Números racionales e irracionales explicados: cómo distinguirlos

Los deberes de tu hijo de secundaria preguntan si 0,333…, √9 y π son racionales, y el solucionario dice que solo el último no lo es. Los números racionales son los que se pueden escribir como fracción de dos enteros, y los irracionales son los que no, por mucho que lo intentes. Una definición y cinco pruebas rápidas bastan para clasificar cualquier número, y además explican por qué una calculadora nunca muestra el final de π.

Qué es un número racional

Un número racional es un número que se puede escribir como una fracción p/q, donde p y q son enteros y q no es 0. El libro OpenStax Prealgebra 2e, sección 7.1 lo dice en una línea: «Un número racional es un número que se puede escribir como razón de dos enteros». La palabra viene de «razón», así que la guía de las fracciones es el mejor punto de partida si p/q se te ha oxidado.

La misma sección de OpenStax define el otro lado: «Un número irracional es un número que no se puede escribir como razón de dos enteros. Su forma decimal no termina y no se repite». Juntos, los dos grupos forman los números reales, todos los puntos de la recta numérica.

En Estados Unidos, el tema se da en 8.º grado (13 a 14 años, equivalente a 2.º de ESO). El estándar Common Core 8.NS.A.1 dice: «Saber que los números que no son racionales se llaman irracionales. Entender de manera informal que todo número tiene un desarrollo decimal; para los números racionales, mostrar que el desarrollo decimal acaba repitiéndose, y convertir en número racional un desarrollo decimal que acaba repitiéndose». En España, el currículo de la ESO (Real Decreto 217/2022) trabaja de 1.º a 3.º los números «enteros, fraccionarios, decimales y raíces», y en 4.º recoge «los conjuntos numéricos (naturales, enteros, racionales y reales): relaciones entre ellos y propiedades» (Matemáticas B) y «algunos números irracionales en situaciones de la vida cotidiana» (Matemáticas A).

La familia de conjuntos numéricos: ℕ, ℤ, ℚ y ℝ

Los conjuntos numéricos encajan unos dentro de otros como cajas. Los números naturales ℕ (1, 2, 3 …) están dentro de los enteros ℤ, que añaden el 0 y los negativos como −5 (consulta los números negativos explicados). Los enteros están dentro de los números racionales ℚ, que añaden fracciones y decimales como 3/4 y 0,75, y ℚ está dentro de los números reales ℝ.

Los números irracionales ocupan la parte de ℝ que queda fuera de ℚ. La letra ℚ viene de «cociente», el resultado de una división, que Wolfram MathWorld remonta a la palabra alemana Quotient. Los libros de texto en español no coinciden sobre el 0: unos empiezan ℕ en 1 y otros en 0, así que conviene mirar cómo lo escribe el libro de tu hijo.

Cómo saber si un número es racional, paso a paso

Un número es racional si cualquiera de las cuatro primeras pruebas dice que sí; solo un número que no pasa ninguna es irracional. Haz las pruebas en orden y para en el primer sí.

1. Busca una fracción de enteros. Un número ya escrito como p/q con enteros arriba y abajo, como 7/3 o −2/5, es racional. Un entero también cuenta, porque 4 = 4/1 y 0 = 0/1.
2. Comprueba si el decimal es exacto. Un decimal exacto es racional, porque es una fracción sobre 10, 100 o 1000: 0,75 = 75/100 = 3/4, y 2,5 = 25/10 = 5/2.
3. Comprueba si el decimal es periódico. Un decimal con un bloque de cifras que se repite para siempre (el periodo) es racional, así que 0,333… = 1/3 (periódico puro) y 0,1666… = 1/6 (periódico mixto). El estándar Common Core 7.NS.A.2d pide «convertir un número racional en decimal mediante la división larga; saber que la forma decimal de un número racional termina en ceros o acaba repitiéndose».
4. Busca cuadrados perfectos en las raíces. La raíz cuadrada de un número natural es racional solo cuando el número es un cuadrado perfecto: √9 = 3 y √49 = 7 son racionales, y √2, √3 y √10 son irracionales.
5. Reconoce a los irracionales famosos. Pi (π = 3,14159…), e (2,71828…) y cualquier decimal construido para no repetirse nunca, como 1,010010001…, son irracionales.

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Lo que más se confunde: 22/7 y 0,333…

La fracción 22/7 es racional y π es irracional, aunque en clase se use a menudo 22/7 en lugar de π. La división da 22/7 = 3,142857142857…, con el bloque 142857 repitiéndose, mientras que π = 3,14159… nunca se asienta en un bloque. Los dos números difieren desde la tercera cifra decimal, y por eso 22/7 es una aproximación (la guía de la longitud y el área del círculo usa los dos).

El decimal 0,333… parece infinito, así que mucha gente lo llama irracional, pero es exactamente 1/3. Un decimal que sigue para siempre es racional siempre que se repita. Solo un decimal que no termina nunca y tampoco se repite es irracional.

Números racionales e irracionales: ejemplos comparados

Los números racionales e irracionales se distinguen mejor al ver las mismas pruebas aplicadas a ejemplos habituales. Cada fila de la comparación da el número, el veredicto, el motivo y la fracción cuando existe.

Qué prueba hacer primero

La prueba más rápida depende de cómo está escrito el número. Una fracción o un entero son racionales a simple vista, un decimal necesita la prueba de «termina o se repite», y una raíz cuadrada necesita la prueba del cuadrado perfecto de la guía de las raíces cuadradas.

