Números racionais e números irracionais: como diferenciar um do outro

A lição de casa do seu filho do 9º ano pergunta se 0,333…, √9 e π são racionais, e o gabarito diz que só o último não é. Números racionais são os que você consegue escrever como fração de dois números inteiros, e números irracionais são os que você não consegue, por mais que tente. Uma definição e cinco testes rápidos bastam para classificar qualquer número, e eles também explicam por que a calculadora nunca mostra o fim do π.

O que é um número racional?

Um número racional é um número que pode ser escrito como uma fração p/q, em que p e q são números inteiros e q não é 0. O OpenStax Prealgebra 2e, seção 7.1 resume em uma linha: "um número racional é um número que pode ser escrito como razão de dois inteiros". A palavra vem de "razão", então o guia de frações é o ponto de partida certo se p/q estiver enferrujado.

A mesma seção do OpenStax define o outro lado: "um número irracional é um número que não pode ser escrito como razão de dois inteiros. A forma decimal dele não termina e não se repete." Juntos, os dois grupos formam os números reais, todos os pontos da reta numérica.

No Brasil, o tema fica no 8º e no 9º ano. A BNCC pede no 8º ano "reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica" (EF08MA05) e no 9º ano "reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica" (EF09MA02). Nos Estados Unidos, o padrão 8.NS.A.1 do Common Core pede o mesmo no 8º ano americano: saber que os números que não são racionais se chamam irracionais e converter em número racional uma expansão decimal que acaba se repetindo.

A família dos conjuntos numéricos: ℕ, ℤ, ℚ e ℝ

Os conjuntos numéricos cabem um dentro do outro, como caixas encaixadas. Os números naturais ℕ ficam dentro dos inteiros ℤ, que acrescentam os negativos, como −5 (veja números negativos explicados). Os inteiros ficam dentro dos racionais ℚ, que acrescentam frações e decimais como 3/4 e 0,75, e ℚ fica dentro dos reais ℝ.

Os números irracionais preenchem a parte de ℝ que fica fora de ℚ. A letra ℚ vem de "quociente", o resultado de uma divisão, que a Wolfram MathWorld liga à palavra alemã Quotient. Nos livros brasileiros, ℕ começa no zero, ℕ = {0, 1, 2, 3 …}, e o conjunto sem o zero se escreve ℕ*; em muitos livros americanos, os naturais começam no 1.

Como saber se um número é racional, passo a passo

Um número é racional se qualquer um dos quatro primeiros testes abaixo disser sim; só um número que falha em todos eles é irracional. Faça os testes em ordem e pare no primeiro sim.

1. Procure uma fração de inteiros. Um número já escrito como p/q com inteiros em cima e embaixo, como 7/3 ou −2/5, é racional. Um número inteiro também conta, porque 4 = 4/1 e 0 = 0/1.
2. Veja se o decimal termina. Um decimal exato é racional, porque é uma fração sobre 10, 100 ou 1.000: 0,75 = 75/100 = 3/4, e 2,5 = 25/10 = 5/2.
3. Veja se o decimal se repete. Um decimal com um bloco de algarismos que se repete para sempre, a dízima periódica, é racional, então 0,333… = 1/3 e 0,1666… = 1/6. O Common Core 7.NS.A.2d pede que o aluno saiba que a forma decimal de um número racional "termina em 0s ou acaba se repetindo".
4. Teste as raízes quadradas com os quadrados perfeitos. A raiz quadrada de um número natural só é racional quando o número é um quadrado perfeito: √9 = 3 e √49 = 7 são racionais, e √2, √3 e √10 são irracionais.
5. Reconheça os irracionais famosos. O pi (π = 3,14159…), o número e (2,71828…) e qualquer decimal construído para nunca se repetir, como 1,010010001…, são irracionais.

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Onde quase todo mundo erra: 22/7 e 0,333…

A fração 22/7 é racional, e π é irracional, mesmo que a escola use 22/7 no lugar de π muitas vezes. A divisão dá 22/7 = 3,142857142857…, com o bloco 142857 se repetindo, e π = 3,14159… nunca entra num bloco. Os dois números são diferentes a partir da terceira casa decimal, e por isso 22/7 é uma aproximação (o guia de comprimento e área do círculo usa os dois).

O decimal 0,333… parece infinito, então muita gente diz que ele é irracional, mas ele é exatamente 1/3. Um decimal que continua para sempre é racional desde que se repita. Só um decimal que ao mesmo tempo nunca termina e nunca se repete é irracional.

Números racionais e irracionais: exemplos lado a lado

Números racionais e irracionais ficam mais fáceis de separar quando você vê os mesmos testes aplicados a exemplos comuns. Cada linha da comparação traz o número, o veredito, o motivo e a fração, quando ela existe.

Qual teste fazer primeiro

O teste mais rápido depende de como o número está escrito. Uma fração ou um inteiro é racional à primeira vista, um decimal pede a verificação "termina ou se repete", e uma raiz quadrada pede a verificação do quadrado perfeito, do guia de raiz quadrada.

A última linha da comparação é a mais traiçoeira. O decimal 1,010010001… tem um padrão claro (um 0 a mais a cada vez), mas nenhum bloco de algarismos se repete para sempre, então ele é irracional.

