运算顺序：一步一步算给你看

一句话说清这条规则

运算顺序把一行式子固定成一个走法：先算括号里面的，再算乘方，然后乘除一起、从左往右，最后加减一起、从左往右。这句话就是整条规则。

这条规则是一条书写约定，约好之后，所有读到 4 + 3 × 5 的人才会得出同一个数。美国的共同核心数学标准正是这样写的：它要求六年级学生（6.EE.2c）在“没有括号指定顺序的时候，按约定的顺序”完成运算。没有这条约定，一个人先加得 35，另一个人先乘得 19。有了它，答案是 19：先算 3 × 5，再加 4。

括号是那个超控开关：一行式子让人犯迷糊时，加括号永远是对的做法。

英文里的 PEMDAS、BODMAS 是另一套规则吗？

PEMDAS、BODMAS 和 BIDMAS 是同一条约定的不同助记词，你遇到的是哪一个，取决于你在哪里上学。中文里的说法更省事：先算括号里面的，先乘除后加减，同级从左往右。

有三处细节要紧：

• 小括号和括号是一回事，乘方、指数、幂也是一回事，都指 3² 或 2³ 这种写法。
• PEMDAS 把 M 放在 D 前面，BODMAS 把 D 放在 M 前面，这不改变任何事，因为两种运算同级。
• 每一个版本都藏起了规则里最要紧的那一半：同级从左往右。

助记词是课堂上的习惯，课程文件里并不会印出来。英格兰的数学国家课程通篇没有出现 BIDMAS，只要求六年级（Year 6）学生“运用运算顺序的知识完成四则运算”。中文课堂上的“先乘除后加减”也是同一类提示：《义务教育数学课程标准（2022年版）》写的是“能进行整数四则混合运算”，并把它放在第二学段，也就是三、四年级。

大多数人错在哪里？

最常见的运算顺序错误，是把缩写当成六步。其实只有四步，因为乘和除共用一步，加和减共用另一步。

1. 括号，先算最里面那一层。
2. 乘方。
3. 乘和除，从左往右。
4. 加和减，从左往右。

在同一步里要从左往右读。三行短式子就能说明问题，每一行后面都跟着那个被缩写诱导出来的错误答案：

• 10 − 4 + 3 = 6 + 3 = 9。陷阱是 10 − 7 = 3。
• 100 ÷ 5 ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10。陷阱是 100 ÷ 2.5 = 40。
• 20 − 12 ÷ 4 × 2 = 20 − 3 × 2 = 20 − 6 = 14。陷阱是 20 − 12 ÷ 8 = 18.5。

每一个错误答案都来自逐字服从缩写，而不是从左往右读。一行式子里同时出现 × 和 ÷，或者同时出现 + 和 −，动手之前先说出哪一个更靠左。

五道例题，一步一行

这五道例题按难度排列，从一次乘法一直到带乘方的嵌套括号，每一道都写成一步一行。

1. 4 + 3 × 5

乘法比加法高一级，所以它先算。

1. 3 × 5 = 15
2. 4 + 15 = 19

答案：19。

2. 8 + 2 × (7 − 3)

括号总是先算，不管里面是什么。

1. 7 − 3 = 4
2. 2 × 4 = 8
3. 8 + 8 = 16

答案：16。

3. 20 − 12 ÷ 4 × 2

20 − 12 ÷ 4 × 2 里没有括号也没有乘方，所以从第 3 步开始，从左往右读。除号更靠左。

1. 12 ÷ 4 = 3
2. 3 × 2 = 6
3. 20 − 6 = 14

答案：14。

4. 5 + 2 × 3²

乘方只管着它右下角那个 3，够不到前面的 2。

1. 3² = 9
2. 2 × 9 = 18
3. 5 + 18 = 23

答案：23。乘方一出现，平方数就随处可见；平方数游戏专练这个。

5. 2 × (3 + (10 − 4) ÷ 2)² − 7

嵌套括号要从里往外算：先解最里面那一对，再用同样的四步算完外层括号，然后是乘方、乘法、减法。

1. 10 − 4 = 6，式子变成 2 × (3 + 6 ÷ 2)² − 7
2. 括号里先除后加：6 ÷ 2 = 3
3. 3 + 3 = 6，式子变成 2 × 6² − 7
4. 6² = 36
5. 2 × 36 = 72
6. 72 − 7 = 65

