Rasyonel sayılar ve irrasyonel sayılar: birbirinden nasıl ayırt edilir?

1. sınıftaki çocuğunuzun ödevi 0,333…, √9 ve π sayılarının rasyonel olup olmadığını soruyor ve cevap anahtarı yalnızca sonuncusunun rasyonel olmadığını söylüyor. Rasyonel sayılar iki tam sayının kesri olarak yazabildiğiniz sayılardır; irrasyonel sayılar ise ne kadar uğraşırsanız uğraşın yazamadıklarınızdır. Karşınıza çıkan her sayıyı ayırmak için bir tanım ve beş hızlı test yeter; bunlar hesap makinesinin neden π'nin sonunu hiç göstermediğini de açıklar.

Rasyonel sayı nedir?

Rasyonel sayı, p ve q tam sayı ve q sıfırdan farklı olmak üzere p/q kesri olarak yazılabilen bir sayıdır. OpenStax Prealgebra 2e, bölüm 7.1 bunu tek satırla söyler: rasyonel sayı, iki tam sayının oranı olarak yazılabilen sayıdır. Kelime Latince “oran” anlamındaki *ratio*dan gelir; p/q gösterimi paslandıysa kesirler rehberi doğru başlangıç noktasıdır.

Aynı OpenStax bölümü öbür tarafı da tanımlar: irrasyonel sayı, iki tam sayının oranı olarak yazılamayan sayıdır ve ondalık gösterimi ne durur ne de tekrar eder. İki grup birlikte gerçek sayıları, yani sayı doğrusunun her noktasını oluşturur.

Türkiye'de konu iki yıla yayılır. MEB'in 2018 Matematik Dersi Öğretim Programı rasyonel sayıları ve devirli ondalık gösterimi 7. sınıfta (M.7.1.2) verir, “Gerçek sayıları tanır, rasyonel ve irrasyonel sayılarla ilişkilendirir” kazanımını (M.8.1.3.8) ise 8. sınıfa koyar; tam kare olmayan sayıların kareköklerinin iki tam sayının oranı olarak yazılamadığına dikkat çekilmesini ve π'nin irrasyonel sayı olarak tanıtılmasını ister. ABD'de Common Core 8.NS.A.1 standardı da 8. sınıflardan rasyonel olmayan sayılara irrasyonel dendiğini bilmelerini, rasyonel sayıların ondalık açılımının sonunda tekrar ettiğini göstermelerini ve devirli bir ondalık açılımı rasyonel sayıya çevirmelerini ister.

Sayı kümeleri ailesi: ℕ, ℤ, ℚ ve ℝ

Sayı kümeleri iç içe geçmiş kutular gibi birbirinin içine oturur. Türkiye'de doğal sayılar ℕ sıfırdan başlar (0, 1, 2, 3 …); 1'den başlayan kümeye sayma sayıları denir. Doğal sayılar, −5 gibi negatifleri ekleyen tam sayılar ℤ'nin içindedir (bkz. negatif sayılar). Tam sayılar, 3/4 ve 0,75 gibi kesirleri ve ondalık gösterimleri ekleyen rasyonel sayılar ℚ'nun içindedir, ℚ da gerçek sayılar ℝ'nin içindedir.

İrrasyonel sayılar ℝ'nin ℚ dışında kalan kısmını doldurur. ℚ harfi bir bölme işleminin sonucu olan “bölüm” anlamına gelir; Wolfram MathWorld bunu Almanca Quotient kelimesine bağlar. ABD'deki pek çok ders kitabı ℕ'yi 1'den başlatır ve 0'ı da içeren kümeye ayrı bir ad verir; Türkiye'de o kümenin karşılığı doğal sayılardır.

Bir sayının rasyonel olup olmadığı adım adım nasıl anlaşılır?

Aşağıdaki ilk dört testten biri evet diyorsa sayı rasyoneldir; yalnızca hepsinden kalan bir sayı irrasyoneldir. Testleri sırayla uygulayın ve ilk evette durun.

1. Tam sayılardan oluşan bir kesir arayın. 7/3 ya da −2/5 gibi payı ve paydası tam sayı olan p/q biçiminde yazılmış bir sayı rasyoneldir. Bir tam sayı da sayılır, çünkü 4 = 4/1 ve 0 = 0/1'dir.
2. Sonlu bir ondalık gösterim olup olmadığına bakın. Sonlu ondalık gösterim rasyoneldir, çünkü paydası 10, 100 ya da 1.000 olan bir kesirdir: 0,75 = 75/100 = 3/4 ve 2,5 = 25/10 = 5/2.
3. Devirli bir ondalık gösterim olup olmadığına bakın. Bir rakam grubu sonsuza kadar tekrar eden ondalık gösterim rasyoneldir, yani 0,333… = 1/3 ve 0,1666… = 1/6. Türkiye'de devirli ondalık gösterim tekrar eden kısmın üstüne çizgi çekilerek 0,3̅ diye yazılır. ABD'de Common Core 7.NS.A.2d öğrencilerden bir rasyonel sayıyı uzun bölmeyle ondalık gösterime çevirmelerini ve rasyonel sayının ondalık gösteriminin ya sıfırlarla bittiğini ya da sonunda tekrar ettiğini bilmelerini ister.
4. Kareköklerde tam kareyi kontrol edin. Bir doğal sayının karekökü yalnızca sayı tam kare olduğunda rasyoneldir: √9 = 3 ve √49 = 7 rasyonel, √2, √3 ve √10 ise irrasyoneldir.
5. Ünlü irrasyonel sayıları tanıyın. Pi (π = 3,14159…), e (2,71828…) ve 1,010010001… gibi hiç tekrar etmeyecek şekilde kurulmuş her ondalık gösterim irrasyoneldir.

