Liczby wymierne i niewymierne: jak je od siebie odróżnić

Zadanie domowe ósmoklasisty pyta, czy 0,(3), √9 i π są liczbami wymiernymi, a w odpowiedziach stoi, że tylko ostatnia nie jest. Liczby wymierne to liczby, które da się zapisać jako ułamek dwóch liczb całkowitych, a liczby niewymierne to te, których nie da się tak zapisać, choćby nie wiadomo jak długo próbować. Jedna definicja i pięć szybkich testów wystarczą, żeby przyporządkować każdą liczbę, i przy okazji wyjaśniają, dlaczego kalkulator nigdy nie pokaże końca liczby π.

Co to jest liczba wymierna?

Liczba wymierna to liczba, którą da się zapisać jako ułamek p/q, gdzie p i q są liczbami całkowitymi, a q nie jest zerem. Podręcznik OpenStax Prealgebra 2e, rozdział 7.1 ujmuje to jednym zdaniem: liczba wymierna to liczba, którą można zapisać jako stosunek dwóch liczb całkowitych. Angielska nazwa pochodzi od słowa oznaczającego stosunek, a polska mówi to samo innymi słowami: liczbę wymierną da się „zmierzyć” ułamkiem. Jeśli zapis p/q wydaje się zardzewiały, dobrym punktem startu jest poradnik o ułamkach.

Ten sam rozdział OpenStax definiuje drugą stronę: liczba niewymierna to liczba, której nie można zapisać jako stosunku dwóch liczb całkowitych, a jej rozwinięcie dziesiętne nie kończy się i nie powtarza. Razem obie grupy tworzą liczby rzeczywiste, czyli wszystkie punkty osi liczbowej.

W Polsce temat narasta stopniowo. Podstawa programowa dla klas 7–8 wymaga, by uczeń porównywał wyrażenia z pierwiastkami z liczbami wymiernymi, a podstawa programowa matematyki dla liceum i technikum wprowadza oznaczenia N, Z, Q i R i wymienia w zakresie podstawowym dowód niewymierności liczby √2. W USA temat wypada w klasie 8: standard Common Core 8.NS.A.1 każe wiedzieć, że liczby, które nie są wymierne, nazywa się niewymiernymi, i pokazać, że rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej w końcu staje się okresowe.

Rodzina zbiorów liczbowych: ℕ, ℤ, ℚ i ℝ

Zbiory liczbowe mieszczą się jeden w drugim jak pudełka. W polskiej szkole zero należy do liczb naturalnych, więc ℕ to 0, 1, 2, 3 …; w wielu krajach, na przykład w USA, liczby naturalne zaczynają się od 1, a zbiór z zerem ma osobną nazwę. Liczby naturalne mieszczą się w liczbach całkowitych ℤ, które dodają liczby ujemne, takie jak −5 (zobacz poradnik o liczbach ujemnych). Liczby całkowite mieszczą się w liczbach wymiernych ℚ, które dodają ułamki i ułamki dziesiętne, takie jak 3/4 i 0,75, a ℚ mieści się w liczbach rzeczywistych ℝ.

Liczby niewymierne wypełniają tę część ℝ, która leży poza ℚ. Litera ℚ pochodzi od słowa „iloraz”, czyli wyniku dzielenia, a Wolfram MathWorld wywodzi ją od niemieckiego słowa Quotient. Zbiór liczb niewymiernych zapisuje się zwykle jako ℝ \ ℚ, czyli liczby rzeczywiste bez wymiernych.

Jak sprawdzić, czy liczba jest wymierna, krok po kroku

Liczba jest wymierna, jeśli którykolwiek z pierwszych czterech testów da odpowiedź „tak”; niewymierna jest tylko liczba, która nie przejdzie żadnego z nich. Sprawdzaj testy po kolei i zatrzymaj się na pierwszym „tak”.

1. Szukaj ułamka liczb całkowitych. Liczba zapisana już jako p/q z liczbami całkowitymi w liczniku i mianowniku, na przykład 7/3 albo −2/5, jest wymierna. Liczba całkowita też się liczy, bo 4 = 4/1, a 0 = 0/1.
2. Sprawdź, czy rozwinięcie się kończy. Skończony ułamek dziesiętny jest wymierny, bo to ułamek o mianowniku 10, 100 lub 1000: 0,75 = 75/100 = 3/4, a 2,5 = 25/10 = 5/2.
3. Sprawdź, czy rozwinięcie się powtarza. Ułamek dziesiętny z grupą cyfr powtarzającą się bez końca jest wymierny, więc 0,(3) = 1/3, a 0,1(6) = 1/6. W Polsce powtarzający się okres zapisuje się w nawiasie, a w USA kreską nad cyframi lub wielokropkiem. Common Core 7.NS.A.2d prosi uczniów o zamianę liczby wymiernej na ułamek dziesiętny dzieleniem pisemnym i o wiedzę, że takie rozwinięcie kończy się zerami albo w końcu się powtarza.
4. Sprawdź pierwiastki: czy pod pierwiastkiem jest kwadrat? Pierwiastek kwadratowy z liczby naturalnej jest wymierny tylko wtedy, gdy ta liczba jest kwadratem liczby naturalnej: √9 = 3 i √49 = 7 są wymierne, a √2, √3 i √10 są niewymierne.
5. Rozpoznaj znane liczby niewymierne. Liczba pi (π = 3,14159…), liczba e (2,71828…) i każdy ułamek dziesiętny zbudowany tak, żeby się nie powtarzał, na przykład 1,010010001…, są niewymierne.

