Was ist eine irrationale Zahl?

Eine irrationale Zahl ist eine reelle Zahl, die sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben lässt. Ihre Dezimaldarstellung endet nie und mündet nie in einen sich wiederholenden Ziffernblock. Die bekanntesten Beispiele sind √2 = 1,41421…, π = 3,14159… und e = 2,71828… sowie die Wurzel aus jeder natürlichen Zahl, die keine Quadratzahl ist.

Ist 0 eine rationale Zahl?

Die Null ist eine rationale Zahl, weil man sie als Bruch 0/1 schreiben kann, mit ganzen Zahlen oben und unten und einem Nenner, der nicht 0 ist. Die Null lässt sich auch als 0/5 oder 0/(−8) schreiben. Die umgekehrte Form 1/0 ist dagegen gar keine Zahl, weil die Division durch null nicht definiert ist.

Ist Pi eine rationale Zahl?

Pi ist keine rationale Zahl; π ist irrational. Seine Dezimaldarstellung 3,14159265… endet nie und wiederholt sich nie, also ist kein Bruch zweier ganzer Zahlen genau gleich π. Brüche wie 22/7 und 355/113 sind rationale Näherungswerte für π, die für das Messen im Alltag genau genug sind.

Ist 4 eine rationale Zahl?

Die Zahl 4 ist rational, weil man sie als Bruch 4/1 schreiben kann. Jede ganze Zahl ist auf dieselbe Weise rational, also sind auch −4, 0 und 400 rational. Auch die Wurzel √4 ist rational, weil 4 eine Quadratzahl ist und √4 = 2 gilt.

Ist eine periodische Dezimalzahl eine rationale Zahl?

Eine periodische Dezimalzahl ist immer eine rationale Zahl. Eine Dezimalzahl wie 0,333… oder 0,272727… lässt sich als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben: 0,333… = 1/3 und 0,272727… = 27/99 = 3/11. Nur eine Dezimalzahl, die nie endet und sich nie wiederholt, ist irrational.

Rationale und irrationale Zahlen: Beispiele

Q: Was ist eine rationale Zahl?

Eine rationale Zahl ist jede Zahl, die man als Bruch p/q schreiben kann, wobei p und q ganze Zahlen sind und q nicht 0 ist. Ganze Zahlen, negative Zahlen, Brüche, endliche Dezimalzahlen wie 0,75 und periodische Dezimalzahlen wie 0,333… sind alle rational. Eine Zahl, deren Dezimaldarstellung nie endet und sich nie wiederholt, etwa √2 oder π, ist irrational.

Die Hausaufgabe Ihres Kindes in der 9. Klasse fragt, ob 0,333…, √9 und π rational sind, und die Lösung sagt, dass nur die letzte Zahl es nicht ist. Rationale Zahlen sind die Zahlen, die man als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben kann, und irrationale Zahlen sind die, bei denen das nie gelingt, egal wie lange man es versucht. Eine Definition und fünf schnelle Tests reichen, um jede Zahl einzuordnen, und sie erklären auch, warum ein Taschenrechner nie das Ende von π zeigt.

Was ist eine rationale Zahl?

Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die man als Bruch p/q schreiben kann, wobei p und q ganze Zahlen sind und q nicht 0 ist. OpenStax Prealgebra 2e, Abschnitt 7.1 fasst es in einem Satz: Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die sich als Verhältnis zweier ganzer Zahlen schreiben lässt. Das Wort kommt vom lateinischen ratio, dem Verhältnis, und der Leitfaden zu Brüchen ist der richtige Einstieg, wenn p/q eingerostet ist.

Derselbe OpenStax-Abschnitt definiert die andere Seite: Eine irrationale Zahl lässt sich nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen schreiben, und ihre Dezimaldarstellung bricht nicht ab und wiederholt sich nicht. Zusammen bilden beide Gruppen die reellen Zahlen, also jeden Punkt auf dem Zahlenstrahl.

In Deutschland gehört das Thema in die Mittelstufe. Der bayerische LehrplanPLUS für das Gymnasium, Jahrgangsstufe 9 verlangt, dass Schülerinnen und Schüler „die Notwendigkeit, die Menge der rationalen Zahlen zu erweitern“ begründen und „Quadratwurzeln und andere irrationale Zahlen (u. a. π) als Beispiele reeller nicht rationaler Zahlen“ nennen. In den USA steht das Thema im Common-Core-Standard 8.NS.A.1 der 8. Klasse: Zahlen, die nicht rational sind, heißen irrational, und jede rationale Zahl hat eine Dezimaldarstellung, die irgendwann periodisch wird.

