Comment calculer le périmètre d'un cercle et son aire (et ce qu'est π)

Votre enfant de 6e a devant lui une fiche pleine de cercles, une calculatrice et deux formules qui se ressemblent beaucoup. Le périmètre d'un cercle est la longueur de son tour, l'aire est la surface à l'intérieur, et les deux viennent d'un seul nombre appelé π. Dès que vous savez quelle mesure l'énoncé donne (le rayon ou le diamètre), calculer le périmètre d'un cercle et son aire prend deux ou trois étapes.

Qu'est-ce que le nombre π, et pourquoi chaque cercle en a-t-il besoin ?

Le nombre π (pi) est le nombre de fois que le diamètre d'un cercle tient dans son tour, et il est le même pour tous les cercles du monde. L'article de Wikipédia sur pi donne la valeur approchée 3,14159 et précise que son écriture décimale « ne s'arrête jamais et ne devient jamais périodique ».

Le nombre π est irrationnel, donc aucune fraction et aucun nombre décimal ne lui est exactement égal. Le manuel OpenStax Prealgebra 2e demande aux élèves de prendre 3,14 ou 22/7 pour π, selon que le rayon est donné sous forme décimale ou sous forme de fraction.

Rayon ou diamètre

Le rayon et le diamètre sont les deux longueurs dont part toute formule du cercle. Le rayon (r) va du centre au bord, le diamètre (d) va d'un bord à l'autre en passant par le centre, donc le diamètre vaut toujours le double du rayon : d = 2 × r.

Une pizza de 30 cm de large a un diamètre de 30 cm et un rayon de 15 cm. Avant de toucher à une formule, notez les deux nombres. La plupart des réponses fausses sur le cercle commencent par le mauvais des deux.

Comment calculer le périmètre d'un cercle, étape par étape

Le périmètre d'un cercle vaut π × diamètre, soit C = π × d, ou 2 × π × rayon, soit C = 2 × π × r. Les deux formules donnent le même résultat, car 2 × r est le diamètre. Beaucoup de manuels français notent le périmètre P ; la lettre C, pour circonférence, désigne la même longueur. OpenStax appelle la circonférence « le périmètre d'un cercle », ce qui la relie à l'aire et au périmètre des carrés et des rectangles.

1. Trouvez le diamètre. Mesurez d'un bord à l'autre en passant par le centre, ou doublez le rayon. Une assiette mesure 26 cm de diamètre, donc d = 26 cm.
2. Choisissez une valeur de π. Prenez 3,14 pour les nombres décimaux et entiers, 22/7 quand le rayon est un multiple de 7, ou la touche π de la calculatrice pour le résultat le plus précis.
3. Multipliez π par le diamètre. 3,14 × 26 = 81,64. Le guide sur la multiplication et la division des nombres décimaux détaille ce calcul à la main.
4. Écrivez l'unité. Le périmètre vaut environ 81,64 cm. Un périmètre est une longueur, donc il s'exprime en cm ou en m, sans petit 2.
5. Vérifiez l'ordre de grandeur. Le résultat doit dépasser un peu 3 diamètres : 3 × 26 = 78, et 81,64 est un peu plus grand. Un résultat inférieur à 3 diamètres ou supérieur à 4 est faux.

Une roue de rayon 30 cm demande l'autre forme : C = 2 × 3,14 × 30 = 188,4 cm.

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Le piège : rayon ou diamètre

L'erreur la plus fréquente sur le périmètre met le rayon dans C = π × d. Un cercle de rayon 5 cm reçoit alors 3,14 × 5 = 15,7 cm, la moitié de la bonne réponse, 31,4 cm. Avant de multiplier, demandez-vous : « ce nombre fait-il toute la largeur, ou la moitié ? »

L'erreur inverse double un diamètre dans C = 2 × π × r. Une assiette de 26 cm de diamètre devient 2 × 3,14 × 26 = 163,28 cm, le double de son vrai tour. La vérification de l'étape 5 attrape les deux erreurs en quelques secondes.

