Was ist ein Verhältnis, und wie findet man gleichwertige Verhältnisse?

Ein Verhältnis vergleicht zwei Größen, geschrieben 2 : 3, gelesen „2 zu 3“, und bedeutet: Auf je 2 vom Ersten kommen 3 vom Zweiten. Gleichwertige Verhältnisse entstehen, wenn man beide Teile mit derselben Zahl multipliziert oder durch dieselbe Zahl teilt: 2 : 3, 4 : 6, 6 : 9 und 8 : 12 sind gleichwertig. Zwei Verhältnisse sind gleichwertig, wenn sie sich auf dasselbe Verhältnis kürzen lassen.

Was ist ein Verhältnis in Mathe?

Ein Verhältnis in Mathe vergleicht zwei Größen und sagt, wie viel vom einen auf eine bestimmte Menge vom anderen kommt. Eine Schale mit 2 roten auf je 3 blaue Perlen hat ein Verhältnis Rot zu Blau von 2 : 3, gelesen „2 zu 3“. Die Reihenfolge der Zahlen folgt der Reihenfolge der Wörter, also ist Blau zu Rot 3 : 2.

Woran erkennt man, ob zwei Verhältnisse gleichwertig sind?

Zwei Verhältnisse sind gleichwertig, wenn sie sich auf dasselbe Verhältnis kürzen lassen oder wenn ihre Produkte über Kreuz gleich sind. 4 : 6 und 6 : 9 lassen sich beide auf 2 : 3 kürzen, und auch die Produkte stimmen: 4 · 9 = 36 und 6 · 6 = 36. Bei 3 : 4 und 5 : 6 sind die Produkte 18 und 20, also sind diese Verhältnisse nicht gleichwertig.

Wie kürzt man ein Verhältnis?

Ein Verhältnis kürzt man, indem man beide Teile durch ihren größten gemeinsamen Teiler teilt. Bei 12 : 18 ist der ggT 6, also 12 : 6 = 2 und 18 : 6 = 3, und die gekürzte Form ist 2 : 3. Ein Verhältnis ist vollständig gekürzt, wenn nur noch die 1 beide Teile teilt.

Was ist der Unterschied zwischen einem Verhältnis und einem Bruch?

Ein Verhältnis vergleicht zwei Größen, ein Bruch benennt einen Teil eines Ganzen. Ein Verhältnis Teil zu Teil von 2 Roten zu 3 Blauen schreibt man 2 : 3, der Anteil der roten Perlen ist aber 2/5, weil das Ganze 2 + 3 = 5 ist. Ein Verhältnis Teil zum Ganzen wie 2 : 5 trägt dieselbe Information wie der Bruch 2/5.

Verhältnisse kürzen und erweitern: einfach erklärt

Ein Pfannkuchenrezept verlangt 3 Becher Mehl auf 2 Becher Milch, die Hausaufgaben Ihres Kindes fragen nach gleichwertigen Verhältnissen, und auf der Reinigerflasche steht „im Verhältnis 3 : 1 verdünnen“. In allen drei Fällen geht es um Verhältnisse, und sie folgen einer einzigen Regel: Was Sie mit dem einen Teil machen, machen Sie auch mit dem anderen. Sitzt diese Regel, werden Verhältnisse kürzen, gleichwertige Verhältnisse finden und ein Rezept umrechnen zu ein und demselben Schritt.

Was ist ein Verhältnis?

Ein Verhältnis vergleicht zwei Größen und sagt, wie viel vom einen auf eine bestimmte Menge vom anderen kommt. Liegen in einer Schale je 2 rote Perlen auf 3 blaue, ist das Verhältnis von Rot zu Blau 2 : 3.

Dasselbe Verhältnis hat drei übliche Schreibweisen: 2 : 3 mit Doppelpunkt, „2 zu 3“ in Worten und 2/3 als Bruch, wobei die Bruchschreibweise in deutschen Schulbüchern seltener ist. Alle drei bedeuten „auf je 2 vom Ersten kommen 3 vom Zweiten“, und die erste Zahl gehört immer zur zuerst genannten Sache.