Zagraj za darmo w przeglądarceKwadraty liczbKlasa 4–6

Gdzie pojawiają się błędy: 22/7 i 0,(3)

Ułamek 22/7 jest liczbą wymierną, a π niewymierną, choć w szkole często używa się 22/7 zamiast π. Dzielenie pisemne daje 22 : 7 = 3,142857142857…, czyli 3,(142857) z powtarzającym się okresem 142857, a π = 3,14159… nigdy nie układa się w okres. Obie liczby różnią się od trzeciego miejsca po przecinku, dlatego 22/7 to przybliżenie (poradnik o obwodzie i polu koła używa obu).

Rozwinięcie 0,333… wygląda na nieskończone, więc wiele osób nazywa je niewymiernym, ale to dokładnie 1/3. Ułamek dziesiętny, który ciągnie się w nieskończoność, jest wymierny, dopóki się powtarza. Niewymierne jest tylko rozwinięcie, które jednocześnie nigdy się nie kończy i nigdy nie powtarza.

Liczby wymierne i niewymierne: przykłady obok siebie

Liczby wymierne i niewymierne najłatwiej odróżnić, gdy widzisz te same testy zastosowane do typowych przykładów. Każdy wiersz porównania podaje liczbę, werdykt, powód i ułamek, jeśli istnieje.

Od którego testu zacząć

Najszybszy test zależy od tego, jak liczba jest zapisana. Ułamek albo liczba całkowita są wymierne na pierwszy rzut oka, ułamek dziesiętny wymaga sprawdzenia „kończy się albo powtarza”, a pierwiastek wymaga sprawdzenia kwadratu z poradnika o pierwiastkach kwadratowych.

Ostatni wiersz porównania jest najbardziej podchwytliwy. Rozwinięcie 1,010010001… ma wyraźny wzór (za każdym razem o jedno 0 więcej), ale żadna jedna grupa cyfr nie powtarza się bez końca, więc ta liczba jest niewymierna.

Jak zamienić ułamek okresowy na ułamek zwykły

Ułamek okresowy zamienia się na zwykły, gdy mnożeniem pozbędziesz się części okresowej. Weź x = 0,(27) = 0,272727…, gdzie okres „27” ma 2 cyfry, więc pomnóż przez 100.

• 100x = 27,272727…
• x = 0,272727…
• Odejmij: 99x = 27, więc x = 27/99.

Ułamek 27/99 skrócisz, dzieląc licznik i mianownik przez 9, co daje 3/11; poradnik o tym, jak skracać ułamki, opisuje ten krok. Sprawdź dzieleniem pisemnym: 3 : 11 = 0,272727…, czyli liczba, od której zaczynasz.

Ułamek, którego okres zaczyna się z opóźnieniem, wymaga jednego kroku więcej. Dla x = 0,1(6) = 0,1666… mamy 10x = 1,666… i 100x = 16,666…, więc 100x − 10x = 90x = 15, a x = 15/90 = 1/6. Dzielenie pisemne, na którym opierają się te sprawdzenia, uczniowie poznają w klasach 4–6, a poradnik o ułamkach dziesiętnych wyjaśnia rzędy po przecinku.

Darmowa karta pracy do drukuDzielenie — uczniów 6. klasyKarta pracy · PDF

Zasada do ćwiczeń: długość okresu ustala liczbę dziewiątek

Okres złożony z n cyfr, który zaczyna się zaraz po przecinku, trafia nad n dziewiątek. Zatem 0,(7) = 7/9, 0,(27) = 27/99, a 0,(123) = 123/999 = 41/333.

Liczby niewymierne nie mają postaci ułamka, więc umieszczasz je na osi za pomocą przybliżenia dziesiętnego. Common Core 8.NS.A.2 prosi uczniów o porównywanie liczb niewymiernych za pomocą wymiernych przybliżeń i podaje przykład: √2 leży między 1 a 2, a potem między 1,4 a 1,5. Sprawdzenie jest szybkie: 1,4² = 1,96 i 1,5² = 2,25, więc √2 leży między nimi. Polska podstawa dla klas 7–8 wymaga tego samego szacowania, na przykład znalezienia liczby całkowitej a, dla której a ≤ √137 < a + 1.

