Rasjonale og irrasjonale tall forklart: slik skiller du dem fra hverandre

Leksa til barnet ditt på ungdomsskolen spør om 0,333…, √9 og π er rasjonale, og fasiten sier at bare det siste tallet ikke er det. Rasjonale tall er tallene du kan skrive som en brøk av to hele tall, og irrasjonale tall er de du ikke kan skrive slik, uansett hvor lenge du prøver. Én definisjon og fem raske tester er nok til å sortere alle tall du møter, og de forklarer også hvorfor en kalkulator aldri viser slutten på π.

Hva er rasjonale tall?

Et rasjonalt tall er et tall som kan skrives som en brøk p/q, der p og q er hele tall og q ikke er 0. OpenStax Prealgebra 2e, avsnitt 7.1 sier det på én linje: «Et rasjonalt tall er et tall som kan skrives som forholdet mellom to hele tall.» Ordet kommer fra latin ratio, forhold, så guiden om brøker er det rette stedet å starte hvis p/q føles rustent.

Det samme avsnittet hos OpenStax definerer den andre siden: «Et irrasjonalt tall er et tall som ikke kan skrives som forholdet mellom to hele tall. Desimalene stopper ikke og gjentar seg ikke.» Til sammen utgjør de to gruppene de reelle tallene, alle punktene på tallinjen.

I Norge skal eleven etter 8. trinn kunne «regne med potenser og kvadratrøtter», ifølge kompetansemålene etter 8. trinn i LK20, og det er kvadratrøttene som gir de første irrasjonale tallene. I USA hører temaet til åttende klasse. Common Core-standarden 8.NS.A.1 sier: «Vit at tall som ikke er rasjonale, kalles irrasjonale. Forstå uformelt at alle tall har en desimalutvikling; vis for rasjonale tall at desimalutviklingen til slutt gjentar seg, og gjør om en desimalutvikling som til slutt gjentar seg, til et rasjonalt tall.»

Tallmengdene: ℕ, ℤ, ℚ og ℝ

Tallmengdene ligger inni hverandre som esker i esker. De naturlige tallene ℕ (1, 2, 3 …) ligger inni de hele tallene ℤ, som legger til 0 og de negative tallene, som −5 (se negative tall forklart). De hele tallene ligger inni de rasjonale tallene ℚ, som legger til brøker og desimaltall som 3/4 og 0,75, og ℚ ligger inni de reelle tallene ℝ.

De irrasjonale tallene fyller den delen av ℝ som ligger utenfor ℚ. Bokstaven ℚ står for «kvotient», svaret på en divisjon, og Wolfram MathWorld fører den tilbake til det tyske ordet Quotient. I norsk skole starter de naturlige tallene vanligvis på 1, og «hele tall» betyr ℤ, med de negative tallene. Mange amerikanske lærebøker har et ekstra trinn mellom ℕ og ℤ: tallene 0, 1, 2, 3 … uten de negative.

Slik finner du ut om et tall er rasjonalt, steg for steg

Et tall er rasjonalt hvis én av de fire første testene nedenfor sier ja; bare et tall som stryker på alle, er irrasjonalt. Gå gjennom testene i rekkefølge og stopp ved det første ja-et.

1. Se etter en brøk av hele tall. Et tall som allerede står som p/q med hele tall i teller og nevner, som 7/3 eller −2/5, er rasjonalt. Et helt tall teller også, fordi 4 = 4/1 og 0 = 0/1.
2. Sjekk om desimaltallet slutter. Et desimaltall som slutter, er rasjonalt, fordi det er en brøk med 10, 100 eller 1000 i nevneren: 0,75 = 75/100 = 3/4, og 2,5 = 25/10 = 5/2.
3. Sjekk om desimaltallet gjentar seg. Et desimaltall med en blokk av sifre som gjentar seg i det uendelige, er rasjonalt, så 0,333… = 1/3 og 0,1666… = 1/6. Common Core 7.NS.A.2d ber elevene gjøre om et rasjonalt tall til et desimaltall med lang divisjon og vite at desimalene enten slutter eller til slutt gjentar seg.
4. Test kvadratrøtter for kvadrattall. Kvadratroten av et naturlig tall er rasjonal bare når tallet er et kvadrattall: √9 = 3 og √49 = 7 er rasjonale, mens √2, √3 og √10 er irrasjonale.
5. Kjenn igjen de berømte irrasjonale tallene. Pi (π = 3,14159…), e (2,71828…) og alle desimaltall som er laget for aldri å gjenta seg, som 1,010010001…, er irrasjonale.