Der Common-Core-Standard 6.RP.A.1 verlangt in den USA von Sechstklässlern, den Begriff des Verhältnisses zu verstehen und Verhältnisse zwischen zwei Größen in Worten zu beschreiben. Sein eigenes Beispiel ist ein Vogelhaus mit einem Verhältnis von Flügeln zu Schnäbeln von 2 : 1, weil auf je 2 Flügel 1 Schnabel kam.

Teil zu Teil und Teil zum Ganzen

Ein Verhältnis Teil zu Teil vergleicht einen Teil mit einem anderen Teil, ein Verhältnis Teil zum Ganzen vergleicht einen Teil mit der Gesamtmenge. In der Perlenschale ist Rot zu Blau 2 : 3 (Teil zu Teil), Rot zu allen Perlen aber 2 : 5 (Teil zum Ganzen), weil 2 + 3 = 5 Anteile das Ganze bilden.

Dieser Unterschied entscheidet über den Bruch. Bei 2 Roten auf je 3 Blaue sind die roten Perlen 2/5 der Schale und die blauen 3/5, also 40 % und 60 %. 2 : 3 als „zwei Drittel rot“ zu lesen ist der häufigste Fehler bei Verhältnissen.

Ein Streifendiagramm macht die Anteile sichtbar. Zeichnen Sie 2 Kästchen für Rot und 3 für Blau; liegen 10 Perlen in der Schale, teilen sich die 5 Kästchen die 10 gleichmäßig, also ist jedes Kästchen 2 wert, Rot ist 2 · 2 = 4 und Blau 3 · 2 = 6.

Ein Streifendiagramm zum Verhältnis 2 zu 3: zwei rote und drei blaue Kästchen über eine Gesamtlänge von 10, jedes Kästchen 2 wert, also wird aus 2 zu 3 das Verhältnis 4 zu 6.

Verhältnisse kürzen und gleichwertige finden, Schritt für Schritt

Gleichwertige Verhältnisse beschreiben dieselbe Beziehung, und Sie finden sie, indem Sie beide Teile mit derselben Zahl multiplizieren oder durch dieselbe Zahl teilen. Kürzen ist die Richtung des Teilens, Erweitern die Richtung des Multiplizierens, genau wie bei Brüchen.

Das Verhältnis in der Reihenfolge der Wörter schreiben. „Mehl zu Milch“ ist 3 : 2, „Milch zu Mehl“ ist 2 : 3.
Prüfen, ob beide Teile dieselbe Einheit haben. Dreißig Minuten zu 2 Stunden wird zu 30 : 120, sobald beides in Minuten steht.
Den größten gemeinsamen Teiler beider Teile suchen. Bei 12 : 18 sind die Teiler von 12 die Zahlen 1, 2, 3, 4, 6 und 12, die Teiler von 18 die Zahlen 1, 2, 3, 6, 9 und 18, und der größte gemeinsame ist 6.
Zum Kürzen beide Teile durch diesen Teiler teilen. 12 : 6 = 2 und 18 : 6 = 3, also lässt sich das Verhältnis 12 zu 18 auf 2 zu 3 kürzen.
Zum Erweitern beide Teile mit derselben Zahl multiplizieren. 2 : 3 mal 2 ist 4 : 6, mal 3 ist 6 : 9 und mal 4 ist 8 : 12, und jedes davon ist gleichwertig zu 2 : 3.
Das Ergebnis prüfen. Kürzen Sie Ihre Antwort noch einmal; ein gleichwertiges Verhältnis führt immer auf dieselbe gekürzte Form zurück.

