La multiplication posée expliquée : l'ordre qui la fait tenir

La multiplication posée est le moment où le CM1 cesse de pardonner une table de multiplication fragile. Un enfant capable de réciter les six les bons jours perdra 36 × 24 quelque part dans la deuxième ligne, et le nombre qui revient ne ressemble en rien à 864. La réparation passe rarement par une feuille d'exercices de plus du même genre.

Ce que la multiplication posée demande à un enfant

La multiplication posée demande à un enfant de faire tourner trois compétences à la fois et dans un ordre fixe, et c'est pourquoi elle révèle des trous que le calcul à un chiffre cache. Un seul calcul comme 36 × 24 exige quatre résultats de tables, deux retenues, un décalage de rang volontaire et une addition finale à trois chiffres. Une faiblesse dans l'un des trois ressemble, sur la page, à un problème de multiplication posée.

Les trois compétences qu'elle empile

Trois compétences portent toute multiplication posée, et chacune tombe en panne d'une manière reconnaissable.

• Les tables de multiplication. L'enfant répond 6 × 4 et 3 × 4 sans marquer de temps. Un rappel lent ne produit pas un chiffre faux à lui seul ; il produit une retenue oubliée trois secondes plus tard.
• La valeur positionnelle. L'enfant sait que le 2 de 24 vaut 2 dizaines, donc que la deuxième ligne du calcul vaut 720 et non 72.
• La retenue. L'enfant multiplie d'abord et ajoute la retenue ensuite. Inverser cet ordre transforme 36 × 4 en 204, et rien de ce qui suit ne rattrape cela.

Le standard américain Common Core 4.NBT.B.5 place ce travail en grade 4, l'équivalent du CM1 : les élèves « multiplient deux nombres à deux chiffres en s'appuyant sur des stratégies fondées sur la valeur positionnelle et les propriétés des opérations ». Le grade 5, l'équivalent du CM2, relève la barre à « multiplier couramment des entiers à plusieurs chiffres avec la technique posée » (5.NBT.B.5). Un enfant de CM1 qui dessine encore un schéma est dans les temps.

Pourquoi la multiplication posée échoue avant même de commencer

La plupart des réponses fausses naissent en dessous de la technique, dans les tables. Un enfant qui met trois secondes à atteindre 7 × 8 passe tout le calcul à chercher, et c'est la retenue qui saute. Enseigner une nouvelle procédure par-dessus coûte une semaine et ne répare rien.

Le test des tables

Le test des tables prend deux minutes et décide s'il faut enseigner la technique ce mois-ci ou le mois prochain. Énoncez douze résultats mélangés dans les tables de 6, 7, 8 et 9, et chronométrez le silence avant chaque réponse. Deux secondes est le seuil de travail.

Deux réponses lentes ou plus veulent dire que le travail de fluence passe d'abord. Le guide du What Works Clearinghouse Assisting Students Struggling with Mathematics: Intervention in the Elementary Grades recommande aux enseignants de « prévoir régulièrement des activités chronométrées comme un des moyens de construire l'aisance en mathématiques ». Son prédécesseur, le guide sur la réponse à l'intervention, place environ dix minutes par séance sur le rappel immédiat des faits de base.

Dix minutes, c'est assez petit pour survivre à une semaine d'école. Le jeu des tables de multiplication et le jeu des doubles couvrent les tables de 6, de 8 et de 9 qui portent l'essentiel de la charge, et le jeu des tables ramasse le reste. Si les tables sont le vrai blocage, le guide sur comment apprendre vite les tables de multiplication est le meilleur point de départ.

Comment enseigner la multiplication posée, étape par étape

L'ordre qui marche va d'une image que l'enfant sait expliquer à une procédure à laquelle il peut se fier, et un seul calcul porte tout le trajet. Chaque étape ci-dessous utilise 36 × 24.