Die Zahlbereiche: ℕ, ℤ, ℚ und ℝ

Die Zahlbereiche passen ineinander wie verschachtelte Schachteln. Die natürlichen Zahlen ℕ (1, 2, 3 …) liegen in den ganzen Zahlen ℤ, die die 0 und die negativen Zahlen wie −5 hinzufügen (siehe negative Zahlen erklärt). Die ganzen Zahlen liegen in den rationalen Zahlen ℚ, die Brüche und Dezimalzahlen wie 3/4 und 0,75 hinzufügen, und ℚ liegt in den reellen Zahlen ℝ.

Die irrationalen Zahlen füllen den Teil von ℝ, der außerhalb von ℚ liegt. Der Buchstabe ℚ steht für „Quotient“, das Ergebnis einer Division, was Wolfram MathWorld auf das deutsche Wort Quotient zurückführt. Ob ℕ die 0 enthält, ist in deutschen Schulbüchern nicht einheitlich; wenn die Null dazugehören soll, schreibt man deshalb oft ℕ₀ = {0, 1, 2, 3 …}.

Verschachtelte abgerundete Rechtecke für die Zahlbereiche: ℕ enthält 1, 2 und 3; ℤ fügt −5 und −1 hinzu; ℚ fügt 3/4, 0,75 und −2/3 hinzu; der äußere Bereich von ℝ außerhalb von ℚ enthält die irrationalen Zahlen √2 und π.

Ist eine Zahl rational? Der Test Schritt für Schritt

Eine Zahl ist rational, wenn einer der ersten vier Tests unten Ja sagt; nur eine Zahl, die alle nicht besteht, ist irrational. Gehen Sie die Tests der Reihe nach durch und hören Sie beim ersten Ja auf.

Nach einem Bruch aus ganzen Zahlen suchen. Eine Zahl, die schon als p/q mit ganzen Zahlen oben und unten dasteht, etwa 7/3 oder −2/5, ist rational. Eine ganze Zahl zählt auch, denn 4 = 4/1 und 0 = 0/1.
Auf eine endliche Dezimalzahl prüfen. Eine endliche Dezimalzahl ist rational, weil sie ein Bruch mit dem Nenner 10, 100 oder 1.000 ist: 0,75 = 75/100 = 3/4 und 2,5 = 25/10 = 5/2.
Auf eine periodische Dezimalzahl prüfen. Eine Dezimalzahl mit einem Ziffernblock, der sich endlos wiederholt, ist rational, also 0,333… = 1/3 und 0,1666… = 1/6. Der Common-Core-Standard 7.NS.A.2d verlangt, eine rationale Zahl durch schriftliche Division in eine Dezimalzahl zu verwandeln und zu wissen, dass sie abbricht oder irgendwann periodisch wird.
Wurzeln auf Quadratzahlen prüfen. Die Wurzel aus einer natürlichen Zahl ist nur dann rational, wenn die Zahl eine Quadratzahl ist: √9 = 3 und √49 = 7 sind rational, √2, √3 und √10 sind irrational.
Die berühmten irrationalen Zahlen erkennen. Pi (π = 3,14159…), e (2,71828…) und jede Dezimalzahl, die so gebaut ist, dass sie sich nie wiederholt, etwa 1,010010001…, sind irrational.

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Wo es meistens schiefgeht: 22/7 und 0,333…

Der Bruch 22/7 ist rational, π dagegen irrational, obwohl die Schule oft 22/7 für π verwendet. Die schriftliche Division ergibt 22 : 7 = 3,142857142857… mit dem sich wiederholenden Block 142857, während π = 3,14159… nie in einen Block mündet. Die beiden Zahlen unterscheiden sich ab der dritten Nachkommastelle, und deshalb ist 22/7 ein Näherungswert (der Leitfaden zu Umfang und Fläche eines Kreises nutzt beide).

Die Dezimalzahl 0,333… sieht endlos aus, also halten viele sie für irrational, aber sie ist genau 1/3. Eine Dezimalzahl, die ewig weitergeht, ist rational, solange sie periodisch ist. Nur eine Dezimalzahl, die nie endet und sich nie wiederholt, ist irrational.

