Algoritmo da multiplicação explicado: a ordem que faz a conta entrar

A multiplicação com dois algarismos é onde o 4º ano para de perdoar uma tabuada frouxa. A criança que recita a tabuada do 6 num dia bom perde 36 × 24 em algum ponto da segunda linha, e o número que volta não se parece nada com 864. O conserto quase nunca é mais uma folha de exercícios igual.

O que a multiplicação com dois algarismos exige da criança

A multiplicação com dois algarismos exige que a criança rode três habilidades ao mesmo tempo e em ordem fixa, e por isso ela expõe falhas que o trabalho com um algarismo esconde. Uma conta como 36 × 24 precisa de quatro fatos de tabuada, dois vai um, um deslocamento proposital de valor posicional e uma soma final de três algarismos. Uma fraqueza em qualquer uma delas parece, no papel, um problema de multiplicação.

As três habilidades que ela empilha

Três habilidades carregam toda conta de multiplicação com dois algarismos, e cada uma falha de um jeito reconhecível.

• Tabuada. A criança responde 6 × 4 e 3 × 4 sem pausa. A memória lenta não produz um algarismo errado por si só; ela produz um vai um esquecido três segundos depois.
• Valor posicional. A criança sabe que o 2 de 24 significa 2 dezenas, então a segunda linha da conta vale 720 e não 72.
• O vai um. A criança multiplica primeiro e soma o vai um depois. Inverter essa ordem transforma 36 × 4 em 204, e nada mais para a frente se recupera.

No Brasil, a Base Nacional Comum Curricular coloca esse trabalho no 4º ano: a habilidade EF04MA06 pede resolver problemas "envolvendo diferentes significados da multiplicação (adição de parcelas iguais, organização retangular e proporcionalidade), utilizando estratégias diversas, como cálculo por estimativa, cálculo mental e algoritmos". Nos Estados Unidos, o padrão 4.NBT.B.5 do Common Core pede o mesmo: o aluno deve "multiplicar dois números de dois algarismos usando estratégias baseadas no valor posicional e nas propriedades das operações", e o grade 5 sobe a régua para "multiplicar com fluência números de vários algarismos usando o algoritmo padrão" (5.NBT.B.5). A criança de 4º ano que ainda desenha o modelo está no prazo.

Por que a multiplicação com dois algarismos falha antes de começar

A maioria das respostas erradas começa abaixo do algoritmo, na tabuada. A criança que precisa de três segundos para chegar em 7 × 8 gasta a conta inteira lembrando, e o que cai é o vai um. Ensinar um procedimento novo em cima disso custa uma semana e não conserta nada.

A conferida da tabuada

A conferida da tabuada leva dois minutos e decide se o algoritmo se ensina neste mês ou no mês que vem. Leia em voz alta doze fatos misturados das tabuadas do 6, do 7, do 8 e do 9, e cronometre a pausa antes de cada resposta. Dois segundos é o limite de trabalho.

Duas respostas lentas ou mais querem dizer que o treino de tabuada vem primeiro. O guia de práticas do What Works Clearinghouse Assisting Students Struggling with Mathematics: Intervention in the Elementary Grades recomenda que os professores "incluam regularmente atividades cronometradas como uma forma de desenvolver a fluência em matemática". O guia anterior que o acompanha, o guia de resposta à intervenção, reserva mais ou menos dez minutos por sessão para a lembrança fluente dos fatos básicos.

Dez minutos é pouco o bastante para sobreviver a uma semana de aula. O jogo de tabuada e o jogo dos dobros cobrem as tabuadas do 6, do 8 e do 9, que carregam a maior parte do peso, e o jogo de tabuada completo recolhe o resto. Se a tabuada for mesmo o bloqueio, o guia de como aprender a tabuada rápido é o ponto de partida melhor.

Como ensinar a multiplicação com dois algarismos, passo a passo

A ordem que funciona vai de um desenho que a criança consegue explicar até um procedimento em que ela consegue confiar, e uma conta só carrega a viagem inteira. Todos os passos abaixo usam 36 × 24.

1. Estime antes de escrever qualquer outra coisa. Arredonde 36 para 40 e 24 para 25. Como 40 × 25 = 1.000, a resposta vai cair perto de mil, e uma estimativa escrita é o que torna uma resposta errada visível dez minutos depois.
2. Desenhe 36 × 24 como um retângulo. Reparta os lados por valor posicional: 30 e 6 de um lado, 20 e 4 do outro. As quatro partes são 30 × 20 = 600, 30 × 4 = 120, 6 × 20 = 120 e 6 × 4 = 24.
3. Some as quatro partes. 600 + 120 + 120 + 24 = 864. Compare com a estimativa de 1.000 e a resposta passa no primeiro teste.
4. Reescreva as quatro partes em coluna. Empilhe 600, 120, 120 e 24 um embaixo do outro e some. Nada de novo aconteceu; os mesmos quatro produtos agora moram numa lista vertical em vez de um desenho.
5. Multiplique pelo algarismo das unidades. 36 × 4 = 144, dito em voz alta enquanto a criança escreve: 6 × 4 = 24, escreve o 4 e vai 2; 3 × 4 = 12, mais o 2 que veio dá 14.
6. Escreva o zero que segura a ordem e multiplique pelo algarismo das dezenas. Ponha um 0 na coluna das unidades da segunda linha, porque aquela linha multiplica por 20 e não por 2. Então 36 × 2 = 72 preenche o resto da linha, dando 720.
7. Some os dois produtos parciais e volte à estimativa. 144 + 720 = 864, que fica confortavelmente abaixo dos 1.000 que a criança previu no passo 1.