1. Estimez avant d'écrire quoi que ce soit. Arrondissez 36 à 40 et 24 à 25. Comme 40 × 25 = 1 000, la réponse tombera près de mille, et une estimation écrite est ce qui rend une réponse fausse visible dix minutes plus tard.
2. Dessinez 36 × 24 comme un rectangle. Découpez les côtés par rangs : 30 et 6 sur un côté, 20 et 4 sur l'autre. Les quatre parts sont 30 × 20 = 600, 30 × 4 = 120, 6 × 20 = 120 et 6 × 4 = 24.
3. Additionnez les quatre parts. 600 + 120 + 120 + 24 = 864. Confrontez ce résultat à l'estimation de 1 000 et la réponse passe son premier test.
4. Réécrivez les quatre parts en colonne. Empilez 600, 120, 120 et 24 les uns sous les autres et additionnez. Rien de neuf n'est arrivé : les quatre mêmes produits vivent maintenant dans une liste verticale au lieu d'un dessin.
5. Multipliez par le chiffre des unités. 36 × 4 = 144, dit à voix haute pendant que l'enfant écrit : 6 × 4 = 24, j'écris le 4 et je retiens 2 ; 3 × 4 = 12, plus la retenue de 2 font 14.
6. Écrivez le zéro de position, puis multipliez par le chiffre des dizaines. Posez un 0 dans la colonne des unités de la deuxième ligne, parce que cette ligne multiplie par 20 et non par 2. Ensuite 36 × 2 = 72 remplit le reste de la ligne, ce qui donne 720.
7. Additionnez les deux produits partiels et revenez à l'estimation. 144 + 720 = 864, ce qui se loge confortablement sous les 1 000 prévus à l'étape 1.

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Là où les familles sautent une étape

Les familles sautent les étapes 2 à 4 parce que la méthode compacte se montre plus vite, et l'enfant se retrouve alors sans moyen de distinguer 864 de 216. Le dessin en quatre parts coûte deux séances et se rembourse la première fois qu'un produit partiel disparaît. Enseignez le dessin jusqu'à ce que l'enfant sache le produire de mémoire, puis retirez-le.

Quatre façons de multiplier deux nombres à deux chiffres

Quatre méthodes écrites circulent en classe, et toutes les quatre donnent 864 pour 36 × 24. La différence tient à la quantité de valeur positionnelle que chacune laisse visible sur la page.

Laquelle enseigner à la maison

La méthode de la classe gagne à la maison, quelle qu'elle soit parmi les quatre. Une deuxième méthode enseignée en parallèle coupe l'attention de l'enfant au moment exact où la première est fragile : demandez donc à l'enseignant quelle disposition la classe utilise et recopiez-la. Ne montrez une variante qu'une fois la méthode de la classe réussie trois fois de suite.

Le dessin vaut d'être protégé pour lui-même. Le guide Improving Mathematical Problem Solving in Grades 4 Through 8 classe « apprendre aux élèves à utiliser des représentations visuelles » parmi les recommandations à preuves solides. Le programme de mathématiques du cycle 3 va dans le même sens : au CM1, il demande d'« estimer le résultat d'une opération », d'« utiliser la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition dans des cas simples » et de « poser et effectuer des multiplications de deux nombres entiers ». La distributivité, c'est exactement le rectangle en quatre parts.

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Passer du schéma rectangulaire à la technique posée

La technique posée est le schéma rectangulaire dont on a retiré le dessin et dont deux paires de produits sont déjà additionnées. Cette phrase est toute la transition, et un enfant qui l'entend cesse de traiter les deux méthodes comme des rivales.

Regardez où vont les quatre parts. Les deux produits qui font intervenir le 20 sont 30 × 20 = 600 et 6 × 20 = 120, et 600 + 120 = 720, qui est la deuxième ligne. Les deux produits qui font intervenir le 4 sont 30 × 4 = 120 et 6 × 4 = 24, et 120 + 24 = 144, qui est la première ligne.

Dès qu'un enfant sait montrer ces paires du doigt, la disposition compacte devient une abréviation plutôt qu'une règle nouvelle. L'article de NRICH Developing Number Fluency: What, Why and How soutient que « l'aisance exige des élèves davantage que la mémorisation d'une procédure unique », et l'appariement ci-dessus est ce qui transforme la procédure en quelque chose qu'un enfant peut reconstruire après l'avoir oubliée.

