乘方讲解：右上角的小数字是什么意思，运算法则又从哪来

孩子的作业要算 2⁵，他写的答案是 10。乘方看起来只是个小细节，一个写得又高又小的数字，可正是这个细节让 10 变成了 32。所有幂的运算法则底下只有一个想法，把它弄明白了，这些法则就不再是要死记的一张清单。

乘方和指数是什么？

指数是写在右上角的小数字，表示底数要作为因数乘几次。在 2⁵ 里，底数是 2，指数是 5，所以 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32。求几个相同因数的积，这种运算叫乘方，结果叫幂，2⁵ 读作“2 的 5 次方”。

OpenStax 的《预备代数》教材用一句话说清楚：指数告诉我们底数 a 作为因数用了几次。连乘之于乘方，就像连加之于乘法：2 × 5 是五个 2 相加，2⁵ 是五个 2 相乘。

2 的幂是一路翻倍长大的。每走一步就多乘一个 2，所以依次是 2、4、8、16、32，走十步就到了 2¹⁰ = 1024。

平方和立方：名字从哪来

指数 2 和 3 有自己的名字，因为它们描述的是图形。边长为 4 的正方形里有 4 × 4 = 16 个单位小正方形，所以 4² 读作“4 的平方”。棱长为 3 的正方体里有 3 × 3 × 3 = 27 个单位小正方体，所以 3³ 读作“3 的立方”。

国内孩子在小学算正方形面积、正方体体积时，就已经在用平方和立方，平方厘米写成 cm²，立方厘米写成 cm³。乘方作为一种运算要到初中才正式学：教育部《义务教育数学课程标准（2022年版）》把有理数的乘方放在第四学段，也就是七至九年级，现行教材一般在七年级上册。英格兰的数学国家课程早一些，五年级就要求学生认识平方数和立方数，以及平方（²）和立方（³）的写法。平方数练习把前十二个平方数练到不用数就能脱口而出 7² = 49、12² = 144。

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乘方有什么用：10 的幂和数位

乘方最常见的一种是 10 的幂，因为它描述的就是数位。一个数的每一位，都是右边那一位的 10 倍，所以各个数位依次是 10¹ = 10、10² = 100、10³ = 1000、10⁶ = 1000000。

美国的共同核心州立数学标准 5.NBT.A.2 要求五年级学生解释一个数乘 10 的幂时积末尾 0 的个数的规律，并用整数指数表示 10 的幂。指数数的就是 0 的个数：4 × 10³ = 4000，3.7 × 10² = 370，小数点向右移了两位。国内学生在七年级学科学记数法时，用的正是同一条规律。

数位讲解讲的是这条规律背后的计数单位。乘方也贯穿分解质因数，比如在质数讲解里，360 写成 2³ × 3² × 5。

乘方在运算顺序里排第几

在运算顺序里，乘方排在括号之后、乘除之前，国内的说法是“先乘方，再乘除，最后算加减；有括号先算括号里面的”。共同核心州立数学标准 6.EE.A.1 要求六年级学生写出含整数指数的算式并求值，6.EE.A.2c 则规定了约定的运算顺序。

所以 3 + 2² × 5 = 3 + 4 × 5 = 23，因为乘方先算。括号会改变这一点：(3 + 2)² = 5² = 25。完整的顺序见四则运算顺序讲解。

一步步化简含乘方的算式

化简含乘方的算式有固定的顺序：先看底数，再用对应的法则合并指数，最后求值。拿 2³ × 2⁴ ÷ 2⁵ 做例题。

1. 先看底数是否相同。 三个幂的底数都是 2，法则可以用。底数不同时，比如 2³ × 3²，就把每个幂分别算出来：8 × 9 = 72。
2. 相乘，指数相加。 2³ × 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷，因为三个 2 乘四个 2 就是七个 2。
3. 相除，指数相减。 2⁷ ÷ 2⁵ = 2⁷⁻⁵ = 2²，因为七个 2 里有五个被约掉了。
4. 算出幂的值。 2² = 2 × 2 = 4。
5. 展开验算。 2³ × 2⁴ = 8 × 16 = 128，128 ÷ 32 = 4。两条路得数一样。

第 5 步最值得养成习惯。用法则算出来的结果要是和展开硬算的不一样，那就是法则用错了。

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法则管不到的地方

幂的运算法则只能合并底数相同、并且是相乘或相除的幂。对加法它们不起作用：2³ + 2⁴ = 8 + 16 = 24，不是 2⁷ = 128。括号里是和的时候，乘方也不能拆开，所以 (3 + 4)² = 7² = 49，而 3² + 4² = 9 + 16 = 25。

括号里是积的时候，乘方可以拆开。(2 × 5)³ = 10³ = 1000，2³ × 5³ = 8 × 125 = 1000，因为乘法可以重新组合，加法不行。

为什么任何数的 0 次方都等于 1

任何非零数的 0 次方都等于 1，一个规律就能说明原因。把 2 的幂从上往下写：2⁴ = 16，2³ = 8，2² = 4，2¹ = 2。每往下一步就除以 2，所以再往下一步是 2 ÷ 2 = 1，这就是 2⁰。

