Mnożenie pisemne wyjaśnione: kolejność, która działa

Mnożenie pisemne jest tym miejscem, w którym klasa 4 przestaje wybaczać chwiejną tabliczkę mnożenia. Dziecko, które w dobry dzień wyrecytuje szóstki, zgubi 36 × 24 gdzieś w drugim wierszu, a liczba, która wróci, nie przypomina 864. Naprawą rzadko jest kolejna karta pracy tego samego rodzaju.

Czego mnożenie pisemne wymaga od dziecka

Mnożenie pisemne wymaga uruchomienia trzech umiejętności naraz i w ustalonej kolejności — dlatego odsłania luki, które przy działaniach na jednej cyfrze są niewidoczne. Jedno działanie takie jak 36 × 24 potrzebuje czterech przypomnień z tabliczki, dwóch przeniesień, jednego świadomego przesunięcia o rząd i końcowego dodawania liczb trzycyfrowych. Słabość w którejkolwiek z nich wygląda na kartce jak problem z mnożeniem pisemnym.

Trzy umiejętności, które się tu piętrzą

Trzy umiejętności niosą każde działanie pisemne i każda zawodzi w rozpoznawalny sposób.

• Tabliczka mnożenia. Dziecko odpowiada na 6 × 4 i 3 × 4 bez zawahania. Wolne przypominanie samo w sobie nie daje złej cyfry; daje zapomniane przeniesienie trzy sekundy później.
• Wartość pozycyjna. Dziecko wie, że dwójka w 24 znaczy 2 dziesiątki, więc drugi wiersz działania jest wart 720, a nie 72.
• Przenoszenie. Dziecko najpierw mnoży, a dopiero potem dodaje przeniesienie. Odwrócenie tej kolejności zamienia 36 × 4 w 204 i nic dalej tego nie odratuje.

Polska podstawa programowa z matematyki stawia tę pracę w klasie 4: uczeń „mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową sposobem pisemnym”. Amerykański standard 4.NBT.B.5 mówi to samo o dwóch liczbach dwucyfrowych „z wykorzystaniem strategii opartych na wartości pozycyjnej i własnościach działań”, a klasa 5 podnosi poprzeczkę do biegłego mnożenia w słupku (5.NBT.B.5). Czwartoklasista, który wciąż rysuje model, jest w harmonogramie.

Dlaczego mnożenie pisemne przegrywa, zanim się zacznie

Większość złych wyników bierze się poniżej algorytmu, w samej tabliczce. Dziecko, które potrzebuje trzech sekund na 7 × 8, spędza całe działanie na przypominaniu, a wypada z niego przeniesienie. Uczenie nowej procedury na takim gruncie kosztuje tydzień i nic nie naprawia.

Sprawdzenie tabliczki mnożenia

Sprawdzenie tabliczki trwa dwie minuty i decyduje, czy algorytmu uczyć w tym miesiącu, czy w następnym. Przeczytaj dwanaście wymieszanych działań z szóstek, siódemek, ósemek i dziewiątek i mierz przerwę przed każdą odpowiedzią. Dwie sekundy to próg roboczy.

Dwie albo więcej wolnych odpowiedzi znaczy, że najpierw idzie praca nad biegłością. Poradnik What Works Clearinghouse Assisting Students Struggling with Mathematics: Intervention in the Elementary Grades zaleca nauczycielom, żeby regularnie włączali ćwiczenia na czas jako jeden ze sposobów budowania biegłości. Jego wcześniejszy odpowiednik, poradnik o reagowaniu na trudności, przeznacza około dziesięciu minut sesji na szybkie przypominanie podstawowych działań.

Dziesięć minut to na tyle mało, że przeżyje tydzień szkolny. Gra z tabliczką mnożenia i gra z podwojeniami obejmują szóstki, ósemki i dziewiątki, które dźwigają największy ciężar, a gra w tabliczkę mnożenia zbiera resztę. Jeśli prawdziwą blokadą są działania z tabliczki, lepszym punktem startu jest poradnik jak szybko nauczyć się tabliczki mnożenia.

Jak uczyć mnożenia pisemnego krok po kroku

Kolejność, która działa, prowadzi od obrazka, który dziecko potrafi wytłumaczyć, do procedury, której potrafi zaufać — a jedno działanie niesie całą tę drogę. Każdy krok poniżej korzysta z 36 × 24.

