质数讲解：怎么一眼认出来，学它到底有什么用

孩子把练习册带回家，题目要求圈出质数，他圈了 9 和 51，却把 2 放过去了。质数看着一目了然，直到冒出 91 这样的数，就开始靠猜了。其实质数背后只有一条规则，再配一个很短的判断法，100 以内的任何数大约一分钟就能定下来。

质数到底是什么？

质数（素数）是大于 1 的整数，它的因数只有 1 和它本身。合数至少还多出一个因数，所以它能按不止一种方式分成相等的几组。

小圆片能把这件事摆出来：7 个只排得出一行 7 个，再没有别的排法；12 个却排得出 1 × 12、2 × 6 和 3 × 4。

50 以内的质数是 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43 和 47。一共十五个，值得像九九乘法口诀那样，看一眼就认出来。

2 是唯一的偶质数。别的偶数除了 1 和它本身，还有因数 2，凑够三个因数，所以都是合数。

1 为什么不是质数

1 既不是质数也不是合数，因为它只有一个因数。定义要的是正好两个不同的因数，而 1 只拿得出一个。

数学上把 1 排除在外是有意为之。大于 1 的每个整数，都只有一种方式写成质数的乘积，这条结论叫算术基本定理。要是 1 也算质数，12 就可以写成 2 × 2 × 3，或者 1 × 2 × 2 × 3，或者 1 × 1 × 2 × 2 × 3，“只有一种”这句话就等于白说。

孩子问起来，这就是可以给的答案：把 1 排除掉，是为了让分解质因数的结果保持唯一。

学质数在课内课外有什么用

质数撑着小学“因数与倍数”这一整条线。在国内的课程安排里，因数、倍数、质数与合数放在第三学段，也就是五、六年级，依据是教育部印发、2022 年秋季学期起执行的《义务教育数学课程标准（2022年版）》。

英语国家的安排类似。美国的共同核心州立数学标准 4.OA.B.4 要求四年级学生“找出 1–100 之间某个整数的全部因数对”，并“判断 1–100 之间的某个整数是质数还是合数”。英格兰把同样的内容放在五年级：英格兰数学国家课程要求学生“判断 100 以内的数是不是质数，并记住 19 以内的质数”。

出了校门，质数是网上付款能保密的原因。公钥加密把两个很大的质数相乘，再把乘积公开，安全性就靠这个乘积有多难被拆回去。

和因数、分数的关系

分解质因数是把分数约到最简的工具，所以它排在分数运算之前。要约简 84/126，先把两个数都拆成质数：84 = 2 × 2 × 3 × 7，126 = 2 × 3 × 3 × 7。公共部分是 2 × 3 × 7 = 42，于是 84 ÷ 42 = 2，126 ÷ 42 = 3，84/126 = 2/3。

共同核心州立数学标准 6.NS.B.4 把这件事写进了六年级：学生要“求两个不超过 100 的整数的最大公因数，以及两个不超过 12 的整数的最小公倍数”。倍数练习是从反方向练同一层关系，问的是某个因数能够到哪些数。

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一步步判断一个数是不是质数

100 以内的数，只要 2、3、5、7 都除不尽，它就是质数。这四步能覆盖到 120，因为下一个质数 11 要到 11 × 11 = 121 才第一次起作用。

1. 先把 0、1、2 定下来。 0 和 1 既不是质数也不是合数，2 是质数，从 3 往上每个偶数都是合数。
2. 除以 2。 按照 nrich 的整除判断法，“一个数的末位是偶数，它就能被 2 整除”，所以末位是 0、2、4、6、8 的都出局。
3. 除以 3。 把各个数位相加：和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。51 的数位和是 6，而 51 = 3 × 17；57 的数位和是 12，而 57 = 3 × 19。
4. 除以 5。 末位是 0 或 5 就能被 5 整除，看一眼就够。
5. 除以 7，超过 120 还要除以 11。 这两个都没有一眼看出的规律，只能真做除法，看得数是不是整数。91 就栽在这一步，因为 91 ÷ 7 = 13。
6. 到平方根就停。 一旦正在试的除数自乘超过了这个数，就再也找不出新的除数，这个数是质数。

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停在哪里：平方根

平方根这条规则让判断很短：要证明一个数是质数，只需要试到它的平方根为止。如果这个数有一个比平方根大的因数，那么与它配对的另一个因数一定更小，早就被试出来了。

拿 97 来说：10 × 10 = 100 已经超过它，所以只要试到 10 以下，也就是 2、3、5、7。这几个都除不尽 97，97 就是质数。平方数练习正好帮孩子建立“每个平方数落在哪里”的感觉。

找质数的三种办法：试除法、埃拉托色尼筛法、因数对

找质数有三种办法：试除法定某一个数，筛法一次列出一整张表，因数对则让人看见一个合数凭什么是合数。

该挑哪一种

孩子需要 100 以内的全部质数时，埃拉托色尼筛法最划算，因为走一遍就得到全部 25 个。把 1 到 100 写成十行十列，划掉 1，再圈住 2 并划掉 2 的其余倍数。圈住 3，划掉 3 的倍数，5 和 7 照做。

