Comment simplifier une fraction : le guide pas à pas de la fraction irréductible pour les parents

Votre enfant rapporte une fiche qui demande « donne chaque résultat sous forme de fraction irréductible », et la première réponse est 6/8. Vous vous souvenez que 6/8 est un peu la même chose que 3/4, mais pas comment l'expliquer. Ce guide montre comment simplifier une fraction étape par étape, pourquoi simplifier une fraction ne change jamais sa valeur, et les astuces qui rendent la chose rapide sur la table de la cuisine.

Que veut dire simplifier une fraction ?

Simplifier une fraction, c'est écrire la même quantité avec des nombres plus petits : les parts deviennent plus grandes et moins nombreuses. Une pizza coupée en 8 parts dont 6 sont mangées et une pizza coupée en 4 parts dont 3 sont mangées montrent la même quantité de pizza disparue, donc 6/8 = 3/4.

Des fractions qui désignent la même quantité sont des fractions égales. Le standard américain Common Core 4.NF.A.1 demande aux élèves de grade 4, l'équivalent du CM1, d'« expliquer pourquoi une fraction a/b est égale à la fraction (n × a)/(n × b) à l'aide de représentations, en faisant attention à la façon dont le nombre et la taille des parts changent alors que les deux fractions ont la même valeur ».

Simplifier, c'est appliquer cette règle à l'envers. Multiplier le numérateur et le dénominateur par 2 transforme 3/4 en 6/8, donc diviser le numérateur et le dénominateur par 2 ramène 6/8 à 3/4.

Pourquoi on enseigne la fraction irréductible

On enseigne la fraction irréductible parce qu'elle donne à chaque quantité un seul nom standard, ce qui rend les réponses faciles à comparer et à vérifier. Une fraction est irréductible quand 1 est le seul nombre entier qui divise à la fois le numérateur et le dénominateur ; l'article de Wikipédia sur les fractions irréductibles cite d'autres noms qu'on lui donne en anglais.

En France, le programme de mathématiques du cycle 3 demande en 6e d'« établir des égalités de fractions » et réactive les diviseurs, les multiples et les tables « en vue de leur utilisation dans le calcul sur les fractions (simplification, addition et soustraction) ». Le programme de mathématiques du cycle 4 inscrit ensuite en 4e l'objectif « simplifier une fraction ». Le programme national anglais place la même compétence en Year 6 : les élèves doivent « utiliser des diviseurs communs pour simplifier des fractions ». Le guide du What Works Clearinghouse sur l'enseignement des fractions recommande d'enseigner que les fractions sont des nombres dont les grandeurs « peuvent être rangées ou reconnues comme égales », et c'est l'idée qui sous-tend la simplification.

Comment simplifier une fraction, étape par étape

La méthode pour simplifier une fraction tient en une règle : diviser le numérateur et le dénominateur par le même nombre. Voici les étapes pour simplifier 18/24.

1. Cherchez un nombre qui divise les deux termes. 18 et 24 sont pairs, donc 2 divise les deux.
2. Divisez le numérateur et le dénominateur par ce nombre. 18 : 2 = 9 et 24 : 2 = 12, donc 18/24 devient 9/12.
3. Recommencez avec la nouvelle fraction. 9 et 12 se divisent par 3, avec 9 : 3 = 3 et 12 : 3 = 4, donc 9/12 devient 3/4.
4. Arrêtez-vous quand seul 1 divise les deux. Aucun nombre entier supérieur à 1 ne divise à la fois 3 et 4, donc 3/4 est irréductible.
5. Vérifiez en multipliant. 3 × 6 = 18 et 4 × 6 = 24, donc 3/4 et 18/24 représentent la même quantité.

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Diviser par le PGCD en une seule étape

Diviser par le plus grand diviseur commun (PGCD) simplifie une fraction en une étape au lieu de plusieurs. Pour 18/24, le PGCD est 6, donc 18 : 6 = 3 et 24 : 6 = 4, et la réponse est 3/4 d'un coup.

Les deux chemins aboutissent toujours au même résultat. Pour 36/48, diviser deux fois par 2 puis par 3 revient à diviser par 2 × 2 × 3 = 12, qui est le PGCD de 36 et 48. Le standard 6.NS.B.4 demande en grade 6 de « trouver le plus grand diviseur commun de deux nombres entiers inférieurs ou égaux à 100 », et le guide sur le PGCD et le PPCM montre comment le trouver.

Quatre façons de simplifier une fraction comparées

Quatre méthodes permettent de simplifier une fraction, et chacune convient à un enfant et à une fraction différents. La méthode pas à pas est la plus sûre pour débuter, et celle du PGCD la plus rapide une fois les diviseurs familiers.

Les critères de divisibilité

Les critères de divisibilité montrent quels nombres divisent les deux termes sans poser de division. Cinq critères couvrent la plupart des fractions des devoirs :

• Par 2 : le dernier chiffre est pair, comme dans 14 et 38.
• Par 3 : la somme des chiffres est un multiple de 3, comme dans 51, où 5 + 1 = 6.
• Par 5 : le dernier chiffre est 0 ou 5, comme dans 45 et 60.
• Par 9 : la somme des chiffres est un multiple de 9, comme dans 27 et 63.
• Par 10 : le dernier chiffre est 0, comme dans 30 et 70.

Prenez 45/60. Les deux nombres finissent par 5 ou 0, donc divisez par 5 pour obtenir 9/12 ; 9 est un multiple de 3 et la somme des chiffres de 12 vaut 3, donc divisez par 3 pour obtenir 3/4. Pour 27/63, les deux sommes de chiffres valent 9, donc une seule division par 9 donne 3/7.

