Rationale en irrationale getallen: wat het verschil is en hoe je ze herkent

Het huiswerk van je kind in klas 2 vraagt of 0,333…, √9 en π rationaal zijn, en volgens de antwoorden is alleen de laatste dat niet. Rationale getallen zijn de getallen die je kunt schrijven als een breuk van twee gehele getallen, en irrationale getallen zijn de getallen waarbij dat nooit lukt, hoe lang je het ook probeert. Eén definitie en vijf snelle tests zijn genoeg om elk getal in te delen, en ze verklaren ook waarom een rekenmachine nooit het einde van π laat zien.

Wat is een rationaal getal?

Een rationaal getal is een getal dat je kunt schrijven als een breuk p/q, waarbij p en q gehele getallen zijn en q niet 0 is. OpenStax Prealgebra 2e, paragraaf 7.1 zegt het in één regel: "Een rationaal getal is een getal dat je kunt schrijven als een verhouding van twee gehele getallen." Het woord komt van het Latijnse ratio, verhouding, dus de gids over breuken is een goed begin als p/q roestig voelt.

Dezelfde paragraaf van OpenStax definieert de andere kant: "Een irrationaal getal is een getal dat je niet kunt schrijven als de verhouding van twee gehele getallen. De decimale vorm stopt niet en herhaalt niet." Samen vormen de twee groepen de reële getallen, elk punt op de getallenlijn.

In de VS hoort het onderwerp bij grade 8, ongeveer klas 2 van het voortgezet onderwijs. Common Core-standaard 8.NS.A.1 zegt: "Weet dat getallen die niet rationaal zijn irrationaal heten. Begrijp informeel dat elk getal een decimale ontwikkeling heeft; laat voor rationale getallen zien dat de decimale ontwikkeling uiteindelijk repeteert, en zet een decimale ontwikkeling die uiteindelijk repeteert om in een rationaal getal." In Nederland zeggen de conceptkerndoelen rekenen en wiskunde van SLO: "Zo maken leerlingen in het voortgezet onderwijs kennis met nieuwe getallen, zoals irrationele getallen."

De familie van getalverzamelingen: ℕ, ℤ, ℚ en ℝ

De getalverzamelingen passen in elkaar als geneste dozen. De natuurlijke getallen ℕ (1, 2, 3 …) zitten in de gehele getallen ℤ, die 0 en de negatieve getallen zoals −5 toevoegen (zie negatieve getallen uitgelegd). De gehele getallen zitten in de rationale getallen ℚ, die breuken en kommagetallen zoals 3/4 en 0,75 toevoegen, en ℚ zit in de reële getallen ℝ.

De irrationale getallen vullen het deel van ℝ dat buiten ℚ ligt. De letter ℚ staat voor "quotiënt", de uitkomst van een deling, en Wolfram MathWorld voert die terug op het Duitse woord Quotient. Let op twee verschillen met Engelstalige bronnen: in Nederlandse schoolboeken hoort 0 meestal bij ℕ = {0, 1, 2, 3 …}, en "gehele getallen" betekent altijd ℤ, dus inclusief de negatieve getallen.

Zo zie je of een getal rationaal is, stap voor stap

Een getal is rationaal als een van de eerste vier tests hieronder ja zegt; alleen een getal dat voor alle vier zakt, is irrationaal. Loop de tests op volgorde door en stop bij het eerste ja.

1. Zoek een breuk van gehele getallen. Een getal dat al als p/q met gehele getallen boven en onder staat, zoals 7/3 of −2/5, is rationaal. Een heel getal telt ook, want 4 = 4/1 en 0 = 0/1.
2. Kijk of het kommagetal stopt. Een eindig kommagetal is rationaal, omdat het een breuk is met 10, 100 of 1000 als noemer: 0,75 = 75/100 = 3/4, en 2,5 = 25/10 = 5/2.
3. Kijk of het kommagetal repeteert. Een kommagetal met een blok cijfers dat zich eindeloos herhaalt, is rationaal, dus 0,333… = 1/3 en 0,1666… = 1/6. Common Core 7.NS.A.2d vraagt leerlingen om "een rationaal getal met een staartdeling om te zetten in een kommagetal; weet dat de decimale vorm van een rationaal getal eindigt op nullen of uiteindelijk repeteert."
4. Test wortels op kwadraten. De wortel uit een heel getal is alleen rationaal als dat getal een kwadraat is: √9 = 3 en √49 = 7 zijn rationaal, terwijl √2, √3 en √10 irrationaal zijn.
5. Herken de beroemde irrationale getallen. Pi (π = 3,14159…), e (2,71828…) en elk kommagetal dat zo gebouwd is dat het nooit herhaalt, zoals 1,010010001…, zijn irrationaal.