Tarayıcıda ücretsiz oynayınKare Sayılar4–6. sınıf

En çok karıştırılan kısım: 22/7 ve 0,333…

22/7 kesri rasyonel, π ise irrasyoneldir; okulda π yerine sık sık 22/7 kullanılsa da. Uzun bölme 22/7 = 3,142857142857… verir ve 142857 grubu tekrar eder, π = 3,14159… ise hiçbir zaman bir gruba oturmaz. İki sayı virgülden sonraki üçüncü basamaktan itibaren ayrılır; 22/7'nin bir yaklaşık değer olmasının sebebi budur. MEB programı da işlemlerde kolaylık için π yerine 3; 3,14 ya da 22/7 alınabileceğini söyler (çemberin çevresi ve dairenin alanı rehberi ikisini de kullanır).

0,333… ondalık gösterimi sonsuz göründüğü için pek çok kişi ona irrasyonel der, ama o tam olarak 1/3'tür. Sonsuza kadar süren bir ondalık gösterim, tekrar ettiği sürece rasyoneldir. Yalnızca hem hiç bitmeyen hem de hiç tekrar etmeyen bir ondalık gösterim irrasyoneldir.

Rasyonel ve irrasyonel sayılar: örnekler yan yana

Rasyonel ve irrasyonel sayılar, aynı testlerin sık görülen örneklere uygulandığını gördüğünüzde en kolay ayırt edilir. Karşılaştırmanın her satırı sayıyı, kararı, sebebi ve varsa kesir biçimini verir.

Önce hangi test denenmeli?

En hızlı test, sayının nasıl yazıldığına bağlıdır. Bir kesir ya da tam sayı ilk bakışta rasyoneldir, bir ondalık gösterim “biter mi, tekrar eder mi” kontrolünü, bir karekök de karekök rehberindeki tam kare kontrolünü ister.

Karşılaştırmanın son satırı en yanıltıcı olanıdır. 1,010010001… ondalık gösteriminin belirgin bir örüntüsü vardır (her seferinde bir sıfır daha), ama hiçbir rakam grubu sonsuza kadar tekrar etmez, bu yüzden irrasyoneldir.

Devirli ondalık gösterim kesre nasıl çevrilir?

Devirli ondalık gösterim, tekrar eden kısmı çarpma yoluyla yok ettiğinizde kesre dönüşür. x = 0,272727… alın; “27” grubu 2 basamaklıdır, bu yüzden 100 ile çarpın.

• 100x = 27,272727…
• x = 0,272727…
• Çıkarın: 99x = 27, yani x = 27/99.

27/99 kesri pay ve payda 9'a bölünerek sadeleşir ve 3/11 olur; bu adımı kesirler nasıl sadeleştirilir rehberi anlatır. Uzun bölmeyle kontrol edin: 3 ÷ 11 = 0,272727…, başladığınız ondalık gösterim.

Tekrarı biraz gecikerek başlayan bir ondalık gösterim bir adım daha ister. x = 0,1666… için 10x = 1,666… ve 100x = 16,666… olur, yani 100x − 10x = 90x = 15 ve x = 15/90 = 1/6. Bu kontrollerin arkasındaki uzun bölme bir 6. sınıf becerisidir; ondalık sayılar rehberi virgülden sonraki basamak değerini açıklar.

Ücretsiz çalışma kâğıdıBölme — 6. Sınıf ÖğrencileriÇalışma Kağıdı · PDF

Alıştırma kuralı: grubun uzunluğu dokuzların sayısını belirler

Virgülden hemen sonra başlayan n basamaklı tekrar eden bir grup, n tane 9'un üzerine yazılır. Böylece 0,777… = 7/9, 0,272727… = 27/99 ve 0,123123… = 123/999 = 41/333 olur.

İrrasyonel sayıların kesir biçimi yoktur, bu yüzden onları ondalık bir yaklaşık değerle yerleştirirsiniz. MEB programı 8. sınıfta tam kare olmayan bir kareköklü sayının hangi iki doğal sayı arasında olduğunun belirlenmesini ister (M.8.1.3.2); ABD'de Common Core 8.NS.A.2 de irrasyonel sayıları rasyonel yaklaşık değerlerle karşılaştırmayı ister ve √2'nin önce 1 ile 2, sonra 1,4 ile 1,5 arasında olduğunu gösterme örneğini verir. Kontrol hızlıdır: 1,4² = 1,96 ve 1,5² = 2,25, yani √2 ikisinin arasındadır.