1. Oszacuj, zanim cokolwiek zostanie zapisane. Zaokrąglij 36 do 40, a 24 do 25. Ponieważ 40 × 25 = 1000, wynik wyląduje blisko tysiąca, a zapisany szacunek jest tym, co dziesięć minut później uwidoczni zły wynik.
2. Narysuj 36 × 24 jako prostokąt. Rozłóż boki według wartości pozycyjnej: 30 i 6 wzdłuż jednego boku, 20 i 4 wzdłuż drugiego. Cztery części to 30 × 20 = 600, 30 × 4 = 120, 6 × 20 = 120 i 6 × 4 = 24.
3. Dodaj cztery części. 600 + 120 + 120 + 24 = 864. Zestaw to z szacunkiem 1000, a wynik przechodzi swój pierwszy test.
4. Przepisz cztery części jako słupek. Ustaw 600, 120, 120 i 24 jedno pod drugim i dodaj. Nic nowego się nie stało; te same cztery iloczyny mieszkają teraz w pionowej liście zamiast na rysunku.
5. Pomnóż przez cyfrę jedności. 36 × 4 = 144, wypowiadane na głos w trakcie pisania: 6 × 4 = 24, piszemy 4 i przenosimy 2; 3 × 4 = 12, plus przeniesione 2 daje 14.
6. Napisz zero na miejscu jedności, potem pomnóż przez cyfrę dziesiątek. Wstaw 0 w kolumnie jedności drugiego wiersza, bo ten wiersz mnoży przez 20, a nie przez 2. Potem 36 × 2 = 72 wypełnia resztę wiersza, dając 720.
7. Dodaj oba iloczyny częściowe i wróć do szacunku. 144 + 720 = 864, co wygodnie mieści się pod tysiącem przewidzianym w kroku 1.

Zagraj za darmo w przeglądarceTabliczka mnożeniaKlasa 3+

Gdzie rodziny przeskakują etap

Rodziny przeskakują kroki od 2 do 4, bo zwięzłą metodę szybciej się pokazuje, a dziecko zostaje wtedy bez sposobu, żeby odróżnić 864 od 216. Rysunek z czterema częściami kosztuje dwie lekcje i zwraca się przy pierwszym zgubionym iloczynie częściowym. Ucz rysunku, aż dziecko odtworzy go z pamięci, a potem go wycofaj.

Cztery sposoby mnożenia dwóch liczb dwucyfrowych

W szkolnych zeszytach pojawiają się cztery metody pisemne i wszystkie cztery dają 864 dla 36 × 24. Różnią się tym, ile wartości pozycyjnej zostawiają widoczne na kartce.

Której uczyć w domu

W domu wygrywa metoda z klasy, którakolwiek z czterech to jest. Druga metoda uczona równolegle dzieli uwagę dziecka dokładnie wtedy, gdy pierwsza jest krucha, więc zapytaj nauczyciela, jakiego układu używa klasa, i skopiuj go. Alternatywę pokaż dopiero wtedy, gdy metoda z klasy wyjdzie poprawnie trzy razy z rzędu.

Rysunek warto chronić dla niego samego. Poradnik Improving Mathematical Problem Solving in Grades 4 Through 8 ocenia zalecenie „ucz uczniów korzystania z reprezentacji graficznych” jako poparte mocnymi dowodami.

Darmowa karta pracy do drukuMnożenie — uczniów 4. klasyKarta pracy · PDF

Od modelu prostokąta do zapisu w słupku

Zapis w słupku to model prostokąta z usuniętym rysunkiem i dwiema parami iloczynów już dodanymi do siebie. To zdanie jest całym przejściem, a dziecko, które je usłyszy, przestaje traktować obie metody jak rywalki.

Zobacz, gdzie trafiają cztery części. Dwa iloczyny z dwudziestką to 30 × 20 = 600 i 6 × 20 = 120, a 600 + 120 = 720, czyli drugi wiersz. Dwa iloczyny z czwórką to 30 × 4 = 120 i 6 × 4 = 24, a 120 + 24 = 144, czyli pierwszy wiersz.

Kiedy dziecko potrafi wskazać te pary, zwięzły układ staje się skrótem, a nie nową regułą. Artykuł NRICH Developing Number Fluency: What, Why and How przekonuje, że biegłość wymaga od uczniów więcej niż zapamiętania jednej procedury, a powyższe parowanie jest właśnie tym, co zamienia procedurę w coś, co dziecko potrafi odbudować po zapomnieniu.

Zero na miejscu jedności w drugim wierszu

Zero trzyma kolumnę jedności, żeby drugi wiersz stanął równo z dziesiątkami, które przedstawia. Bez niego 36 × 20 zapisuje się jako 72, a suma zapada się do 216. Część nauczycieli przez kilka tygodni dopisuje obok wiersza małe „× 20”, żeby zero miało widoczny powód.