在百数表上，划掉 2、3、5、7 的倍数就够了，因为下一个质数 11 要到 11 × 11 = 121 才第一次碰到没被划掉的数。最后站着没倒的，全是质数。

因数对适合那种背得出定义、却没有感觉的孩子。因数对练习练的就是这个办法：把 4 × 6 和 1 × 24 摆在一起看见，比被告知“24 是合数”管用得多。

分解质因数，做一遍

分解质因数就是把一个数写成若干质数的乘积，而大于 1 的每个整数都只有一种这样的乘积。84 的那个乘积是 2 × 2 × 3 × 7，不管从哪条路走都一样。

第一条路是反复除以能整除它的最小质数：84 ÷ 2 = 42，42 ÷ 2 = 21，21 ÷ 3 = 7，而 7 是质数。把这些除数读出来就是 2 × 2 × 3 × 7，常写成 2² × 3 × 7。

大一点的数也一样：360 ÷ 2 = 180，180 ÷ 2 = 90，90 ÷ 2 = 45，45 ÷ 3 = 15，15 ÷ 3 = 5，所以 360 = 2³ × 3² × 5。

因数树与短除法

因数树把一个数随便拆成两个因数，再往下拆，直到每根枝条都停在质数上。84 从 4 × 21 开始，4 = 2 × 2，21 = 3 × 7，枝头读出来是 2、2、3、7。

同样的 84 从 12 × 7 开始，12 = 3 × 4，4 = 2 × 2，枝头读出来还是 2、2、3、7。树的形状变了，质数没变——这就是把算术基本定理画在纸上。课堂上常用的短除法其实是同一件事的竖着写法，得到的那串质数一模一样。让孩子把两棵树都画出来，两串结果对上的那一刻，这个道理就落地了。

怎么确认孩子真的懂了

五个信号能看出质数有没有学进去，每个都不超过一分钟。

• 让他把定义说出来： 问什么叫质数，不许举例子。“正好两个因数，1 和它本身”才算对；“除不尽的数”不算。
• 让他说出那个例外： 问偶数能不能是质数。答案是 2，而且只有 2。
• 30 秒说完 50 以内的质数： 让他按顺序报。从 2 到 47 一共十五个，没有 1，也没有 9。
• 给一个硬骨头，还要讲理由： 给出 91，要结论也要过程。答“7 × 13，所以是合数”的孩子有方法；答“质数”的孩子是在凭印象。
• 一次能验算的分解： 让他分解 60，再把结果乘回去。2 × 2 × 3 × 5 = 60 说明来回两个方向都通了。

五分钟自查

五分钟的小检查比一张长卷子管用。What Works Clearinghouse 的实践指南《帮助数学困难的学生》建议教师“经常安排限时练习，把它当作建立数学熟练度的一种方式”。

同一份指南还要求教师“教清晰、准确的数学语言”，在这里就是四个词要用准：质数、合数、因数、倍数。把因数和倍数说反的孩子，错在词，不在推理。

除法口算练习补的是这套流程依赖的提取能力，因为每一步整除判断本质上都是一道除法题。

常见错误和边界情况

质数练习里的错答，大半出自六种，而每一种都有一句话的纠正。

• 把 1 当成质数： 1 只有一个因数，过不了“正好两个”这一关，它既不是质数也不是合数。
• 把 2 当成合数： 2 是唯一的偶质数。学过“偶数就是合数”的孩子，需要把这个例外写在纸的最上面。
• 去判断 0： 0 既不是质数也不是合数，因为大于 0 的每个整数都能整除它。
• 把 9 和 21 当成质数： 奇数不等于质数，9 = 3 × 3，21 = 3 × 7。
• 把 51 和 57 当成质数： 这两个都栽在 3 的数位和上，51 = 3 × 17，57 = 3 × 19。
• 把 91 当成质数： 91 能过 2、3、5 三关，所以试到 5 就停的判断法会说它是质数。除以 7 得 13，91 = 7 × 13。

负数和分数不在这个问题范围内，因为质数与合数是对大于 1 的整数定义的。

质数检查清单

• 说得出定义： 正好两个因数，1 和它本身。
• 认得 2： 唯一的偶质数，这个例外能把名单砍掉一半。
• 按顺序试： 2、3、5、7，超过 120 再加 11。
• 停在平方根： 除数自乘超过这个数时，它就是质数。
• 回头验算： 把质因数乘回去，和最初的那个数比一比。

最后这两条，练比讲见效快。四年级乘法练习页附答案，而怎样快速背熟乘法口诀讲的正是每一步整除判断背后的提取能力。各年级该会哪些数学则给出质数在整条课程线上的位置。

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