La última fila de la comparación es la más engañosa. El decimal 1,010010001… tiene un patrón claro (un 0 más cada vez), pero ningún bloque de cifras se repite para siempre, así que es irracional.

Cómo pasar un decimal periódico a fracción

Un decimal periódico se convierte en fracción, su fracción generatriz, cuando eliminas la parte que se repite multiplicando. Toma x = 0,272727…, donde el bloque «27» tiene 2 cifras, así que multiplica por 100.

• 100x = 27,272727…
• x = 0,272727…
• Resta: 99x = 27, así que x = 27/99.

La fracción 27/99 se simplifica dividiendo arriba y abajo entre 9, lo que da 3/11; la guía de cómo simplificar fracciones explica ese paso. Compruébalo con la división: 3 ÷ 11 = 0,272727…, el decimal del que partiste.

Un decimal periódico mixto, que empieza a repetirse más tarde, necesita un paso más. Para x = 0,1666…, 10x = 1,666… y 100x = 16,666…, así que 100x − 10x = 90x = 15 y x = 15/90 = 1/6. La división larga que hay detrás de estas comprobaciones es una destreza de 6.º de primaria (11 a 12 años), y la guía de los decimales explica el valor posicional después de la coma.

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Regla práctica: el periodo marca los nueves

Un periodo de n cifras que empieza justo después de la coma va sobre n nueves. Así, 0,777… = 7/9, 0,272727… = 27/99 y 0,123123… = 123/999 = 41/333.

Los números irracionales no tienen forma de fracción, así que se sitúan con una aproximación decimal. El estándar Common Core 8.NS.A.2 pide «usar aproximaciones racionales de números irracionales para comparar su tamaño» y da el ejemplo de mostrar que √2 está «entre 1 y 2, después entre 1,4 y 1,5». La comprobación es rápida: 1,4² = 1,96 y 1,5² = 2,25, así que √2 queda entre los dos.

Cómo comprobar tus avances con los números racionales

Cinco preguntas cortas muestran si sabes clasificar números o si adivinas. Respóndelas sin apuntes y después compara.

• Enteros: ¿−12 es racional? Sí, porque −12 = −12/1.
• Raíces cuadradas: ¿cuáles de √16, √20 y √25 son racionales? √16 = 4 y √25 = 5 son racionales; √20 es irracional porque 20 no es un cuadrado perfecto.
• Decimales periódicos: escribe 0,444… como fracción. La respuesta es 4/9.
• Periodos de dos cifras: escribe 0,454545… como fracción. La respuesta es 45/99 = 5/11.
• Ordenar: ordena 7/3, √5 y 2,2. √5 ≈ 2,236 y 7/3 ≈ 2,333, así que el orden es 2,2; √5; 7/3.

Una autoevaluación de diez minutos

Una autoevaluación de diez minutos mezcla un número de cada tipo: una fracción, un decimal exacto, un decimal periódico, una raíz cuadrada y π. Di en voz alta el veredicto y el motivo antes de escribir nada, y después compara el motivo con las cinco pruebas.

Acertar el veredicto y fallar la fracción apunta a las operaciones, no a la idea de número racional. Recordar al momento los cuadrados perfectos hasta 144 y la regla de los nueves elimina la mayoría de esos despistes, y los adultos que recuperan estas operaciones pueden usar el juego de matemáticas para adultos en rondas diarias cortas.

Errores frecuentes y casos límite

Cuatro errores explican la mayoría de las respuestas equivocadas sobre números racionales, y cada uno tiene un remedio corto.

• Llamar irracional a todo decimal infinito: 0,333… sigue para siempre pero es igual a 1/3. Pregunta si las cifras se repiten; que terminen o no, no decide nada.
• Tomar 22/7 o 3,14 por π: las dos son aproximaciones racionales. Escribe «π ≈ 3,14» con el signo ≈, que deja visible la diferencia.
• Llamar irracional a toda raíz cuadrada: √9, √36 y √100 son números naturales. Busca primero un cuadrado perfecto.
• Olvidar el cero y los negativos: 0 = 0/1 y −7 = −7/1 son racionales. El único valor prohibido es un denominador 0.

Caso límite: sumas y productos de números irracionales

Un número racional más un número irracional da siempre un irracional, así que 3 + √2 y π − 1 son irracionales. Un número racional distinto de cero por un número irracional también da un irracional, así que 2π es irracional.

Dos números irracionales pueden combinarse en uno racional. √2 × √2 = 2, y √2 + (−√2) = 0, los dos racionales. La razón de que √2 sea irracional es una demostración clásica: si √2 = p/q como fracción irreducible, entonces p² = 2q², así que p es par; al escribir p = 2k queda q² = 2k², así que q también es par, lo que contradice que la fracción sea irreducible. MathWorld añade que los números irracionales «tienen desarrollos decimales que ni terminan ni se vuelven periódicos».

Tu lista de comprobación de los números racionales y siguientes pasos

• Forma de fracción: ¿puedes escribir el número como p/q con enteros y q ≠ 0? Entonces es racional.
• Forma decimal: ¿el decimal termina o se repite? Entonces es racional.
• Raíces cuadradas: ¿el número de dentro de la raíz es un cuadrado perfecto? Solo entonces la raíz es racional.
• Aproximaciones: trata 22/7 y 3,14 como sustitutos de π, nunca como π.
• Decimales periódicos: pon un periodo de n cifras sobre n nueves y simplifica.
• Comprobación: vuelve a convertir tu fracción con la división para confirmar que coincide.

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