Les fractions expliquées aux parents : ce que l'école enseigne et comment aider à la maison

Qu'est-ce qu'une fraction, avec des mots d'enfant ?

Une fraction est un nombre qui dit combien de parts égales d'une même unité vous avez. Coupez un sandwich en 4 parts égales, mangez-en 3, et vous en avez mangé 3⁄4. Le mot qui fait tout le travail est égales : 4 morceaux de tailles différentes ne sont pas des quarts.

Chaque fraction a deux nombres, et les enfants les confondent au début :

• Le dénominateur (en bas) dit en combien de parts égales l'unité est coupée. Il donne la taille de la part.
• Le numérateur (en haut) dit combien de ces parts vous avez. Il compte les parts.

Une fraction avec 1 en haut s'appelle une fraction unitaire : 1⁄2, 1⁄3, 1⁄4, 1⁄8. L'école construit toutes les autres fractions à partir d'elles. Les standards américains Common Core décrivent 3⁄4 comme trois parts de taille 1⁄4 (3.NF.A.1), et c'est aussi la façon dont votre enfant additionnera des fractions plus tard : 3⁄4, c'est 1⁄4 + 1⁄4 + 1⁄4.

Pour la plupart des enfants, la porte d'entrée des fractions est le partage. Le guide de pratiques du What Works Clearinghouse Developing Effective Fractions Instruction for Kindergarten Through 8th Grade recommande aux enseignants de s'appuyer sur ce que les enfants savent déjà du partage pour introduire les fractions. Deux enfants et un seul biscuit, c'est une leçon sur les moitiés avant qu'on écrive le moindre chiffre.

Pourquoi l'école place-t-elle les fractions sur une droite graduée ?

L'école place les fractions sur une droite graduée parce qu'une fraction est un nombre qui a une taille, et la droite montre cette taille. Beaucoup de parents ont appris les fractions seulement avec des parts de pizza, et cette image cache une chose importante : 3⁄4 est un nombre qui se trouve entre 0 et 1, comme 7 se trouve entre 6 et 8.

Le programme français le dit clairement : au CM1, le repérage de points sur une demi-droite graduée par des fractions contribue à donner aux fractions le statut de nombres, qui s'intercalent entre les nombres entiers déjà connus. Voici à quoi cela ressemble à la maison :

1. Tracez une droite, écrivez 0 à une extrémité et 1 à l'autre.
2. Partagez l'espace entre les deux en 4 bonds égaux.
3. Le premier repère est 1⁄4. Deux bonds depuis 0 donnent 2⁄4. Trois bonds donnent 3⁄4.
4. Quatre bonds tombent sur 1, donc 4⁄4 = 1.

Le guide du What Works Clearinghouse recommande d'utiliser la droite graduée comme outil de représentation central dès les premières classes. Aux États-Unis, le National Mathematics Advisory Panel arrivait à une conclusion proche en 2008 : il jugeait les difficultés avec les fractions très répandues et en faisait un obstacle majeur vers l'algèbre, et il voyait dans la capacité à placer une fraction sur une droite graduée un lien essentiel entre comprendre les fractions et calculer avec elles.

Comment expliquer les fractions équivalentes ?

Les fractions équivalentes sont des noms différents pour la même quantité, comme 1⁄2 = 2⁄4 = 4⁄8. Le moyen le plus rapide de le montrer est une bande de papier.

1. Pliez une bande en deux et coloriez une moitié. C'est 1⁄2.
2. Pliez-la encore en deux et dépliez. La partie coloriée couvre maintenant 2 parts sur 4 : 2⁄4.
3. Pliez-la une troisième fois. La partie coloriée couvre 4 parts sur 8 : 4⁄8.

La quantité coloriée n'a jamais changé. Les parts sont devenues plus petites et plus nombreuses. C'est toute la règle, et le standard américain de 4e année (l'équivalent du CM1) la dit en une ligne : multipliez le haut et le bas par le même nombre et vous obtenez une fraction équivalente (4.NF.A.1).

• 1⁄2 = (1 × 2)⁄(2 × 2) = 2⁄4
• 2⁄3 = (2 × 2)⁄(3 × 2) = 4⁄6
• 3⁄4 = (3 × 3)⁄(4 × 3) = 9⁄12

Chaque étape est un résultat des tables de multiplication, et c'est pourquoi un enfant lent sur les tables trouve les fractions équivalentes difficiles. Quelques minutes d'entraînement aux tables de multiplication rapportent plus ici que des fiches de fractions en plus.

Jouer gratuitement dans le navigateurTables de multiplicationCE2 et +

Comment comparer des fractions ?

Pour comparer deux fractions, les enfants cherchent ce qu'elles ont en commun : le même dénominateur, le même numérateur, ou rien. Chaque cas a son test rapide.

L'erreur la plus fréquente consiste à croire que 1⁄8 est plus grand que 1⁄4 parce que 8 est plus grand que 4. Le guide du What Works Clearinghouse nomme exactement ce réflexe : les élèves voient les fractions à grand dénominateur comme plus grandes. Le remède est une question sur des personnes : préférez-vous partager une pizza avec 3 amis ou avec 7 ? Votre enfant répond tout de suite, et sa réponse est la règle.