Spill gratis i nettleserenKvadrattall4.–6. trinn

Det mange tar feil av: 22/7 og 0,333…

Brøken 22/7 er rasjonal, mens π er irrasjonalt, selv om skolen ofte bruker 22/7 for π. Lang divisjon gir 22/7 = 3,142857142857…, der blokken 142857 gjentar seg, mens π = 3,14159… aldri faller inn i en blokk. De to tallene skiller seg fra tredje desimal, og derfor er 22/7 en tilnærming (guiden om omkrets og areal av en sirkel bruker begge).

Desimaltallet 0,333… ser uendelig ut, så mange kaller det irrasjonalt, men det er nøyaktig 1/3. Et desimaltall som fortsetter for alltid, er rasjonalt så lenge det gjentar seg. Bare et desimaltall som både aldri slutter og aldri gjentar seg, er irrasjonalt.

Rasjonale og irrasjonale tall: eksempler side om side

Rasjonale og irrasjonale tall er lettest å skille når du ser de samme testene brukt på vanlige eksempler. Hver rad i sammenligningen gir tallet, svaret, grunnen og brøken der det finnes en.

Hvilken test du bør prøve først

Den raskeste testen avhenger av hvordan tallet er skrevet. En brøk eller et helt tall er rasjonalt med en gang, et desimaltall trenger sjekken «slutter eller gjentar seg», og en kvadratrot trenger kvadrattallsjekken fra guiden om kvadratrøtter.

Den siste raden i sammenligningen er den vanskeligste. Desimaltallet 1,010010001… har et tydelig mønster (én null mer hver gang), men ingen enkelt blokk av sifre gjentar seg for alltid, så det er irrasjonalt.

Slik gjør du et periodisk desimaltall om til en brøk

Et periodisk desimaltall blir en brøk når du ganger bort den delen som gjentar seg. Ta x = 0,272727…, der blokken «27» har 2 sifre, så du ganger med 100.

• 100x = 27,272727…
• x = 0,272727…
• Trekk fra: 99x = 27, så x = 27/99.

Brøken 27/99 forkortes ved å dele teller og nevner på 9, og det gir 3/11; guiden om hvordan du forkorter brøker viser det steget. Kontroller med lang divisjon: 3 : 11 = 0,272727…, desimaltallet du startet med.

Et desimaltall som begynner å gjenta seg litt senere, trenger ett steg til. For x = 0,1666… er 10x = 1,666… og 100x = 16,666…, så 100x − 10x = 90x = 15 og x = 15/90 = 1/6. Den lange divisjonen bak disse kontrollene øves på mellomtrinnet, og guiden om desimaltall forklarer posisjonssystemet etter kommaet.

Gratis utskriftsarkDivisjon — 6.-klassingerArbeidsark · PDF

Øvingsregel: lengden på blokken bestemmer niene

En blokk med n sifre som gjentar seg rett etter kommaet, settes over n nitall. Så 0,777… = 7/9, 0,272727… = 27/99 og 0,123123… = 123/999 = 41/333.

Irrasjonale tall har ingen brøkform, så du plasserer dem med en tilnærmet desimalverdi. Common Core 8.NS.A.2 ber elevene bruke rasjonale tilnærminger til å sammenligne størrelsen på irrasjonale tall, og gir eksempelet at √2 ligger «mellom 1 og 2, deretter mellom 1,4 og 1,5». Kontrollen er rask: 1,4² = 1,96 og 1,5² = 2,25, så √2 ligger mellom dem.

Slik sjekker du fremgangen med rasjonale tall

Fem korte spørsmål viser om du kan sortere tall eller gjetter. Svar uten notater, og sammenlign etterpå.