Gratis spelen in je browserKwadratenGroep 6–8

Waar het misgaat: 22/7 en 0,333…

De breuk 22/7 is rationaal en π is irrationaal, ook al gebruikt school vaak 22/7 voor π. Een staartdeling geeft 22/7 = 3,142857142857…, met het blok 142857 dat steeds terugkomt, terwijl π = 3,14159… nooit in een blok terechtkomt. De twee getallen verschillen vanaf de derde decimaal, en daarom is 22/7 een benadering (de gids over omtrek en oppervlakte van een cirkel gebruikt ze allebei).

Het getal 0,333… lijkt eindeloos, dus veel mensen noemen het irrationaal, maar het is precies 1/3. Een kommagetal dat eeuwig doorgaat, is rationaal zolang het repeteert. Alleen een kommagetal dat nooit stopt en ook nooit herhaalt, is irrationaal.

Rationale en irrationale getallen: voorbeelden naast elkaar

Rationale en irrationale getallen zijn het makkelijkst uit elkaar te houden als je dezelfde tests op bekende voorbeelden toepast. Elke rij van de vergelijking geeft het getal, het oordeel, de reden en de breuk als die bestaat.

Welke test je eerst probeert

De snelste test hangt af van hoe het getal geschreven is. Een breuk of een geheel getal is meteen rationaal, een kommagetal vraagt de controle "stopt of repeteert het", en een wortel vraagt de kwadraattest uit de gids over wortels.

De laatste rij van de vergelijking is de lastigste. Het getal 1,010010001… heeft een duidelijk patroon (elke keer één 0 meer), maar geen enkel blok cijfers herhaalt zich eeuwig, dus het is irrationaal.

Zo zet je een repeterend kommagetal om in een breuk

Een repeterend kommagetal wordt een breuk als je het repeterende deel weg vermenigvuldigt. Neem x = 0,272727…, waar het blok "27" 2 cijfers heeft, dus vermenigvuldig met 100.

• 100x = 27,272727…
• x = 0,272727…
• Trek af: 99x = 27, dus x = 27/99.

De breuk 27/99 vereenvoudig je door teller en noemer door 9 te delen, en dat geeft 3/11; de gids over breuken vereenvoudigen behandelt die stap. Controleer met een staartdeling: 3 : 11 = 0,272727…, het kommagetal waarmee je begon.

Een kommagetal dat pas later begint te repeteren, vraagt één stap meer. Voor x = 0,1666… is 10x = 1,666… en 100x = 16,666…, dus 100x − 10x = 90x = 15 en x = 15/90 = 1/6. De staartdeling achter deze controles is een vaardigheid uit groep 8, en de gids over kommagetallen legt de plaatswaarde achter de komma uit.

Gratis werkblad om te printenDelen — groep 8Werkblad · PDF

Oefenregel: de lengte van het blok bepaalt de negens

Een blok van n repeterende cijfers dat direct na de komma begint, zet je boven n negens. Dus 0,777… = 7/9, 0,272727… = 27/99 en 0,123123… = 123/999 = 41/333.

Irrationale getallen hebben geen breukvorm, dus je plaatst ze met een decimale benadering. Common Core 8.NS.A.2 vraagt leerlingen om "rationale benaderingen van irrationale getallen te gebruiken om de grootte van irrationale getallen te vergelijken" en geeft als voorbeeld dat √2 "tussen 1 en 2 ligt, en dan tussen 1,4 en 1,5". De controle is snel: 1,4² = 1,96 en 1,5² = 2,25, dus √2 ligt ertussen.