Rasyonel sayılarda ilerlemenizi nasıl kontrol edersiniz?

Beş kısa soru, sayıları gerçekten ayırabildiğinizi ya da tahmin ettiğinizi gösterir. Notlara bakmadan cevaplayın, sonra karşılaştırın.

• Tam sayılar: −12 rasyonel mi? Evet, çünkü −12 = −12/1.
• Karekökler: √16, √20 ve √25'ten hangileri rasyonel? √16 = 4 ve √25 = 5 rasyoneldir; √20 irrasyoneldir, çünkü 20 tam kare değildir.
• Devirli ondalık gösterimler: 0,444… sayısını kesir olarak yazın. Cevap 4/9'dur.
• İki basamaklı gruplar: 0,454545… sayısını kesir olarak yazın. Cevap 45/99 = 5/11'dir.
• Sıralama: 7/3, √5 ve 2,2 sayılarını sıralayın. √5 ≈ 2,236 ve 7/3 ≈ 2,333 olduğundan sıra 2,2, √5, 7/3'tür.

On dakikalık bir öz değerlendirme testi

On dakikalık bir öz değerlendirme testi her türden bir sayıyı karıştırır: bir kesir, bir sonlu ondalık gösterim, bir devirli ondalık gösterim, bir karekök ve π. Bir şey yazmadan önce kararı ve sebebini yüksek sesle söyleyin, sonra sebebi beş testle karşılaştırın.

Kararı doğru ama kesri yanlış bulmak, rasyonel sayı fikrine değil işlem becerisine işaret eder. 144'e kadar tam kareleri ve dokuzlar kuralını hızlı hatırlamak bu dikkatsizlik hatalarının çoğunu ortadan kaldırır; bu bilgileri yeniden kuran yetişkinler yetişkinler için matematik oyununu kısa günlük turlarla kullanabilir.

Sık yapılan hatalar ve sınır durumlar

Rasyonel sayılarla ilgili yanlış cevapların çoğunu dört hata doğurur ve her birinin kısa bir çözümü vardır.

• Sonsuz her ondalık gösterimi irrasyonel saymak: 0,333… sonsuza kadar sürer ama 1/3'e eşittir. Rakamların tekrar edip etmediğini sorun; bitip bitmemeleri karar vermez.
• 22/7'yi ya da 3,14'ü π saymak: ikisi de rasyonel yaklaşık değerlerdir. “π ≈ 3,14” diye ≈ işaretiyle yazın; fark böylece görünür kalır.
• Her karekökü irrasyonel saymak: √9, √36 ve √100 tam sayıdır. Önce tam kare olup olmadığına bakın.
• Sıfırı ve negatifleri unutmak: 0 = 0/1 ve −7 = −7/1 rasyoneldir. Yasak olan tek değer sıfır paydadır.

Sınır durum: irrasyonel sayıların toplamı ve çarpımı

Bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının toplamı her zaman irrasyoneldir, yani 3 + √2 ve π − 1 irrasyoneldir. Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının çarpımı da irrasyoneldir, yani 2π irrasyoneldir.

İki irrasyonel sayı birleşip rasyonel bir sayı verebilir. √2 × √2 = 2 ve √2 + (−√2) = 0, ikisi de rasyoneldir. √2'nin kendisinin irrasyonel olmasının sebebi klasik bir ispattır: en sade hâliyle √2 = p/q ise p² = 2q² olur, yani p çifttir; p = 2k yazınca q² = 2k² çıkar, yani q de çifttir ve bu “en sade hâl” ile çelişir. MathWorld irrasyonel sayıların ondalık açılımlarının ne sonlandığını ne de periyodik hâle geldiğini ekler.

Rasyonel sayılar kontrol listeniz ve sonraki adımlar

• Kesir biçimi: sayıyı tam sayılarla ve q ≠ 0 olacak şekilde p/q olarak yazabiliyor musunuz? Öyleyse rasyoneldir.
• Ondalık gösterim: ondalık gösterim bitiyor ya da tekrar ediyor mu? Öyleyse rasyoneldir.
• Karekökler: kökün içindeki sayı tam kare mi? Kök yalnızca o zaman rasyoneldir.
• Yaklaşık değerler: 22/7'yi ve 3,14'ü π'nin yerine geçen değerler olarak görün, asla π olarak değil.
• Devirli ondalık gösterimler: n basamaklı tekrar eden grubu n tane 9'un üzerine yazın, sonra sadeleştirin.
• Geri kontrol: bulduğunuz kesri uzun bölmeyle geri çevirip eşleştiğini doğrulayın.

Tarayıcıda ücretsiz oynanan kare sayılar oyunu, karekök testinin arkasındaki tam kareleri kayıt olmadan çalıştırır.

MathIt, yaklaşık 90 oyun türü, uyarlanabilir zorluk ve bu testlerin arkasındaki kare sayıları, kesirleri ve bölmeyi hızlı tutan kısa bir günlük alıştırma sunan ücretsiz bir iOS ve Android uygulamasıdır.