Un point des standards américains mérite d'être dit à voix haute : une comparaison ne marche que si les deux fractions portent sur la même unité. La moitié d'une petite pizza n'est pas la même quantité que la moitié d'une grande. Comparer des tailles est une compétence que les enfants travaillent déjà avec les nombres entiers, et une manche de comparaison de nombres est un bon échauffement pour les signes supérieur et inférieur.

Comment additionner des fractions de dénominateurs différents ?

Deux fractions de dénominateurs différents ne s'additionnent qu'une fois coupées en parts de même taille. Le standard américain de 5e année (l'équivalent du CM2) parle de remplacer les fractions par des fractions équivalentes de même dénominateur (5.NF.A.1).

Exemple détaillé : 1⁄3 + 1⁄4.

1. Trouvez un nombre qui est dans les deux tables. Comptez de 3 en 3 et de 4 en 4 : 12 est dans les deux.
2. Réécrivez chaque fraction. 1⁄3 = 4⁄12 (fois 4 en haut et en bas). 1⁄4 = 3⁄12 (fois 3 en haut et en bas).
3. Additionnez les numérateurs, gardez le dénominateur. 4⁄12 + 3⁄12 = 7⁄12.
4. Vérifiez la taille. Les deux fractions sont un peu moins que 1⁄2, donc le résultat doit être un peu plus que 1⁄2. 7⁄12 est un peu plus que 6⁄12. Cela colle.

La mauvaise réponse classique est 1⁄3 + 1⁄4 = 2⁄7, obtenue en additionnant les hauts et les bas séparément. Le guide du What Works Clearinghouse relie cette erreur au fait de ne pas voir les fractions comme des nombres qui ont une taille, et propose une estimation pour la repérer. L'estimation marche ici : 2⁄7 est moins que 1⁄3, et ajouter 1⁄4 à 1⁄3 ne peut pas donner moins qu'au départ. Le standard de 5e année utilise le même contrôle, en reconnaissant que 2⁄5 + 1⁄2 = 3⁄7 est faux parce que 3⁄7 est moins que 1⁄2.

Une tablette de chocolat de 12 carreaux rend l'exemple concret. Un tiers de la tablette, c'est 4 carreaux, un quart, c'est 3 carreaux, et ensemble ils font 7 des 12 carreaux.

Quelles fractions à chaque niveau ?

Le travail sur les fractions du Common Core américain va de la 3e à la 5e année, avec une liste fixe de dénominateurs à chaque étape. Les maths à connaître à chaque niveau couvre les autres domaines, niveau par niveau.

Le programme français suit une autre progression. D'après le programme de mathématiques du cycle 3, l'étude des fractions débute dès le CE1 avec le partage d'un tout en parts égales, puis sert à mesurer des longueurs au CE2. Les fractions du CM1 vont au-delà de 1, se placent sur une demi-droite graduée, se comparent, s'additionnent et se soustraient, avec des dénominateurs inférieurs ou égaux à 20. Au CM2, les dénominateurs montent jusqu'à 60 et l'élève calcule le produit d'un entier et d'une fraction. En 6e, la fraction prend le sens de quotient : 3⁄4, c'est aussi le quart de 3.

Ce lien avec la division rend les résultats de division utiles ici aussi : une manche de tables de division ou une fiche de division pour le CE2 les garde en forme. Un entraînement au niveau d'un élève de CM1 se trouve sur la page du jeu de maths pour le CM1.

Fiche gratuite à imprimerDivision — élèves de CE2Fiche · PDF

Des activités sur la table de la cuisine pour apprendre les fractions

De courtes activités concrètes à la maison enseignent mieux les fractions qu'une pile de fiches, parce que votre enfant voit et déplace les parts égales.

• Les tasses à mesurer. Demandez combien de tasses de 1⁄4 remplissent la tasse de 1⁄2. Il en faut deux, c'est-à-dire 2⁄4 = 1⁄2 versé sous vos yeux. Essayez ensuite trois tasses de 1⁄3 dans la tasse de 1.
• Le pliage. Pliez une feuille en deux, en quatre et en huit, et coloriez la même quantité chaque fois. Alignez les bandes et nommez les fractions qui se correspondent.
• Le partage d'une tablette de chocolat. Prenez une tablette de 12 carreaux. Demandez 1⁄2, 1⁄3, 1⁄4 et 1⁄6 de la tablette en carreaux : 6, 4, 3 et 2.
• La tarte ou la pizza. Coupez-la en 8 parts égales. Demandez si 3⁄8 ou 1⁄2 est plus grand, et laissez votre enfant compter pour vérifier.
• Une droite graduée sur le frigo. Collez une bande de papier de 0 à 1 et ajoutez une nouvelle fraction chaque soir.

Tenez-vous à dix minutes et arrêtez pendant que c'est encore facile. D'autres idées de maths à faire ensemble sont sur la page des jeux de maths pour parents et enfants.