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Woran man gleichwertige Verhältnisse erkennt

Zwei Verhältnisse sind gleichwertig, wenn sie sich auf dasselbe Verhältnis kürzen lassen, und ein zweiter Test, die Probe über Kreuz, liefert dasselbe Urteil in einer Zeile. Für a : b und c : d rechnen Sie a · d und b · c; stimmen die beiden Produkte überein, sind die Verhältnisse gleichwertig.

Nehmen Sie 4 : 6 und 6 : 9. Kürzen ergibt beide Male 2 : 3, und die Produkte über Kreuz stimmen: 4 · 9 = 36 und 6 · 6 = 36. Nehmen Sie nun 3 : 4 und 5 : 6, wo 3 · 6 = 18 und 4 · 5 = 20, also sind sie nicht gleichwertig, obwohl jeder Teil um 2 gewachsen ist.

Die Probe über Kreuz ist schnell, verdeckt aber, warum sie funktioniert. Der Praxisleitfaden des What Works Clearinghouse zum Bruchunterricht empfiehlt Lehrkräften, das Verständnis für Strategien bei Verhältnis-, Raten- und Proportionsaufgaben aufzubauen, bevor das Über-Kreuz-Multiplizieren als Verfahren kommt.

Verhältnis, Bruch oder Prozent

Ein Verhältnis, ein Bruch und ein Prozentsatz können dieselbe Perlenschale beschreiben, aber jedes beantwortet eine andere Frage. Das Verhältnis vergleicht die Teile, der Bruch benennt einen Teil des Ganzen, und der Prozentsatz rechnet diesen Bruch auf 100 hoch.

Form	Perlenschale (2 rot, 3 blau)	Was verglichen wird	Gut für	Achtung bei
Verhältnis, Teil zu Teil	2 : 3 Rot zu Blau	Ein Teil mit einem anderen Teil	Rezepte, Mischungen, Maßstabszeichnungen	Es als 2/3 des Ganzen lesen
Verhältnis, Teil zum Ganzen	2 : 5 Rot zu allen	Ein Teil mit der Gesamtmenge	Wahrscheinlichkeit, Anteile einer Gruppe	Vergessen, erst die Teile zu addieren
Bruch	2/5 der Perlen sind rot	Ein Teil eines Ganzen	Messen, Teilen, Rechnen	Die Zahlen von Teil zu Teil verwenden
Prozent	40 % rot	Ein Teil pro 100	Gruppen verschiedener Größe vergleichen	Vor dem letzten Schritt runden

Ein Verhältnis in Prozent umrechnen

Ein Verhältnis Teil zu Teil wird in zwei Zügen zum Prozentsatz: die Teile addieren, um das Ganze zu bekommen, dann den gesuchten Teil durch dieses Ganze teilen. Bei 2 : 3 ist das Ganze 5 Anteile, Rot ist 2/5, und 2 : 5 = 0,4, also 40 %.

Der Standard 6.RP.A.3c verlangt, einen Prozentsatz einer Größe als Rate pro 100 zu finden, also als Verhältnis, dessen zweiter Teil auf 100 festgelegt ist. Der Leitfaden zur Prozentrechnung führt diesen Schritt weiter, und der Leitfaden Brüche erklären für Eltern behandelt die Seite des Anteils am Ganzen.

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Verhältnistabellen, Dreisatz und ein Rezept umrechnen

Eine Verhältnistabelle listet gleichwertige Verhältnisse in Zeilen oder Spalten, sodass Sie jede gebrauchte Menge ablesen können. In der US-amerikanischen 6. Klasse ist sie das Hauptwerkzeug: Der Standard 6.RP.A.3 nennt Tabellen gleichwertiger Verhältnisse, Streifendiagramme, doppelte Zahlenstrahlen und Gleichungen als Wege, Verhältnisaufgaben zu lösen. In Deutschland stehen dieselben Aufgaben als proportionale Zuordnungen und Dreisatz meist in der 6. oder 7. Klasse; am bayerischen Gymnasium sollen Kinder laut LehrplanPLUS für die 8. Jahrgangsstufe Zuordnungen zweier Größen erkennen, „die direkt proportional zueinander sind“.