Jak sprawdzić, czy dziecko to rozumie

Cztery obserwowalne sygnały mówią, czy mnożenie pisemne weszło do głowy, i żaden nie jest oceną z karty pracy.

• Pisze szacunek bez proszenia. Dziecko zaokrągla 36 × 24 do 40 × 25 = 1000 przed startem, nikt go o to nie prosi.
• Wyjaśnia zero. Zapytane, dlaczego drugi wiersz zaczyna się od 0, mówi, że ten wiersz mnoży przez 20, a nie przez 2.
• Samo znajduje zepsuty krok. Dostając błędny wynik 216, wskazuje brakujące zero, zamiast liczyć wszystko od nowa.
• Przenosi metodę na nowy kształt. Radzi sobie z 36 × 240 i z pytaniem o brakujący czynnik w rodzaju 36 × ? = 864, używając tego samego rozumowania. Gra z brakującym czynnikiem zamienia to w dwie minuty ćwiczenia.

Dwuminutowe sprawdzenie

Sprawdzenie działa na jednym zadaniu i trzech pytaniach. Daj dziecku 36 × 24 na czystej kartce, a potem zapytaj: ile wynosi twój szacunek, gdzie jest zero i skąd wiesz, że wynik jest dobry? Dziecko, które odpowie na wszystkie trzy, ma tę metodę na własność.

Najczęstsze błędy i przypadki brzegowe

Cztery błędy odpowiadają za większość złych wyników w mnożeniu pisemnym, a zapisany szacunek wyłapuje trzy z nich od razu.

• Brak zera na miejscu jedności. Dziecko pisze 144, potem 72, dodaje je do 216 i idzie dalej. Szacunek 1000 czyni ten błąd oczywistym, bo 216 leży zupełnie gdzie indziej. Poprawny drugi wiersz to 720.
• Przeniesienie do złej kolumny. Przeniesiona cyfra zapisana nad złą kolumną dołącza do złego mnożenia. Kartka w kratkę, jedna cyfra na kratkę, usuwa problem szybciej niż jakiekolwiek tłumaczenie.
• Zapomniane dodanie przeniesienia po ostatniej cyfrze. W 36 × 4 dziecko pisze 4, przenosi 2, liczy 3 × 4 = 12 i zapisuje 124 zamiast 144. Powiedzenie na głos „dwanaście plus te dwa, które przeniosłem” naprawia to w tydzień.
• Zero wewnątrz mnożonej liczby. W 306 × 24 pierwszy wiersz to 306 × 4 = 1224, gdzie 0 × 4 = 0 i tak musi zebrać przeniesioną 2. Drugi wiersz to 306 × 20 = 6120, a suma to 7344. Dziecko, które całkiem gubi 0, liczy 36 × 24 i ląduje na 864 zamiast na 7344.

Twoja lista kontrolna mnożenia pisemnego

Krótka lista kontrolna pilnuje kolejności przez tygodnie, których ta metoda potrzebuje, żeby się ułożyć.

• Tabliczka przed algorytmem. Dwanaście wymieszanych działań poniżej dwóch sekund każde, albo najpierw idzie praca nad biegłością.
• Jedno działanie, narysowane i zapisane. To samo 36 × 24 pojawia się jako prostokąt, jako cztery iloczyny częściowe i jako zwięzły układ.
• Szacunek zapisany pierwszy. Każde działanie zaczyna się od zaokrąglonej przewidywanej wartości na kartce, nigdy w głowie dziecka.
• Zero jest wyjaśniane, nie tylko przepisywane. Dziecko mówi, dlaczego drugi wiersz zaczyna się od 0, zanim je napisze.
• Błędy są wskazywane, a nie poprawiane za dziecko. Pokaż wiersz, nie nazywaj niczego i pozwól dziecku znaleźć krok.
• Dalej idzie dzielenie. Gdy 36 × 24 = 864 trzyma się mocno, poradnik jak nauczyć dzielenia pisemnego używa tych samych liczb w drugą stronę, a karta pracy z mnożenia dla 4 klasy dostarcza zestawu ćwiczeń z kluczem odpowiedzi.

Darmowa aplikacja MathIt na iOS i Android ma trudność dopasowaną do dziecka, więc ćwiczenie mnożenia robi się trudniejsze dopiero wtedy, gdy łatwiejsze działania wychodzą poprawnie, a 22 z jej około 90 rodzajów gier działają za darmo w przeglądarce, bez zakładania konta.