Rationale und irrationale Zahlen: Beispiele im Vergleich

Rationale und irrationale Zahlen lassen sich am leichtesten unterscheiden, wenn man dieselben Tests auf typische Beispiele anwendet. Jede Zeile des Vergleichs nennt die Zahl, das Urteil, den Grund und den Bruch, falls es einen gibt.

Zahl	Rational?	Warum	Als Bruch geschrieben
0	Ja	Eine ganze Zahl	0/1
−5	Ja	Eine ganze Zahl	−5/1
0,75	Ja	Endliche Dezimalzahl	3/4
0,333…	Ja	Periodische Dezimalzahl	1/3
√9	Ja	9 ist eine Quadratzahl, √9 = 3	3/1
√2	Nein	2 ist keine Quadratzahl	Keiner
π	Nein	Dezimaldarstellung endet nie und wiederholt sich nie	Keiner (22/7 ist nah dran)
22/7	Ja	Schon ein Verhältnis ganzer Zahlen	22/7
1,010010001…	Nein	Das Muster wächst, also wiederholt sich kein Block	Keiner

Welcher Test zuerst

Der schnellste Test hängt davon ab, wie die Zahl geschrieben ist. Ein Bruch oder eine ganze Zahl ist auf den ersten Blick rational, eine Dezimalzahl braucht die Prüfung „endet oder periodisch“, und eine Wurzel braucht die Quadratzahl-Prüfung aus dem Leitfaden zu Quadratwurzeln.

Die letzte Zeile des Vergleichs ist die kniffligste. Die Dezimalzahl 1,010010001… hat ein klares Muster (jedes Mal eine 0 mehr), aber kein einzelner Ziffernblock wiederholt sich endlos, also ist sie irrational.

Eine periodische Dezimalzahl in einen Bruch verwandeln

Eine periodische Dezimalzahl wird zum Bruch, wenn man den periodischen Teil wegmultipliziert. Nehmen Sie x = 0,272727…; die Periode „27“ hat 2 Ziffern, also multiplizieren Sie mit 100.

100x = 27,272727…
x = 0,272727…
Subtrahieren: 99x = 27, also x = 27/99.

Der Bruch 27/99 lässt sich kürzen, indem man Zähler und Nenner durch 9 teilt, und ergibt 3/11; der Leitfaden zum Kürzen von Brüchen erklärt diesen Schritt. Die Probe mit der schriftlichen Division: 3 : 11 = 0,272727…, die Dezimalzahl vom Anfang.

Eine Dezimalzahl, deren Periode erst nach einer Verzögerung beginnt, braucht einen Schritt mehr. Für x = 0,1666… gilt 10x = 1,666… und 100x = 16,666…, also 100x − 10x = 90x = 15 und x = 15/90 = 1/6. Das Umwandeln zwischen Brüchen und Dezimalzahlen ist Stoff der 6. Klasse, und der Leitfaden zu Dezimalzahlen erklärt die Stellenwerte nach dem Komma.

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Übungsregel: Die Länge der Periode bestimmt die Neunen

Eine Periode aus n Ziffern, die direkt nach dem Komma beginnt, kommt über n Neunen. Also gilt 0,777… = 7/9, 0,272727… = 27/99 und 0,123123… = 123/999 = 41/333.

Irrationale Zahlen haben keine Bruchform, also ordnet man sie mit einem dezimalen Näherungswert ein. Der Common-Core-Standard 8.NS.A.2 verlangt, irrationale Zahlen mit rationalen Näherungswerten der Größe nach zu vergleichen, und nennt als Beispiel, dass √2 zwischen 1 und 2 und dann zwischen 1,4 und 1,5 liegt. Die Probe geht schnell: 1,4² = 1,96 und 1,5² = 2,25, also liegt √2 dazwischen.

Ein Zahlenstrahl von 0 bis 4 mit den rationalen Zahlen 1/2 (0,5) und 7/3 (etwa 2,333) in Blau und den irrationalen Zahlen √2 (etwa 1,414), e (etwa 2,718) und π (etwa 3,142) in Korallrot.

So prüfen Sie Ihren Lernstand bei rationalen Zahlen

Fünf kurze Fragen zeigen, ob Sie Zahlen einordnen können oder raten. Beantworten Sie sie ohne Notizen und vergleichen Sie dann.