答案：65。

一步一行地写出来，能挡住“从左往右”那一类失误，运算顺序游戏在指出错题时用的也是这个格式。

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为什么 6 ÷ 2(1 + 2) 能吵翻全网？

6 ÷ 2(1 + 2) 之所以能吵翻全网，是因为它写得有歧义，而里面的算术并不难。每隔一两年，这样一行式子就会传一轮，一半评论说 1，一半说 9 或 16，而且两边都能搬出一条规则。

按学校教的约定去算，得到的是：

• 6 ÷ 2(1 + 2) 变成 6 ÷ 2 × 3，然后 3 × 3 = 9
• 8 ÷ 2(2 + 2) 变成 8 ÷ 2 × 4，然后 4 × 4 = 16

这两行里，括号前面都跟着一个省略了乘号的乘法。标准读法给它和除法同样的等级，所以由“从左往右”决定先后。

另一派把 2(1 + 2) 读成一个粘在一起的整体，因为省略乘号的写法看上去比一个除号更紧。那样得到 6 ÷ 6 = 1 和 8 ÷ 8 = 1，而且这种读法有正经的支持：哈佛大学数学系的 Oliver Knill 梳理过这两种约定，结论是这样一行式子确实有歧义。德州仪器的说明写道，TI-80、TI-81、TI-82 和 TI-85 把省略乘号的乘法排在更高的优先级，而 TI-83、TI-84 Plus、TI-89 和 TI-Nspire 系列把它和除法排成同级，所以同一个房间里的两台计算器会显示两个答案。

争的是一处没有哪条缩写覆盖过的写法空白。真要认真写数学的人，会改用下面两种没有歧义的写法之一：

• (6 ÷ 2) × (1 + 2) = 9
• 6 ÷ (2 × (1 + 2)) = 1

实用的结论：如果一个读者有可能读出两个答案，就加括号。

四个常见错误

四种错误几乎占掉了所有错答案，其中三种都来自相信缩写胜过相信“从左往右”。

1. 把乘和除当成两步。 在 20 − 12 ÷ 4 × 2 里先算 4 × 2 = 8，会得到 18.5；答案是 14。
2. 把加和减当成两步。 在 10 − 4 + 3 里先算 4 + 3，会得到 3；答案是 9。
3. 让乘方吞掉旁边的数。 2 × 3² 里的乘方只属于 3，所以这一行是 2 × 9 = 18。先把 2 × 3 算出来再平方，会得到 36。
4. 漏掉本来想写的那个括号。 分数线会把上下两部分整体括起来，一行里的除号不会。你想表达的分母是 3 + 1，却写成 12 ÷ 3 + 1，结果得 5 而不是 3。要写 12 ÷ (3 + 1)。

怎么把这条规则练成本能？

这条规则要变成本能，靠的是反复做短的混合式子，并且把四步摆在眼前。读懂规则只要两分钟；在压力下用它，是另一项本事。

有四个习惯能加快这个过程：

1. 练三个运算符的式子。20 − 12 ÷ 4 × 2 教给你的东西比半页长的式子多，因为它只考一件事：次序。
2. 把刚做完的那一步写下来，一步一行，就像前面那五道例题。
3. 先把底层口算做快。如果 12 ÷ 4 要花三秒，就没有注意力留给规则了，而管用的心算技巧补的正是这一层。
4. 一次练习里把运算混着来。一整页纯乘法永远考不到次序，混合的一页才考，可打印的五年级综合练习页后面附有答案。

免费可打印练习页混合运算 — 五年级学生练习卷 · PDF

课程把整数的四则混合运算放在三、四年级，把小数和分数的混合运算放在五、六年级，正好在代数让它变得无可回避之前：字母一来，3(x + 4) − 2 这样的式子就只有一种读法，而解方程求 x默认你能读懂它。五年级数学游戏这个页面收集了这一层的浏览器游戏。

MathIt 的大约 90 种游戏里有 22 种可以在浏览器里免费玩、不用注册；iOS 和 Android 上的免费应用还会自动调难度，所以只有短式子做对了，式子才会变长。