Le zéro de position sur la deuxième ligne

Le zéro de position tient la colonne des unités pour que la deuxième ligne s'aligne avec les dizaines qu'elle représente. Sans lui, 36 × 20 s'écrit 72 et le total s'effondre à 216. Certains enseignants écrivent un petit « × 20 » à côté de la ligne pendant quelques semaines, pour que le zéro ait une raison visible.

Comment vérifier que votre enfant a compris

Quatre signaux observables vous disent si la multiplication posée est acquise, et aucun n'est une note sur une feuille d'exercices.

• Il écrit une estimation sans qu'on le demande. L'enfant arrondit 36 × 24 en 40 × 25 = 1 000 avant de commencer, de lui-même.
• Il explique le zéro. Interrogé sur la raison du 0 en début de deuxième ligne, l'enfant dit que cette ligne multiplie par 20, pas par 2.
• Il trouve seul l'étape cassée. Face à une réponse fausse de 216, l'enfant localise le zéro manquant au lieu de recommencer le calcul.
• Il transfère à une forme nouvelle. L'enfant traite 36 × 240 et une question à facteur manquant comme 36 × ? = 864 avec le même raisonnement. Le jeu du facteur manquant en fait deux minutes d'entraînement.

Une auto-vérification de deux minutes

L'auto-vérification tient sur un calcul et trois questions. Donnez 36 × 24 à l'enfant sur une feuille blanche, puis demandez : quelle est ton estimation, où est le zéro, et comment sais-tu que la réponse est juste ? Un enfant qui répond aux trois possède la méthode.

Erreurs fréquentes et cas particuliers

Quatre erreurs expliquent la plupart des multiplications posées fausses, et une estimation écrite en attrape trois sur-le-champ.

• Le zéro de position manquant. L'enfant écrit 144 puis 72, additionne pour trouver 216, et passe à la suite. L'estimation de 1 000 rend l'erreur évidente, puisque 216 en est très loin. La deuxième ligne correcte est 720.
• La retenue posée dans la mauvaise colonne. Une retenue écrite au-dessus de la mauvaise colonne rejoint la mauvaise multiplication. Du papier quadrillé, un chiffre par case, supprime le problème plus vite que n'importe quelle explication.
• Oublier d'ajouter la retenue après le dernier chiffre. Dans 36 × 4, l'enfant écrit 4, retient 2, calcule 3 × 4 = 12 et note 124 au lieu de 144. Dire « douze plus les deux que j'ai retenus » à voix haute corrige cela en une semaine.
• Un zéro à l'intérieur du nombre multiplié. Dans 306 × 24, la première ligne fait 306 × 4 = 1 224, où 0 × 4 = 0 doit quand même récupérer la retenue de 2. La deuxième ligne fait 306 × 20 = 6 120, et le total fait 7 344. Un enfant qui supprime le 0 calcule 36 × 24 et atterrit sur 864 au lieu de 7 344.

Votre pense-bête de la multiplication posée

Un pense-bête court garde la séquence honnête pendant les semaines que la méthode met à se poser.

• Les tables avant la technique. Douze résultats mélangés sous deux secondes chacun, ou bien le travail de fluence passe d'abord.
• Un seul calcul, dessiné et écrit. Le même 36 × 24 apparaît en rectangle, en quatre produits partiels et en disposition compacte.
• L'estimation s'écrit en premier. Chaque calcul commence par une prévision arrondie posée sur la page, jamais gardée dans la tête.
• Le zéro s'explique, il ne se recopie pas. L'enfant dit pourquoi la deuxième ligne commence par 0 avant de l'écrire.
• Les erreurs se localisent, elles ne se corrigent pas à sa place. Montrez la ligne du doigt, ne nommez rien, et laissez l'enfant trouver l'étape.
• La division vient ensuite. Une fois 36 × 24 = 864 solide, le guide sur comment enseigner la division posée reprend les mêmes nombres à l'envers, et la fiche de multiplication pour le CM1 fournit la série d'exercices avec son corrigé.

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