Beginnen Sie die Tabelle mit dem Ausgangsverhältnis und multiplizieren Sie dann beide Teile mit 2, 3 und 4. Für 2 : 3 ergibt das 4 : 6, 6 : 9 und 8 : 12, und jede Spalte ergibt geteilt immer noch 2/3.

Eine Verhältnistabelle mit den Spalten 2 zu 3, 4 zu 6, 6 zu 9 und 8 zu 12, mit Pfeilen „mal 2“, „mal 3“ und „mal 4“ von der ersten Spalte aus, und jede Spalte als Bruch gleich zwei Drittel geschrieben.

Der Dreisatz rechnet das Verhältnis auf eine Einheit der zweiten Größe herunter. Kosten 4 Hefte 6 €, kostet ein Heft 6 € : 4 = 1,50 €, und 10 Hefte kosten 10 · 1,50 € = 15 €. Die US-Standards nutzen ein Beispiel mit Rasenflächen: 4 Rasen in 7 Stunden heißt, dass 35 Stunden, also 5 · 7, für 5 · 4 = 20 Rasen reichen.

Ein Rezept umrechnen

Ein Rezept umrechnen heißt, den Faktor von der alten zur neuen Menge zu finden und ihn auf jede Zutat anzuwenden. Ein Rezept mit 3 Bechern Mehl auf 2 Becher Milch ergibt 12 Pfannkuchen; für 18 Pfannkuchen ist der Faktor 18 : 12 = 1,5.

Aus dem Mehl werden 3 · 1,5 = 4,5 Becher und aus der Milch 2 · 1,5 = 3 Becher, also ist die neue Menge 4,5 : 3. Dieses Verhältnis lässt sich wieder auf 3 : 2 kürzen, und das bestätigt, dass der Teig gleich schmeckt.

Derselbe Zug mischt Farbe. Für ein Grün aus 2 Teilen Gelb auf 1 Teil Blau hat eine Menge von 9 Litern 2 + 1 = 3 Teile, jeder Teil ist 9 : 3 = 3 Liter, und Sie brauchen 6 Liter Gelb und 3 Liter Blau. Der Leitfaden zu Dezimalzahlen für Eltern hilft, wenn ein Faktor wie 1,5 oder 0,75 auftaucht.

So prüfen Sie, ob Verhältnisse sitzen

Fünf kurze Proben zeigen, ob ein Kind oder ein Erwachsener Verhältnisse versteht.

Verhältnissprache: Fragen Sie, was 3 : 1 bei einer Mischung Saft zu Wasser von 3 : 1 bedeutet. „Drei Becher Saft auf einen Becher Wasser“ ist die Antwort, auf die Sie hören.
Gekürzte Form: Geben Sie 15 : 25. Die Antwort ist 3 : 5, gefunden durch Teilen beider Teile durch 5.
Ein gleichwertiges Verhältnis: Fragen Sie nach einem zu 2 : 3 gleichwertigen Verhältnis mit 12 als erstem Teil. Die Antwort ist 12 : 18, weil 12 : 2 = 6 und 3 · 6 = 18.
Eine Frage nach dem Anteil: Bei 12 Jungen und 15 Mädchen in einer Klasse fragen Sie, welcher Anteil Mädchen sind. Die Antwort ist 15/27, gekürzt 5/9.
Ein Dreisatz: Fragen Sie, was 7 Stück kosten, wenn 4 Stück 6 € kosten. Die Antwort ist 10,50 €, über den Stückpreis von 1,50 €.

Ein Fünf-Minuten-Test

Ein Fünf-Minuten-Test mit drei gemischten Fragen (kürzen, Gleichwertigkeit, Rezept) zeigt mehr als ein langes Arbeitsblatt einer einzigen Sorte, sofern Sie den Rechenweg verlangen.