Ganze Zahlen: Ist −12 rational? Ja, denn −12 = −12/1.
Wurzeln: Welche von √16, √20 und √25 sind rational? √16 = 4 und √25 = 5 sind rational; √20 ist irrational, weil 20 keine Quadratzahl ist.
Periodische Dezimalzahlen: 0,444… als Bruch schreiben. Die Antwort ist 4/9.
Zweistellige Perioden: 0,454545… als Bruch schreiben. Die Antwort ist 45/99 = 5/11.
Ordnen: 7/3, √5 und 2,2 der Größe nach ordnen. √5 ≈ 2,236 und 7/3 ≈ 2,333, also lautet die Reihenfolge 2,2; √5; 7/3.

Ein Zehn-Minuten-Selbsttest

Ein Zehn-Minuten-Selbsttest mischt je eine Zahl jeder Art: einen Bruch, eine endliche Dezimalzahl, eine periodische Dezimalzahl, eine Wurzel und π. Sagen Sie das Urteil und den Grund laut, bevor Sie etwas aufschreiben, und prüfen Sie den Grund dann an den fünf Tests.

Ein richtiges Urteil mit falschem Bruch zeigt auf das Rechnen, nicht auf die Idee der rationalen Zahlen. Wer die Quadratzahlen bis 144 und die Neunen-Regel schnell abrufen kann, vermeidet die meisten dieser Patzer, und Erwachsene, die diese Grundlagen wieder aufbauen, können das Mathespiel für Erwachsene in kurzen täglichen Runden nutzen.

Typische Fehler und Sonderfälle

Vier Fehler verursachen die meisten falschen Antworten zu rationalen Zahlen, und jeder hat eine kurze Lösung.

Jede endlose Dezimalzahl für irrational halten: 0,333… geht ewig weiter, ist aber gleich 1/3. Fragen Sie, ob sich die Ziffern wiederholen; ob sie enden, entscheidet es nicht.
22/7 oder 3,14 für π halten: Beide sind rationale Näherungswerte. Schreiben Sie „π ≈ 3,14“ mit dem Zeichen ≈, dann bleibt der Unterschied sichtbar.
Jede Wurzel für irrational halten: √9, √36 und √100 sind natürliche Zahlen. Prüfen Sie zuerst, ob eine Quadratzahl unter der Wurzel steht.
Null und negative Zahlen vergessen: 0 = 0/1 und −7 = −7/1 sind rational. Verboten ist nur der Nenner 0.

Sonderfall: Summen und Produkte irrationaler Zahlen

Eine rationale Zahl plus eine irrationale Zahl ist immer irrational, also sind 3 + √2 und π − 1 irrational. Eine rationale Zahl ungleich null mal eine irrationale Zahl ist ebenfalls irrational, also ist 2π irrational.

Zwei irrationale Zahlen können zusammen eine rationale ergeben. √2 · √2 = 2 und √2 + (−√2) = 0, beide rational. Warum √2 selbst irrational ist, zeigt ein klassischer Beweis: Wäre √2 = p/q vollständig gekürzt, dann wäre p² = 2q², also p gerade; mit p = 2k folgt q² = 2k², also ist auch q gerade, und das widerspricht „vollständig gekürzt“. MathWorld ergänzt, dass irrationale Zahlen Dezimaldarstellungen haben, die weder abbrechen noch periodisch werden.

Ihre Checkliste zu rationalen Zahlen und die nächsten Schritte

Bruchform: Lässt sich die Zahl als p/q mit ganzen Zahlen und q ≠ 0 schreiben? Dann ist sie rational.
Dezimalform: Bricht die Dezimalzahl ab oder ist sie periodisch? Dann ist sie rational.
Wurzeln: Steht unter der Wurzel eine Quadratzahl? Nur dann ist die Wurzel rational.
Näherungswerte: 22/7 und 3,14 als Stellvertreter für π behandeln, nie als π selbst.
Periodische Dezimalzahlen: eine Periode aus n Ziffern über n Neunen schreiben, dann kürzen.
Probe: den Bruch mit der schriftlichen Division zurückverwandeln und vergleichen.

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Rationale Zahlen und irrationale Zahlen erklärt: so unterscheiden Sie sie

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