有理数和无理数讲解：怎样判断一个数是有理数还是无理数

上初中的孩子作业里问：0.333…、√9 和 π 哪些是有理数？答案上说只有最后一个不是。有理数是能写成两个整数之比的数，无理数是怎么试都写不成这种形式的数。一个定义加五个快速判断，就能把遇到的任何数分清楚，也能说明为什么计算器永远显示不完 π。

什么是有理数？

有理数是能写成分数 p/q 的数，其中 p、q 是整数，q 不等于 0。OpenStax《Prealgebra 2e》7.1 节用一句话下定义：“有理数是能写成两个整数之比的数。”英文里有理数一词来自“比”，所以如果 p/q 有点生疏，可以先看分数讲解。

同一节也定义了另一边：“无理数是不能写成两个整数之比的数，它的小数形式既不终止，也不循环。”有理数和无理数合在一起就是实数，也就是数轴上的每一个点。国内教材的说法是“整数和分数统称为有理数”，“无限不循环小数叫做无理数”。

国内七年级上册学有理数，之后在“实数”一章学平方根和无理数，放在初一还是初二要看教材版本。教育部印发的《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》包括数学课程标准，自 2022 年秋季学期起执行。美国把这个内容放在八年级，共同核心标准 8.NS.A.1要求学生知道不是有理数的数叫无理数，初步理解每个数都有小数展开式，说明有理数的小数展开式最终会循环，并能把循环小数化成有理数。

数集家族：ℕ、ℤ、ℚ 和 ℝ

数集像一层套一层的盒子。自然数集 ℕ 放在整数集 ℤ 里面，ℤ 又加进了负整数，比如 −5（见负数讲解）。整数集放在有理数集 ℚ 里面，ℚ 又加进了 3/4、0.75 这样的分数和小数，而 ℚ 放在实数集 ℝ 里面。国内教材规定自然数包括 0，正整数集记作 N* 或 N₊。

实数中不属于 ℚ 的部分就是无理数。字母 ℚ 代表“商”，也就是除法的结果，Wolfram MathWorld说它来自德语的 Quotient。美国不少教材还单列一组从 0 开始的数（0, 1, 2, 3 …），相当于国内的自然数；中文的“整数”包括负数，对应的是 ℤ。

怎样一步一步判断一个数是不是有理数

下面前四个判断只要有一个回答“是”，这个数就是有理数；四个都不通过的数才是无理数。按顺序判断，遇到第一个“是”就停。

1. 看能不能写成整数的分数。 已经写成 p/q、分子分母都是整数的数，比如 7/3 或 −2/5，是有理数。整数也算，因为 4 = 4/1，0 = 0/1。
2. 看是不是有限小数。 有限小数是有理数，因为它就是分母为 10、100 或 1000 的分数：0.75 = 75/100 = 3/4，2.5 = 25/10 = 5/2。
3. 看是不是循环小数。 有一段数字无限重复的小数是有理数，所以 0.333… = 1/3，0.1666… = 1/6。美国共同核心标准 7.NS.A.2d 要求学生用长除法把有理数化成小数，并知道有理数的小数形式要么以 0 结束，要么最终循环。
4. 看根号下是不是完全平方数。 整数的平方根只有在这个整数是完全平方数时才是有理数：√9 = 3、√49 = 7 是有理数，√2、√3 和 √10 是无理数。
5. 认出有名的无理数。 π = 3.14159…、e = 2.71828…，以及故意构造成永不循环的小数，比如 1.010010001…，都是无理数。

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最容易错的地方：22/7 和 0.333…

分数 22/7 是有理数，而 π 是无理数，尽管学校里常用 22/7 代替 π。做除法得到 22/7 = 3.142857142857…，142857 这一段不断重复，而 π = 3.14159… 永远不会出现循环节。两个数从小数点后第三位开始就不同了，所以 22/7 只是近似值（圆的周长和面积里两个都用到了）。