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Onde as famílias pulam uma etapa

As famílias pulam os passos 2 a 4 porque o método compacto é mais rápido de demonstrar, e a criança fica então sem nenhum jeito de distinguir 864 de 216. O desenho de quatro partes custa duas aulas e se paga na primeira vez que um produto parcial some. Ensine o desenho até a criança conseguir produzi-lo de memória e depois aposente-o.

Quatro jeitos de multiplicar dois números de dois algarismos

Quatro métodos escritos aparecem nas salas de aula, e os quatro dão 864 para 36 × 24. A diferença é quanto valor posicional cada um deixa visível no papel.

Qual ensinar em casa

O método da turma ganha em casa, seja qual for dos quatro. Um segundo método ensinado em paralelo divide a atenção da criança exatamente no momento em que o primeiro está frágil, então pergunte à professora que disposição a turma usa e copie. Mostre uma alternativa só depois que o método da escola sair certo três vezes seguidas.

O desenho vale a pena proteger por si só. O guia de práticas Improving Mathematical Problem Solving in Grades 4 Through 8 classifica "ensinar os alunos a usar representações visuais" como recomendação com evidência forte por trás.

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Da organização retangular para o algoritmo da multiplicação

O algoritmo da multiplicação é a organização retangular com o desenho tirado e dois pares de produtos já somados. Essa frase é a transição inteira, e a criança que a ouve para de tratar os dois métodos como rivais.

Olhe para onde vão as quatro partes. Os dois produtos que envolvem o 20 são 30 × 20 = 600 e 6 × 20 = 120, e 600 + 120 = 720, que é a segunda linha. Os dois produtos que envolvem o 4 são 30 × 4 = 120 e 6 × 4 = 24, e 120 + 24 = 144, que é a primeira linha.

Assim que a criança consegue apontar esses pares, a disposição compacta vira uma abreviação em vez de uma regra nova. O artigo do NRICH Developing Number Fluency: What, Why and How defende que "a fluência exige do aluno mais do que memorizar um único procedimento", e o pareamento acima é o que transforma o procedimento em algo que a criança consegue reconstruir depois de esquecer.

O zero que segura a ordem na segunda linha

O zero que segura a ordem ocupa a coluna das unidades para a segunda linha se alinhar com as dezenas que ela representa. Sem ele, 36 × 20 acaba escrito como 72 e o total desaba para 216. Alguns professores escrevem um pequeno "× 20" ao lado da linha por algumas semanas, para o zero ter um motivo visível.

Como saber se seu filho entendeu

Quatro sinais observáveis dizem se a multiplicação com dois algarismos entrou, e nenhum deles é nota de folha de exercício.

• Escreve a estimativa sem ninguém pedir. A criança arredonda 36 × 24 para 40 × 25 = 1.000 antes de começar, sem ser mandada.
• Explica o zero. Perguntada por que a segunda linha começa com 0, a criança diz que aquela linha multiplica por 20 e não por 2.
• Acha o passo quebrado sozinha. Diante de uma resposta errada de 216, a criança localiza o zero que falta em vez de refazer a conta inteira.
• Transfere para uma forma nova. A criança dá conta de 36 × 240 e de uma pergunta de fator desconhecido como 36 × ? = 864 com o mesmo raciocínio. O jogo do fator desconhecido transforma isso em dois minutos de treino.

Uma autoconferência de dois minutos

A autoconferência roda em uma conta e três perguntas. Dê à criança 36 × 24 no papel em branco e pergunte: qual é a sua estimativa, onde está o zero e como você sabe que a resposta está certa? A criança que responde às três é dona do método.

Erros comuns e casos de fronteira

Quatro erros respondem pela maioria das respostas erradas na multiplicação com dois algarismos, e uma estimativa escrita pega três deles na hora.

• O zero que segura a ordem faltando. A criança escreve 144, depois 72, soma e chega a 216, e segue em frente. A estimativa de 1.000 deixa o erro óbvio, já que 216 não está nem perto. A segunda linha correta é 720.
• Levar o vai um para a coluna errada. Um algarismo do vai um escrito acima da coluna errada entra na multiplicação errada. Papel quadriculado, um algarismo por quadradinho, resolve mais rápido que qualquer explicação.
• Esquecer de somar o vai um depois do último algarismo. Em 36 × 4, a criança escreve 4, leva 2, calcula 3 × 4 = 12 e registra 124 em vez de 144. Dizer "doze mais o dois que eu levei" em voz alta conserta isso em uma semana.
• Um zero dentro do número que está sendo multiplicado. Em 306 × 24, a primeira linha é 306 × 4 = 1.224, em que 0 × 4 = 0 ainda tem de recolher o 2 que veio. A segunda linha é 306 × 20 = 6.120, e o total é 7.344. A criança que derruba o 0 de vez calcula 36 × 24 e cai em 864 em vez de 7.344.

Sua lista de conferência da multiplicação

Uma lista curta mantém a sequência honesta nas semanas que o método leva para assentar.

• Tabuada antes do algoritmo. Doze fatos misturados abaixo de dois segundos cada, ou o treino de tabuada vem primeiro.
• Uma conta, desenhada e escrita. O mesmo 36 × 24 aparece como retângulo, como quatro produtos parciais e na disposição compacta.
• A estimativa se escreve primeiro. Toda conta começa com uma previsão arredondada no papel, nunca na cabeça da criança.
• O zero é explicado, nunca só copiado. A criança diz por que a segunda linha começa com 0 antes de escrevê-lo.
• Os erros são localizados, não corrigidos pelo adulto. Aponte para a linha, não nomeie nada e deixe a criança achar o passo.
• A divisão vem depois. Quando 36 × 24 = 864 estiver firme, o guia de como ensinar a conta de dividir usa os mesmos números ao contrário, e a atividade de multiplicação do 4º ano traz o conjunto de treino com gabarito.

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