Zo controleer je je vooruitgang met rationale getallen

Vijf korte vragen laten zien of je getallen kunt indelen of gokt. Beantwoord ze zonder aantekeningen en vergelijk dan.

• Gehele getallen: is −12 rationaal? Ja, want −12 = −12/1.
• Wortels: welke van √16, √20 en √25 zijn rationaal? √16 = 4 en √25 = 5 zijn rationaal; √20 is irrationaal, omdat 20 geen kwadraat is.
• Repeterende kommagetallen: schrijf 0,444… als breuk. Het antwoord is 4/9.
• Blokken van twee cijfers: schrijf 0,454545… als breuk. Het antwoord is 45/99 = 5/11.
• Ordenen: zet 7/3, √5 en 2,2 op volgorde. √5 ≈ 2,236 en 7/3 ≈ 2,333, dus de volgorde is 2,2, √5, 7/3.

Een zelftoets van tien minuten

Een zelftoets van tien minuten mengt één getal van elke soort: een breuk, een eindig kommagetal, een repeterend kommagetal, een wortel en π. Zeg het oordeel en de reden hardop voordat je iets opschrijft, en controleer de reden dan met de vijf tests.

Is het oordeel goed maar de breuk fout, dan ligt het aan het rekenwerk, niet aan het idee van rationale getallen. Vlot de kwadraten tot 144 kennen en de negensregel beheersen haalt de meeste van die slordigheden weg, en volwassenen die deze feiten weer opbouwen, kunnen het rekenspel voor volwassenen in korte dagelijkse rondes gebruiken.

Veelgemaakte fouten en randgevallen

Vier fouten veroorzaken de meeste foute antwoorden over rationale getallen, en elke fout heeft een korte oplossing.

• Elk eindeloos kommagetal irrationaal noemen: 0,333… gaat eeuwig door maar is gelijk aan 1/3. Vraag of de cijfers herhalen; of ze stoppen beslist het niet.
• 22/7 of 3,14 als π behandelen: beide zijn rationale benaderingen. Schrijf "π ≈ 3,14" met het teken ≈, dan blijft het verschil zichtbaar.
• Elke wortel irrationaal noemen: √9, √36 en √100 zijn hele getallen. Kijk eerst of het een kwadraat is.
• Nul en negatieve getallen vergeten: 0 = 0/1 en −7 = −7/1 zijn rationaal. De enige verboden waarde is een noemer van 0.

Randgeval: sommen en producten van irrationale getallen

Een rationaal getal plus een irrationaal getal is altijd irrationaal, dus 3 + √2 en π − 1 zijn irrationaal. Een rationaal getal dat niet 0 is, keer een irrationaal getal is ook irrationaal, dus 2π is irrationaal.

Twee irrationale getallen kunnen samen een rationaal getal geven. √2 × √2 = 2, en √2 + (−√2) = 0, allebei rationaal. Waarom √2 zelf irrationaal is, laat een klassiek bewijs zien: als √2 = p/q in zijn eenvoudigste vorm, dan is p² = 2q², dus p is even; schrijf je p = 2k, dan krijg je q² = 2k², dus q is ook even, en dat is in strijd met "eenvoudigste vorm". MathWorld voegt eraan toe dat irrationale getallen "decimale ontwikkelingen hebben die niet eindigen en niet periodiek worden."

Je checklist voor rationale getallen en de volgende stappen

• Breukvorm: kun je het getal schrijven als p/q met gehele getallen en q ≠ 0? Dan is het rationaal.
• Kommavorm: stopt of repeteert het kommagetal? Dan is het rationaal.
• Wortels: is het getal onder de wortel een kwadraat? Alleen dan is de wortel rationaal.
• Benaderingen: behandel 22/7 en 3,14 als vervangers van π, nooit als π.
• Repeterende kommagetallen: zet een blok van n repeterende cijfers boven n negens en vereenvoudig.
• Terugcontrole: zet je breuk met een staartdeling terug om te zien of hij klopt.

Het gratis spel kwadraten in de browser oefent de kwadraten achter de worteltest, zonder account.

MathIt is een gratis app voor iOS en Android met ongeveer 90 speltypen, een moeilijkheid die zich aanpast en korte dagelijkse oefening die de kwadraten, breuken en delingen achter deze tests vlot houdt.