Comment calculer l'aire d'un disque

L'aire d'un disque vaut π × rayon × rayon, soit A = π × r². L'aire compte les unités carrées à l'intérieur du cercle, donc elle s'exprime toujours en unités carrées comme le cm² ou le m².

Un disque de rayon 5 cm a une aire de 3,14 × 5 × 5 = 3,14 × 25 = 78,5 cm². L'assiette des étapes ci-dessus a un rayon de 13 cm, donc son aire vaut 3,14 × 13 × 13 = 3,14 × 169 = 530,66 cm². Une pizza de 30 cm a un rayon de 15 cm et une aire de 3,14 × 225 = 706,5 cm².

L'ordre compte : élevez d'abord le rayon au carré, puis multipliez par π. Le petit 2 de r² est un exposant, que le guide sur les puissances explique, et un enfant qui connaît ses carrés par cœur (25, 36, 49, 64) termine chaque aire en une étape.

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Pourquoi la formule de l'aire marche

La formule de l'aire vient d'un disque découpé en parts fines, comme une pizza, puis posées côte à côte. Placez les parts pointe en haut puis pointe en bas, en alternance, et elles forment presque un parallélogramme. Plus vous coupez de parts, plus la forme se rapproche d'un rectangle.

Le grand côté de cette forme vaut la moitié du périmètre, c'est-à-dire la moitié de 2 × π × r, soit π × r. La hauteur vaut un rayon, r. Un rectangle de longueur π × r et de hauteur r a une aire de π × r × r, ce qui est la formule.

Aux États-Unis, le standard Common Core 7.G.B.4 demande en grade 7 de connaître les formules de l'aire et de la circonférence d'un cercle et d'en donner une justification informelle, et ce découpage en parts en est une. En France, le programme du cycle 3 place en 6e le périmètre du disque, avec l'objectif de « savoir que le périmètre du disque est proportionnel à son diamètre », et l'aire du disque arrive en 5e.

Périmètre, aire, diamètre et rayon côte à côte

Le périmètre, l'aire, le diamètre et le rayon décrivent quatre choses différentes du même cercle.

Le périmètre grandit comme le rayon, mais l'aire grandit comme le carré du rayon. Une pizza de 40 cm a un rayon de 20 cm et une aire de 3,14 × 400 = 1 256 cm², près de 1,8 fois les 706,5 cm² d'une pizza de 30 cm.

Ce que demande l'énoncé

Les mots de l'énoncé indiquent la formule à utiliser. « Tour », « bord », « ruban », « clôture » et « quelle distance parcourt la roue » renvoient au périmètre. « Couvrir », « à l'intérieur », « peindre », « moquette » et « combien de pizza » renvoient à l'aire.

Le guide sur comment calculer un volume utilise l'aire du disque comme base du cylindre : le volume d'une boîte de conserve vaut π × r² × h.

Activités sur le cercle à la table de la cuisine

Les activités sur le cercle à la table de la cuisine permettent à un enfant de retrouver π de ses propres mains avant de l'utiliser dans une formule. Chacune prend une dizaine de minutes avec une règle, de la ficelle et quelques objets ronds.

• Ficelle autour d'une assiette : Entourez une assiette de ficelle, marquez-la et posez-la le long d'une règle. Une assiette de 26 cm donne environ 81 ou 82 cm, et 82 : 26 fait environ 3,15, proche de π.
• Mesurer des couvercles : Mesurez le diamètre et le tour de trois couvercles de tailles différentes. Divisez chaque tour par son diamètre ; chaque résultat tombe près de 3,1.
• Faire rouler une boîte : Marquez un point sur le bord d'une boîte de conserve, faites-la rouler d'un tour complet sur une feuille et mesurez la trace. La trace est le périmètre.
• Tracer et compter : Tracez le contour d'un couvercle sur du papier quadrillé au centimètre et comptez les carreaux entiers et les demi-carreaux à l'intérieur. Un couvercle de rayon 4 cm couvre environ 50 carreaux, et 3,14 × 16 = 50,24.

