decimaltal kan göras om till ett rationellt tal.

Talmängderna: ℕ, ℤ, ℚ och ℝ

Talmängderna ryms i varandra som lådor i lådor. De naturliga talen ℕ ligger inuti heltalen ℤ, som lägger till de negativa talen som −5 (se negativa tal förklarade). I svensk skola räknas 0 till de naturliga talen, så ℕ är 0, 1, 2, 3 …, medan många länder låter ℕ börja på 1. Heltalen ligger inuti de rationella talen ℚ, som lägger till bråk och decimaltal som 3/4 och 0,75, och ℚ ligger inuti de reella talen ℝ.

De irrationella talen fyller den del av ℝ som ligger utanför ℚ. Bokstaven ℚ står för ”kvot”, svaret på en division, som Wolfram MathWorld härleder till det tyska ordet Quotient. Eftersom amerikanska läroböcker ofta låter ℕ börja på 1, har de dessutom ett eget namn för 0, 1, 2, 3 … som ett steg mellan ℕ och ℤ.

Så avgör du om ett tal är rationellt, steg för steg

Ett tal är rationellt om något av de fyra första testerna nedan säger ja; bara ett tal som inte klarar något av dem är irrationellt. Gå igenom testerna i ordning och sluta vid första ja.

1. Leta efter ett bråk av heltal. Ett tal som redan är skrivet som p/q med heltal i täljare och nämnare, som 7/3 eller −2/5, är rationellt. Ett heltal räknas också, eftersom 4 = 4/1 och 0 = 0/1.
2. Kontrollera om decimalerna tar slut. Ett ändligt decimaltal är rationellt, eftersom det är ett bråk med 10, 100 eller 1 000 i nämnaren: 0,75 = 75/100 = 3/4 och 2,5 = 25/10 = 5/2.
3. Kontrollera om decimalerna upprepas. Ett decimaltal med ett block av siffror som upprepas i all oändlighet är rationellt, så 0,333… = 1/3 och 0,1666… = 1/6. Common Core 7.NS.A.2d ber eleverna göra om ett rationellt tal till decimalform med lång division och veta att decimalerna antingen slutar med nollor eller till slut upprepas.
4. Pröva kvadratrötter mot kvadrattal. Kvadratroten ur ett naturligt tal är rationell bara när talet är ett kvadrattal: √9 = 3 och √49 = 7 är rationella, medan √2, √3 och √10 är irrationella.
5. Känn igen de kända irrationella talen. Pi (π = 3,14159…), e (2,71828…) och varje decimaltal som är byggt för att aldrig upprepas, som 1,010010001…, är irrationella.

Spela gratis i webbläsarenKvadrattalÅk 4–6

Det som många gör fel: 22/7 och 0,333…

Bråket 22/7 är rationellt, medan π är irrationellt, även om skolan ofta använder 22/7 för π. Lång division ger 22/7 = 3,142857142857…, där blocket 142857 upprepas, medan π = 3,14159… aldrig fastnar i ett block. De två talen skiljer sig redan i tredje decimalen, och därför är 22/7 ett närmevärde (guiden om omkrets och area för en cirkel använder båda).

Decimaltalet 0,333… ser oändligt ut, så många kallar det irrationellt, men det är exakt 1/3. Ett decimaltal som fortsätter i all oändlighet är rationellt så länge det upprepas. Bara ett decimaltal som både aldrig tar slut och aldrig upprepas är irrationellt.

Rationella och irrationella tal: exempel sida vid sida

Rationella och irrationella tal är lättast att skilja åt när du ser samma tester på vanliga exempel. Varje rad i jämförelsen ger talet, svaret, skälet och bråket när det finns ett.

Vilket test du ska pröva först

Det snabbaste testet beror på hur talet är skrivet. Ett bråk eller ett heltal är rationellt direkt, ett decimaltal behöver kontrollen ”tar slut eller upprepas”, och en kvadratrot behöver kontrollen med kvadrattal från guiden om kvadratrötter.

Den sista raden i jämförelsen är den svåraste. Decimaltalet 1,010010001… har ett tydligt mönster (en nolla till varje gång), men inget enskilt block av siffror upprepas i all oändlighet, så det är irrationellt.

Så gör du om ett periodiskt decimaltal till ett bråk

Ett periodiskt decimaltal blir ett bråk när du multiplicerar bort den upprepade delen. Ta x = 0,272727…, där blocket ”27” har 2 siffror, så multiplicera med 100.

• 100x = 27,272727…
• x = 0,272727…
• Subtrahera: 99x = 27, så x = 27/99.

Bråket 27/99 förkortas genom att du delar täljare och nämnare med 9, vilket ger 3/11; guiden om hur du förkortar bråk visar det steget. Kontrollera med lång division: 3 : 11 = 0,272727…, decimaltalet du började med.

Ett decimaltal som börjar upprepas först efter några siffror behöver ett steg till. För x = 0,1666… är 10x = 1,666… och 100x = 16,666…, så 100x − 10x = 90x = 15 och x = 15/90 = 1/6. Den långa divisionen bakom de här kontrollerna hör till årskurs 6, och guiden om decimaltal förklarar positionerna efter decimaltecknet.