同底数幂的除法也走到同一个地方。5⁴ ÷ 5⁴ = 5⁴⁻⁴ = 5⁰，而任何非零数除以它本身都是 1。OpenStax 给出的定义是：如果 a 是非零数，那么 a⁰ = 1。

负整数指数：提前看一眼八年级

负整数指数让同一个规律越过 0 继续往下走。再除以一次 2 得到 2⁻¹ = 1⁄2，再除一次得到 2⁻² = 1⁄4，所以负整数指数表示倒数。一般地，2⁻³ = 1⁄2³ = 1⁄8，10⁻² = 1⁄100 = 0.01。

共同核心州立数学标准 8.EE.A.1 把它放在八年级，例子是 3² × 3⁻⁵ = 3⁻³ = 1⁄3³ = 1⁄27。国内的零指数幂和负整数指数幂同样在八年级学。五、六年级的孩子还用不着这条法则，可现在看过这个规律，等法则真的来了，就是一个熟面孔。

幂的运算法则对照表

幂的运算法则一共五条，每一条都是把连乘写出来的一个捷径。下表把每条法则和一道例题、以及学生最常写的错误答案放在一起。

OpenStax 的幂的乘方性质用一句话概括：幂的乘方，指数相乘。指数相加的是同底数幂的乘法，把这两条弄混，就占了表里五个错误答案中的两个。

忘了法则怎么自己推回来

忘掉的幂的运算法则，展开一个小例子，不到一分钟就能推回来。对于 (2³)²，把 2³ 写两遍：(2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2)。一共六个 2，所以指数相乘，3 × 2 = 6。

对于 2³ × 2²，写成 (2 × 2 × 2) × (2 × 2)。一共五个 2，所以指数相加，3 + 2 = 5。底数和指数都取小的，验算就很短，这个办法对表里每一条法则都管用。

怎么确认乘方真的学会了

五个信号能看出乘方对孩子（或者对您自己）是不是真的讲得通，每个都不超过一分钟。

• 把意思说出来： 问 4³ 是什么意思。“4 × 4 × 4，等于 64”才对；“4 × 3”不对。
• 一眼认出 10 的幂： 问 10⁴ 和 6 × 10² 各是多少。答案是 10000 和 600。
• 运算顺序： 给出 2 × 3²。答案是 18，因为先算 3² = 9；答 36 说明先算了乘法。
• 用一条法则，再验算： 给出 2⁴ × 2³。答案 2⁷ = 128 应该配着验算 16 × 8 = 128。
• 零指数，还要讲理由： 问为什么 9⁰ = 1。说出规律或者同底数幂的除法才是理由；“规定就是这样”只是记忆。

五分钟小测

五分钟小测每种题各出一道：一个求幂的值、一个 10 的幂、一行运算顺序、一条法则和一个零指数。两周里每周做两次，每次换新的数。

答案和理由都要批。写出 2⁵ = 32 并能摆出五个 2 的孩子是真懂了；因为看着眼熟才写 32 的孩子，一个月后可能又退回 10。六年级数学游戏页面汇总了这个年级的练习，美国的共同核心标准正是在六年级引入乘方。

乘方的常见错误和边界情况

乘方的错答大多出自五种错误，每一种都有一句话的纠正。

• 2³ = 6： 把指数当成了乘数。把因数写出来，2 × 2 × 2 = 8，写到意思记牢为止。
• −3² = 9： 没有括号时，指数只作用在 3 上，所以 −3² = −(3 × 3) = −9，而 (−3)² = (−3) × (−3) = 9。
• 2³ × 3² = 6⁵： 把底数合并了。底数不同要分别求值，答案是 8 × 9 = 72，而 6⁵ = 7776。
• (a + b)² = a² + b²： 和不能拆开。用 (3 + 4)² = 49 和 3² + 4² = 25 对比一下就知道。
• 2⁻³ = −8： 负整数指数得到的是倒数，所以 2⁻³ = 1⁄8，是正数。

有三个边界情况值得知道。1 的任何次方都是 1，所以 1¹⁰⁰ = 1；0 的任何正整数次方都是 0，所以 0⁵ = 0。课本不讨论 0⁰，这就是零指数幂的法则要写上“a ≠ 0”的原因。

乘方检查清单

• 说出意思： 指数数的是底数作为因数出现了几次。
• 数 0： 10ⁿ 就是 1 后面跟 n 个 0。
• 守住顺序： 乘方在括号之后、乘除之前。
• 先对底数： 同底数幂的乘除法则要求底数相同。
• 展开验算： 对哪条法则没把握，就展开一个小例子。

成年人重学代数时，会在科学记数法和复利里再次碰到乘方，成年人怎样把数学学好讲的是重新练熟的日常安排。成人数学游戏页面介绍了专为大人设计的练习。

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