Comment vérifier les progrès

Cinq questions courtes montrent si un enfant comprend le cercle ou recopie une formule.

• Le vocabulaire : montrez un cercle et demandez le rayon, le diamètre et le périmètre. Un enfant qui montre les trois du doigt sait ce que chaque mot veut dire.
• La paire de base : donnez un rayon de 10 cm. Le périmètre vaut 62,8 cm et l'aire 314 cm², avec la bonne unité pour chacun.
• Le piège du diamètre : donnez un diamètre de 8 cm et demandez l'aire. Le rayon vaut 4, donc l'aire vaut 3,14 × 16 = 50,24 cm².
• L'ordre de grandeur : demandez si un périmètre de 9 cm est possible pour un cercle de 4 cm de diamètre. C'est impossible, car 3 × 4 fait déjà 12.
• La question à l'envers : donnez un périmètre de 31,4 cm et demandez le diamètre : 31,4 : 3,14 = 10 cm.

Un enfant qui connaît la méthode mais bloque sur 3,14 × 16 a besoin de plus de calcul que de géométrie. Le jeu de maths pour la 6e travaille ces calculs, et les adultes qui reprennent les maths trouvent les mêmes faits dans le jeu de maths pour adultes.

Erreurs fréquentes et cas particuliers sur le cercle

Quatre erreurs causent la plupart des réponses fausses sur le cercle, et chacune se corrige vite.

• Écrire (π × r)² au lieu de π × r² : avec r = 5, (3,14 × 5)² = 15,7 × 15,7 = 246,49, plus de 3 fois la vraie aire de 78,5. Élevez seulement le rayon au carré, puis multipliez par π.
• Élever le diamètre au carré : un disque de 10 cm de diamètre reçoit 3,14 × 10 × 10 = 314, soit 4 fois la vraie aire de 78,5 cm². Divisez d'abord le diamètre par 2.
• Confondre les unités : un périmètre en cm² ou une aire en cm décrit le mauvais type de mesure. Le périmètre est une longueur en cm ; l'aire est en cm².
• Arrondir le rayon trop tôt : un rayon de 2,45 m arrondi à 2 m fait perdre environ un tiers de l'aire. N'arrondissez que le résultat final.

Cas particulier : 22/7 ou 3,14 ?

La fraction 22/7 et le nombre décimal 3,14 sont deux valeurs approchées de π, et elles donnent des résultats un peu différents. 22/7 vaut environ 3,1429 et 3,14 est un peu en dessous de π, donc la vraie valeur, environ 3,1416, se trouve entre les deux.

Prenez 22/7 quand le rayon ou le diamètre est un multiple de 7, car les 7 se simplifient. Un cercle de rayon 7 cm a un périmètre de 2 × 22/7 × 7 = 44 cm et une aire de 22/7 × 7 × 7 = 154 cm², alors que 3,14 donne 43,96 cm et 153,86 cm². La touche π de la calculatrice donne 153,94 cm².

Pour remonter d'une aire à un rayon, divisez par π puis prenez la racine carrée, ce que le guide sur la racine carrée explique.

Votre liste de contrôle sur le cercle et la suite

• Rayon ou diamètre : notez les deux avant toute formule, avec d = 2 × r.
• Périmètre : multipliez π × d, ou 2 × π × r, et donnez le résultat en cm ou en m.
• Aire : élevez d'abord le rayon au carré, puis multipliez par π, et donnez le résultat en cm² ou en m².
• Valeur de π : prenez 3,14 pour la plupart des exercices, 22/7 pour les multiples de 7, ou la touche π quand l'énoncé le demande.
• Ordre de grandeur : le périmètre dépasse un peu 3 diamètres, et l'aire dépasse un peu 3 carrés de côté r.

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