Gratis övningsblad att skriva utDivision — elever i årskurs 6Arbetsblad · PDF

Övningsregel: blockets längd bestämmer niorna

Ett block med n upprepade siffror som börjar direkt efter decimaltecknet ställs över n nior. Så 0,777… = 7/9, 0,272727… = 27/99 och 0,123123… = 123/999 = 41/333.

Irrationella tal har ingen bråkform, så du placerar dem med ett närmevärde i decimalform. Common Core 8.NS.A.2 ber eleverna använda rationella närmevärden för att jämföra storleken på irrationella tal, med exemplet att √2 ligger mellan 1 och 2 och sedan mellan 1,4 och 1,5. Kontrollen går snabbt: 1,4² = 1,96 och 1,5² = 2,25, så √2 ligger mellan dem.

Så kontrollerar du dina framsteg med rationella tal

Fem korta frågor visar om du kan sortera tal eller gissar. Svara utan anteckningar och jämför sedan.

• Heltal: är −12 rationellt? Ja, eftersom −12 = −12/1.
• Kvadratrötter: vilka av √16, √20 och √25 är rationella? √16 = 4 och √25 = 5 är rationella; √20 är irrationellt eftersom 20 inte är ett kvadrattal.
• Periodiska decimaltal: skriv 0,444… som ett bråk. Svaret är 4/9.
• Block med två siffror: skriv 0,454545… som ett bråk. Svaret är 45/99 = 5/11.
• Storleksordning: ordna 7/3, √5 och 2,2. √5 ≈ 2,236 och 7/3 ≈ 2,333, så ordningen är 2,2; √5; 7/3.

Ett självtest på tio minuter

Ett självtest på tio minuter blandar ett tal av varje sort: ett bråk, ett ändligt decimaltal, ett periodiskt decimaltal, en kvadratrot och π. Säg svaret och skälet högt innan du skriver något, och kontrollera sedan skälet mot de fem testerna.

Rätt svar men fel bråk pekar på räkningen, inte på idén om rationella tal. Att snabbt kunna kvadrattalen upp till 144 och regeln med niorna tar bort de flesta sådana slarvfel, och vuxna som bygger upp de här kunskaperna igen kan använda mattespelet för vuxna i korta dagliga omgångar.

Vanliga fel och specialfall

Fyra fel ligger bakom de flesta felaktiga svar om rationella tal, och vart och ett har en kort lösning.

• Att kalla varje oändligt decimaltal irrationellt: 0,333… fortsätter i all oändlighet men är lika med 1/3. Fråga om siffrorna upprepas; om de tar slut eller inte avgör inte saken.
• Att behandla 22/7 eller 3,14 som π: båda är rationella närmevärden. Skriv ”π ≈ 3,14” med tecknet ≈, så syns skillnaden.
• Att kalla varje kvadratrot irrationell: √9, √36 och √100 är heltal. Kontrollera först om talet är ett kvadrattal.
• Att glömma noll och negativa tal: 0 = 0/1 och −7 = −7/1 är rationella. Det enda förbjudna är nämnaren 0.

Specialfall: summor och produkter av irrationella tal

Ett rationellt tal plus ett irrationellt tal är alltid irrationellt, så 3 + √2 och π − 1 är irrationella. Ett rationellt tal som inte är noll gånger ett irrationellt tal är också irrationellt, så 2π är irrationellt.

Två irrationella tal kan bli ett rationellt tal tillsammans. √2 × √2 = 2 och √2 + (−√2) = 0, båda rationella. Skälet till att √2 själv är irrationellt är ett klassiskt bevis: om √2 = p/q i förkortad form är p² = 2q², så p är jämnt; om du skriver p = 2k får du q² = 2k², så q är också jämnt, vilket motsäger att bråket var förkortat. MathWorld tillägger att irrationella tal har decimalutvecklingar som varken tar slut eller blir periodiska.

Din checklista för rationella tal och nästa steg

• Bråkform: kan du skriva talet som p/q med heltal och q ≠ 0? Då är det rationellt.
• Decimalform: tar decimalerna slut eller upprepas de? Då är talet rationellt.
• Kvadratrötter: är talet under rottecknet ett kvadrattal? Bara då är roten rationell.
• Närmevärden: behandla 22/7 och 3,14 som ersättare för π, aldrig som π.
• Periodiska decimaltal: ställ ett block med n upprepade siffror över n nior och förkorta.
• Kontroll: gör om ditt bråk till decimalform med lång division och se att det stämmer.

Det kostnadsfria spelet med kvadrattal i webbläsaren tränar kvadrattalen bakom kvadratrotstestet, utan inloggning.

MathIt är en kostnadsfri app för iOS och Android med ungefär 90 speltyper, anpassad svårighetsgrad och kort daglig träning som håller kvadrattalen, bråken och divisionen bakom de här testerna snabba.