Der nationale Lehrplan in England erwartet dieselben Fähigkeiten in einem ähnlichen Alter. Die Mathematiklehrpläne für England verlangen in Year 6, Aufgaben zur relativen Größe zweier Größen zu lösen, und die Key Stage 3 ergänzt die Verhältnisschreibweise einschließlich des Kürzens auf die einfachste Form.

Das Einmaleins trägt jede dieser Proben, und das Arbeitsblatt zum Multiplizieren für die 6. Klasse bietet druckbare Übungen mit Lösungen.

Typische Fehler bei Verhältnissen und Sonderfälle

Vier Fehler verursachen die meisten falschen Antworten bei Verhältnisaufgaben, und jeder hat eine Korrektur in einer Zeile.

Addieren statt Multiplizieren: Wer aus 2 : 3 durch Addieren von 2 zu jedem Teil 4 : 5 macht, verändert die Mischung, denn 2/3 ist etwa 0,67 und 4/5 ist 0,8. Multiplizieren Sie beide Teile mit derselben Zahl: 2 : 3 wird zu 4 : 6.
Die Reihenfolge vertauschen: Jungen zu Mädchen 12 : 15 wird gekürzt zu 4 : 5, Mädchen zu Jungen ist 5 : 4. Lesen Sie die Frage noch einmal und schreiben Sie die zuerst genannte Größe zuerst.
Teil zu Teil als Teil zum Ganzen lesen: Eine Mischung Rot zu Blau von 2 : 3 ist zu 2/5 rot, und „2/3 rot“ überschätzt den roten Anteil. Addieren Sie die Teile, um das Ganze zu finden, bevor Sie einen Bruch schreiben.
Einheiten mischen: 30 Minuten zu 2 Stunden ist 30 : 120 = 1 : 4, und 30 : 2 lässt die Minuten größer aussehen als die Stunden. Bringen Sie beide Teile vor dem Kürzen auf dieselbe Einheit.

Sonderfall: Verdünnungsangaben und Maßstäbe

Eine Aufschrift „im Verhältnis 3 : 1 verdünnen“ benutzt die Sprache der Verhältnisse, also lesen Sie, welcher Teil zuerst kommt, bevor Sie gießen. Bedeutet die Aufschrift 3 Teile Wasser auf 1 Teil Konzentrat, hat ein Eimer mit 2 Litern 3 + 1 = 4 Teile, jeder Teil ist 2.000 : 4 = 500 ml, und Sie geben 1.500 ml Wasser zu 500 ml Konzentrat, sodass das Konzentrat 25 % der Mischung ausmacht.

Ein Maßstab ist ein Verhältnis, bei dem beide Teile dieselbe Einheit haben. Auf einer Karte im Maßstab 1 : 25.000 stehen 4 cm auf dem Papier für 4 · 25.000 = 100.000 cm in der Wirklichkeit, und das ist 1 km.

Ihre Checkliste zu Verhältnissen und die nächsten Schritte

Reihenfolge: das Verhältnis in der Reihenfolge der Wörter schreiben.
Einheiten: beide Teile zuerst auf dieselbe Einheit bringen.
Kürzen: beide Teile durch den größten gemeinsamen Teiler teilen.
Erweitern: beide Teile mit derselben Zahl multiplizieren oder durch dieselbe Zahl teilen, nie addieren.
Prüfen: beide Verhältnisse kürzen oder die Produkte über Kreuz vergleichen.
Das Ganze: die Teile addieren, bevor ein Verhältnis zum Bruch oder Prozentsatz wird.

Erwachsene, die ihr Zahlengefühl wieder aufbauen, können mit dem Leitfaden beginnen, wie Sie als Erwachsener besser in Mathe werden, oder mit dem Spiel für flüssiges Rechnen für Erwachsene. Eltern von Kindern in der 6. Klasse finden Übungen auf Klassenniveau auf der Seite mit dem Mathespiel für die 6. Klasse.

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Verhältnisse verstehen: was ein Verhältnis ist und wie man gleichwertige findet

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