Como achar a fração geratriz de uma dízima periódica

Uma dízima periódica vira fração quando você elimina a parte que se repete com uma multiplicação. Pegue x = 0,272727…, em que o período "27" tem 2 algarismos, então multiplique por 100.

• 100x = 27,272727…
• x = 0,272727…
• Subtraia: 99x = 27, então x = 27/99.

A fração 27/99 se simplifica dividindo em cima e embaixo por 9, o que dá 3/11; o guia de como simplificar frações mostra esse passo. Confira com a divisão: 3 ÷ 11 = 0,272727…, o decimal do começo.

Uma dízima composta, que só começa a se repetir depois de alguns algarismos, pede mais um passo. Para x = 0,1666…, 10x = 1,666… e 100x = 16,666…, então 100x − 10x = 90x = 15 e x = 15/90 = 1/6. A divisão por trás dessas conferências é matéria do 6º ano, e o guia de números decimais explica o valor posicional depois da vírgula.

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Regra da prática: o tamanho do período dá a quantidade de noves

Um período de n algarismos que começa logo depois da vírgula fica sobre n noves. Então 0,777… = 7/9, 0,272727… = 27/99 e 0,123123… = 123/999 = 41/333.

Os números irracionais não têm forma de fração, então você os localiza com uma aproximação decimal. A BNCC pede no 9º ano "estimar a localização de alguns deles na reta numérica" (EF09MA02), e o Common Core 8.NS.A.2 dá o exemplo de mostrar que √2 fica "entre 1 e 2, depois entre 1,4 e 1,5". A conferência é rápida: 1,4² = 1,96 e 1,5² = 2,25, então √2 fica entre os dois.

Como acompanhar o seu progresso com números racionais

Cinco perguntas curtas mostram se você sabe classificar números ou está chutando. Responda sem consultar e depois compare.

• Inteiros: −12 é racional? Sim, porque −12 = −12/1.
• Raízes quadradas: quais de √16, √20 e √25 são racionais? √16 = 4 e √25 = 5 são racionais; √20 é irracional, porque 20 não é quadrado perfeito.
• Dízimas periódicas: escreva 0,444… como fração. A resposta é 4/9.
• Períodos de dois algarismos: escreva 0,454545… como fração. A resposta é 45/99 = 5/11.
• Ordem: ponha 7/3, √5 e 2,2 em ordem. √5 ≈ 2,236 e 7/3 ≈ 2,333, então a ordem é 2,2, √5, 7/3.

Um autoteste de dez minutos

Um autoteste de dez minutos mistura um número de cada tipo: uma fração, um decimal exato, uma dízima periódica, uma raiz quadrada e o π. Fale o veredito e o motivo em voz alta antes de escrever qualquer coisa e depois confira o motivo com os cinco testes.

Acertar o veredito e errar a fração aponta para a aritmética, não para a ideia de número racional. Lembrar rápido os quadrados perfeitos até 144 e a regra dos noves elimina a maior parte desses deslizes, e adultos que estão reconstruindo esses fatos podem usar o jogo de matemática para adultos em rodadas diárias curtas.

Erros comuns e casos especiais

Quatro erros causam a maioria das respostas erradas sobre números racionais, e cada um tem uma correção curta.

• Chamar todo decimal infinito de irracional: 0,333… continua para sempre, mas é igual a 1/3. Pergunte se os algarismos se repetem; terminar ou não, sozinho, não decide.
• Tratar 22/7 ou 3,14 como π: os dois são aproximações racionais. Escreva "π ≈ 3,14" com o sinal ≈, que deixa a diferença à vista.
• Chamar toda raiz quadrada de irracional: √9, √36 e √100 são números inteiros. Procure primeiro um quadrado perfeito.
• Esquecer o zero e os negativos: 0 = 0/1 e −7 = −7/1 são racionais. O único valor proibido é o denominador 0.

Caso especial: somas e produtos de números irracionais

Um número racional mais um número irracional é sempre irracional, então 3 + √2 e π − 1 são irracionais. Um número racional diferente de zero vezes um número irracional também é irracional, então 2π é irracional.

Dois números irracionais podem se combinar num racional. √2 × √2 = 2, e √2 + (−√2) = 0, os dois racionais. O motivo de √2 ser irracional é uma demonstração clássica: se √2 = p/q na forma irredutível, então p² = 2q², e p é par; escrevendo p = 2k, chega-se a q² = 2k², então q também é par, o que contradiz "forma irredutível". A MathWorld acrescenta que os números irracionais "têm expansões decimais que não terminam nem se tornam periódicas".

Sua lista de verificação de números racionais e próximos passos

• Forma de fração: dá para escrever o número como p/q com inteiros e q ≠ 0? Então ele é racional.
• Forma decimal: o decimal termina ou se repete? Então ele é racional.
• Raízes quadradas: o número dentro da raiz é um quadrado perfeito? Só então a raiz é racional.
• Aproximações: trate 22/7 e 3,14 como substitutos de π, nunca como π.
• Dízimas periódicas: ponha um período de n algarismos sobre n noves e simplifique.
• Confira: transforme a fração de volta em decimal com a divisão para ver se bate.

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