• Hele tall: er −12 rasjonalt? Ja, fordi −12 = −12/1.
• Kvadratrøtter: hvilke av √16, √20 og √25 er rasjonale? √16 = 4 og √25 = 5 er rasjonale; √20 er irrasjonalt fordi 20 ikke er et kvadrattall.
• Periodiske desimaltall: skriv 0,444… som en brøk. Svaret er 4/9.
• Blokker med to sifre: skriv 0,454545… som en brøk. Svaret er 45/99 = 5/11.
• Rekkefølge: sett 7/3, √5 og 2,2 i rekkefølge. √5 ≈ 2,236 og 7/3 ≈ 2,333, så rekkefølgen er 2,2, √5, 7/3.

En selvtest på ti minutter

En selvtest på ti minutter blander ett tall av hver type: en brøk, et desimaltall som slutter, et periodisk desimaltall, en kvadratrot og π. Si svaret og grunnen høyt før du skriver noe, og sjekk grunnen mot de fem testene.

Får du svaret riktig, men brøken feil, ligger problemet i regningen og ikke i forståelsen av rasjonale tall. Rask gjenkalling av kvadrattallene opp til 144 og av regelen med niene fjerner de fleste av slike glipper, og voksne som vil friske opp disse faktaene, kan bruke mattespillet for voksne i korte runder hver dag.

Vanlige feil og spesialtilfeller

Fire feil står bak de fleste gale svarene om rasjonale tall, og hver har en kort løsning.

• Å kalle alle uendelige desimaltall irrasjonale: 0,333… fortsetter for alltid, men er lik 1/3. Spør om sifrene gjentar seg; om de slutter, avgjør ikke saken.
• Å behandle 22/7 eller 3,14 som π: begge er rasjonale tilnærminger. Skriv «π ≈ 3,14» med tegnet ≈, så forskjellen synes.
• Å kalle alle kvadratrøtter irrasjonale: √9, √36 og √100 er hele tall. Sjekk om det er et kvadrattall først.
• Å glemme null og negative tall: 0 = 0/1 og −7 = −7/1 er rasjonale. Den eneste forbudte verdien er nevneren 0.

Spesialtilfelle: summer og produkter av irrasjonale tall

Et rasjonalt tall pluss et irrasjonalt tall er alltid irrasjonalt, så 3 + √2 og π − 1 er irrasjonale. Et rasjonalt tall som ikke er null, ganget med et irrasjonalt tall, er også irrasjonalt, så 2π er irrasjonalt.

To irrasjonale tall kan bli et rasjonalt tall sammen. √2 · √2 = 2, og √2 + (−√2) = 0, og begge er rasjonale. Grunnen til at √2 selv er irrasjonalt, er et klassisk bevis: hvis √2 = p/q i forkortet form, er p² = 2q², så p er et partall; skriver du p = 2k, får du q² = 2k², så q er også et partall, og det motsier at brøken var forkortet. MathWorld legger til at irrasjonale tall har desimalutviklinger som verken slutter eller blir periodiske.

Sjekkliste for rasjonale tall, og neste steg

• Brøkform: kan du skrive tallet som p/q med hele tall og q ≠ 0? Da er det rasjonalt.
• Desimalform: slutter desimaltallet eller gjentar det seg? Da er det rasjonalt.
• Kvadratrøtter: er tallet under rottegnet et kvadrattall? Bare da er roten rasjonal.
• Tilnærminger: behandle 22/7 og 3,14 som erstatninger for π, aldri som π.
• Periodiske desimaltall: sett en blokk med n sifre som gjentar seg, over n nitall, og forkort.
• Kontroll: gjør brøken om igjen med lang divisjon for å sjekke at den stemmer.

Det gratis spillet om kvadrattall i nettleseren øver kvadrattallene bak kvadratrot-testen, uten innlogging.

MathIt er en gratis app for iOS og Android med rundt 90 spilltyper, tilpasset vanskelighetsgrad og korte daglige økter som holder kvadrattallene, brøkene og divisjonen bak disse testene raske.