0.333… 看起来没有尽头，所以很多人以为它是无理数，其实它正好等于 1/3。一个小数哪怕无限长，只要循环就是有理数。只有既无限又不循环的小数才是无理数。

有理数和无理数的例子对照

把同样的判断方法用在常见的数上，最容易分清有理数和无理数。对照表的每一行给出这个数、结论、理由和能写成的分数。

先用哪个判断

最快的判断方法取决于这个数是怎么写的。分数或整数一眼就能看出是有理数，小数要看“有限还是循环”，平方根要用平方根讲解里的完全平方数判断。

对照表最后一行最难。小数 1.010010001… 有清楚的规律（每次多一个 0），但没有哪一段数字一直重复，所以它是无理数。

怎样把循环小数化成分数

把循环部分“乘掉”，循环小数就变成了分数。设 x = 0.272727…，循环节“27”有 2 位，所以乘 100。

• 100x = 27.272727…
• x = 0.272727…
• 两式相减：99x = 27，所以 x = 27/99。

27/99 的分子分母同时除以 9，约分后得到 3/11；约分的方法见分数怎样约分。用除法检验：3 ÷ 11 = 0.272727…，正是开始的那个小数。

不是从小数点后第一位就开始循环的小数，要多一步。设 x = 0.1666…，则 10x = 1.666…，100x = 16.666…，所以 100x − 10x = 90x = 15，x = 15/90 = 1/6。这些检验用到的除法是小学高年级的本领，小数讲解讲了小数点后面的数位。

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练习规律：循环节有几位，分母就有几个 9

从小数点后第一位开始、循环节有 n 位的纯循环小数，就写成分子是循环节、分母是 n 个 9 的分数。所以 0.777… = 7/9，0.272727… = 27/99，0.123123… = 123/999 = 41/333。

无理数写不成分数，所以要用近似值确定它的位置。美国共同核心标准 8.NS.A.2 要求学生用有理数近似值比较无理数的大小，举的例子是说明 √2 在 1 和 2 之间，再在 1.4 和 1.5 之间。检验很快：1.4² = 1.96，1.5² = 2.25，所以 √2 在两者之间。

怎样检查有理数学得怎么样

五个小问题就能看出你是会分类还是在猜。不看笔记回答，再对答案。

• 整数： −12 是有理数吗？是，因为 −12 = −12/1。
• 平方根： √16、√20 和 √25 中哪些是有理数？√16 = 4 和 √25 = 5 是有理数；√20 是无理数，因为 20 不是完全平方数。
• 循环小数： 把 0.444… 化成分数。答案是 4/9。
• 两位循环节： 把 0.454545… 化成分数。答案是 45/99 = 5/11。
• 排序： 把 7/3、√5 和 2.2 从小到大排列。√5 ≈ 2.236，7/3 ≈ 2.333，所以顺序是 2.2、√5、7/3。

十分钟自测

十分钟自测每种数各出一个：一个分数、一个有限小数、一个循环小数、一个平方根和 π。动笔之前先把结论和理由说出来，再对照五步判断法检查理由。

结论对了但分数写错，说明问题出在计算上，而不是没理解有理数。熟记 144 以内的完全平方数和“几位循环节就几个 9”的规律，能避免大多数这类失误。想重新练熟这些基本功的大人，可以每天几轮成人数学游戏。

常见错误和特殊情况

大多数有理数的错误来自四种情况，每种都有简单的纠正办法。

• 把所有无限小数都当成无理数： 0.333… 无限长，但等于 1/3。要问的是数字循不循环，有没有尽头决定不了。
• 把 22/7 或 3.14 当成 π： 两者都是有理数近似值。写成“π ≈ 3.14”，用约等号，区别就一目了然。
• 把所有平方根都当成无理数： √9、√36 和 √100 都是整数。先看是不是完全平方数。
• 忘了 0 和负数： 0 = 0/1，−7 = −7/1，都是有理数。唯一不允许的是分母为 0。

特殊情况：无理数的和与积

有理数加无理数一定是无理数，所以 3 + √2 和 π − 1 都是无理数。不为 0 的有理数乘无理数也是无理数，所以 2π 是无理数。

两个无理数却可能得到有理数。√2 × √2 = 2，√2 + (−√2) = 0，结果都是有理数。√2 是无理数有一个经典证明：假设 √2 = p/q 且已经约成最简分数，那么 p² = 2q²，所以 p 是偶数；设 p = 2k，得到 q² = 2k²，所以 q 也是偶数，这与“最简分数”矛盾。MathWorld补充说，无理数的小数展开式既不终止，也不成为周期的。

有理数检查清单和下一步

• 分数形式： 能写成 p/q，p、q 是整数且 q ≠ 0 吗？能就是有理数。
• 小数形式： 小数是有限的还是循环的？是就是有理数。
• 平方根： 根号下是完全平方数吗？只有是，平方根才是有理数。
• 近似值： 把 22/7 和 3.14 当作 π 的替身，而不是 π 本身。
• 循环小数： 循环节有 n 位，就写成分母是 n 个 9 的分数，再约分。
• 反过来检验： 用除法把分数化回小数，看是否一致。

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