La méthode des facteurs premiers suppose de savoir quels nombres sont premiers, et le guide sur les nombres premiers les liste. Des résultats de division rapides portent chaque astuce, et la fiche de division pour le CM1 propose un entraînement à imprimer avec son corrigé.

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Simplifier les fractions supérieures à 1 et les nombres mixtes

Une fraction supérieure à 1 se simplifie exactement comme une fraction inférieure à 1, en divisant le numérateur et le dénominateur par un diviseur commun. Pour 14/4, les deux termes sont pairs, donc 14 : 2 = 7 et 4 : 2 = 2, ce qui donne 7/2.

Transformer le résultat en nombre mixte est une seconde étape, à part. Divisez 7 par 2 pour obtenir 3, reste 1, donc 7/2 = 3 1/2 (c'est-à-dire 3 + 1/2). Convertir d'abord puis simplifier la partie fractionnaire donne le même résultat, 14/4 = 3 2/4 = 3 1/2, mais simplifier d'abord garde les nombres petits.

Comment simplifier un nombre mixte

On simplifie un nombre mixte en laissant l'entier tel quel et en ne simplifiant que la partie fractionnaire. Pour 2 6/9, la fraction 6/9 se divise par 3 pour donner 2/3, donc 2 6/9 = 2 2/3.

Un nombre mixte dont la partie fractionnaire est supérieure à 1 demande un geste de plus. Dans 1 9/6, 9/6 se simplifie en 3/2, soit 1 1/2, donc 1 9/6 = 1 + 1 1/2 = 2 1/2. Les mêmes compétences reviennent quand votre enfant apprend la division de fractions, où les résultats sont en général demandés sous forme irréductible.

Comment vérifier que votre enfant sait simplifier une fraction

Cinq questions courtes montrent si la simplification des fractions est acquise. Demandez le détail du calcul, car une bonne réponse trouvée au hasard ne vous apprend rien.

• Un seul diviseur commun : simplifiez 10/15. La réponse est 2/3, en divisant les deux termes par 5.
• Un diviseur caché : simplifiez 21/28. La réponse est 3/4, en divisant par 7.
• Plusieurs étapes : simplifiez 24/36. La réponse est 2/3, par 12 en une étape ou par 2, 2 et 3 l'un après l'autre.
• Déjà irréductible ? Demandez si 9/15 est irréductible. Elle ne l'est pas, car 3 divise les deux termes, et la réponse est 3/5.
• Supérieure à 1 : simplifiez 18/4 et écrivez-la comme un nombre mixte. La réponse est 9/2, soit 4 1/2.

Un test de cinq minutes

Un test de cinq minutes avec trois fractions variées, une facile, une avec un diviseur caché et une supérieure à 1, en dit plus qu'une page d'un seul type. Refaites-le une fois par semaine avec de nouveaux nombres, et passez à la suite quand votre enfant réussit les trois deux semaines de suite.

Le guide pour expliquer les fractions à votre enfant reprend les notions de départ (numérateur, dénominateur, comparaison de fractions) si l'un de ces tests révèle un manque.

Les erreurs fréquentes quand on simplifie une fraction

Trois erreurs causent la plupart des mauvaises réponses, et chacune a une correction en une ligne.

• Soustraire au lieu de diviser : enlever 4 au numérateur et au dénominateur de 5/10 donne 1/6, alors que 5/10 vaut un demi. Divisez les deux termes par le même nombre : 5/10, divisé par 5 en haut et en bas, donne 1/2.
• Barrer des chiffres : barrer les 2 dans 12/24 donne 1/4, alors que 12/24 vaut 1/2. L'astuce ne semble marcher sur 16/64 = 1/4 que par hasard, donc divisez des nombres entiers et ne barrez jamais un chiffre isolé.
• S'arrêter trop tôt : diviser 8/12 par 2 donne 4/6, et 4 et 6 sont encore pairs. Continuez jusqu'à 2/3, ou divisez dès le départ par le PGCD, 4.

Cas limite : les fractions déjà irréductibles

Une fraction est déjà irréductible quand ses termes n'ont aucun diviseur commun supérieur à 1, même quand les nombres paraissent grands. Dans 7/12, 7 est premier et ne divise pas 12, donc 7/12 ne peut pas être simplifiée.

Deux nombres consécutifs comme dans 8/9 ou 15/16 n'ont jamais de diviseur commun supérieur à 1, et une fraction de numérateur 1 non plus. Une fraction dont le numérateur est égal au dénominateur, comme 6/6, se simplifie en 1.

Votre pense-bête de la fraction irréductible et la suite

• Le même nombre : divisez le numérateur et le dénominateur par le même nombre, ne soustrayez jamais.
• Les astuces : testez d'abord 2, 3, 5, 9 et 10 avec les critères de divisibilité.
• Le PGCD : divisez par le plus grand diviseur commun pour finir en une étape.
• La règle d'arrêt : arrêtez-vous seulement quand 1 est le seul nombre qui divise les deux termes.
• Les nombres mixtes : gardez l'entier et simplifiez la partie fractionnaire.
• Vérifier : multipliez votre réponse et comparez-la à la fraction de départ.

Bien connaître ses diviseurs accélère chacune de ces étapes. La page jeu de maths pour le CM2 rassemble des exercices adaptés à l'année où le travail sur les fractions s'accélère.

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