Jak sprawdzić swoje postępy z liczbami wymiernymi

Pięć krótkich pytań pokazuje, czy umiesz przyporządkować liczby, czy zgadujesz. Odpowiedz bez notatek, a potem porównaj.

• Liczby całkowite: czy −12 jest liczbą wymierną? Tak, bo −12 = −12/1.
• Pierwiastki: które z √16, √20 i √25 są wymierne? √16 = 4 i √25 = 5 są wymierne; √20 jest niewymierny, bo 20 nie jest kwadratem liczby naturalnej.
• Ułamki okresowe: zapisz 0,(4) jako ułamek zwykły. Odpowiedź to 4/9.
• Okres dwucyfrowy: zapisz 0,(45) jako ułamek zwykły. Odpowiedź to 45/99 = 5/11.
• Porządkowanie: uporządkuj 7/3, √5 i 2,2. √5 ≈ 2,236, a 7/3 ≈ 2,333, więc kolejność to 2,2, √5, 7/3.

Dziesięciominutowy test

Dziesięciominutowy test łączy po jednej liczbie każdego rodzaju: ułamek, skończony ułamek dziesiętny, ułamek okresowy, pierwiastek i π. Zanim cokolwiek zapiszesz, powiedz na głos werdykt i powód, a potem sprawdź powód z pięcioma testami.

Dobry werdykt i zły ułamek wskazują na rachunki, nie na samo pojęcie liczby wymiernej. Szybkie przypominanie kwadratów liczb do 144 i zasady dziewiątek usuwa większość takich pomyłek, a dorośli, którzy odbudowują te fakty, mogą korzystać z gry matematycznej dla dorosłych w krótkich codziennych rundach.

Typowe błędy i przypadki szczególne

Cztery błędy odpowiadają za większość złych odpowiedzi o liczbach wymiernych, a każdy ma krótkie rozwiązanie.

• Nazywanie każdego nieskończonego rozwinięcia niewymiernym: 0,333… ciągnie się bez końca, ale równa się 1/3. Pytaj, czy cyfry się powtarzają; to, czy się kończą, niczego nie rozstrzyga.
• Traktowanie 22/7 albo 3,14 jak π: oba to wymierne przybliżenia. Pisz „π ≈ 3,14” ze znakiem ≈, który pokazuje różnicę.
• Nazywanie każdego pierwiastka niewymiernym: √9, √36 i √100 to liczby naturalne. Najpierw sprawdź, czy pod pierwiastkiem jest kwadrat.
• Zapominanie o zerze i liczbach ujemnych: 0 = 0/1 i −7 = −7/1 są wymierne. Zakazany jest tylko mianownik równy 0.

Przypadek szczególny: sumy i iloczyny liczb niewymiernych

Liczba wymierna plus liczba niewymierna zawsze daje liczbę niewymierną, więc 3 + √2 i π − 1 są niewymierne. Niezerowa liczba wymierna razy liczba niewymierna też daje liczbę niewymierną, więc 2π jest niewymierna.

Dwie liczby niewymierne mogą razem dać liczbę wymierną. √2 · √2 = 2 i √2 + (−√2) = 0, obie wymierne. Powód, dla którego samo √2 jest niewymierne, to klasyczny dowód: jeśli √2 = p/q jest ułamkiem nieskracalnym, to p² = 2q², więc p jest parzyste; zapisując p = 2k, dostajesz q² = 2k², więc q też jest parzyste, co przeczy nieskracalności. MathWorld dodaje, że liczby niewymierne mają rozwinięcia dziesiętne, które ani się nie kończą, ani nie stają się okresowe.

Twoja lista kontrolna liczb wymiernych i następne kroki

• Postać ułamka: czy liczbę da się zapisać jako p/q z liczbami całkowitymi i q ≠ 0? Wtedy jest wymierna.
• Rozwinięcie dziesiętne: czy rozwinięcie się kończy albo powtarza? Wtedy liczba jest wymierna.
• Pierwiastki: czy pod pierwiastkiem jest kwadrat liczby naturalnej? Tylko wtedy pierwiastek jest wymierny.
• Przybliżenia: traktuj 22/7 i 3,14 jako zastępstwo π, nigdy jako π.
• Ułamki okresowe: okres z n cyfr zapisz nad n dziewiątkami, potem skróć.
• Sprawdzenie: zamień ułamek z powrotem dzieleniem pisemnym i sprawdź, czy wynik się zgadza.

Darmowa gra z kwadratami liczb w przeglądarce ćwiczy kwadraty, na których opiera się test pierwiastków, bez zakładania konta.

MathIt to darmowa aplikacja na iOS i Android z około 90 rodzajami gier, adaptacyjnym poziomem trudności i krótkimi codziennymi ćwiczeniami, dzięki którym kwadraty liczb, ułamki i dzielenie stojące za tymi testami zostają szybkie.