最大公因数和最小公倍数讲解：三种求法和一个捷径

分数作业的第一行要求 6 和 8 的最小公倍数，下一行要求 12 和 18 的最大公因数。两个词听起来很像，孩子常常弄混。它们都建立在每个数的质因数上，三种简短的办法就能求出来。

最大公因数和最小公倍数是什么？

两个数的最大公因数，是能同时整除这两个数的最大的数；最小公倍数，是这两个数都能整除的最小的数。12 和 18 的最大公因数是 6，最小公倍数是 36。

12 的因数有 1、2、3、4、6、12，18 的因数有 1、2、3、6、9、18。公因数是 1、2、3、6，所以最大的是 6。

12 的倍数有 12、24、36、48，18 的倍数有 18、36、54。两列里第一个共同出现的数是 36，所以最小公倍数是 36。

因数和倍数：先把两个词分清

一个数的因数能把它整除、没有余数，所以一个数的因数不会比它本身大。倍数是这个数乘 1、2、3……得到的数，所以倍数不会比它本身小，而且列也列不完。

国内五年级下学期学“因数与倍数”，同一学期接着学最大公因数和最小公倍数，并马上用在约分和通分上；教育部《义务教育数学课程标准（2022年版）》把因数和倍数放在第三学段，也就是五、六年级。美国的共同核心州立数学标准 4.OA.B.4 在四年级就打下这套词汇的基础，要求学生找出 1–100 之间一个整数的全部因数对，并认识到一个整数是它每个因数的倍数。18 的因数对是 1 × 18、2 × 9 和 3 × 6，这几对里的每个数都是 18 的因数。

能把“因数”和“倍数”分开的孩子，最大公因数和最小公倍数的问题已经解决了一大半。因数对练习练第一个词，倍数练习练第二个词。

为什么四到六年级要学最大公因数和最小公倍数

在美国，最大公因数和最小公倍数在六年级成为一项单独的技能。共同核心州立数学标准 6.NS.B.4 要求学生求两个不超过 100 的整数的最大公因数，以及两个不超过 12 的整数的最小公倍数。国内则早一年，五年级下学期就要会，因为约分和通分紧跟在后面。

这条标准还把最大公因数和乘法分配律联系起来，例子是把 36 + 8 写成 4 × (9 + 2)。36 和 8 的最大公因数是 4，所以 36 + 8 = 4 × 9 + 4 × 2 = 4 × (9 + 2) = 44。

英格兰把这项技能分散在好几年里。英格兰数学国家课程要求六年级学生找出公因数、公倍数和质数，到第三关键阶段才正式提出最大公因数和最小公倍数这两个名称。

什么时候用最大公因数，什么时候用最小公倍数

最大公因数回答“最多能分成几份相同的”，最小公倍数回答“两个数什么时候对上”。孩子拿不准一道应用题该用哪一个时，可以拿这两个问题去对一对。

• 平均分组（最大公因数）： 18 个苹果和 24 个橙子装进完全一样的袋子，正好分完。18 和 24 的最大公因数是 6，所以最多装 6 袋，每袋 3 个苹果、4 个橙子。
• 约分（最大公因数）： 把 18/24 的分子分母同时除以最大公因数 6，一步就得到 3/4。分数讲解更详细地讲了分数的基本性质。
• 再次相遇（最小公倍数）： 一路公交车每 6 分钟发一班，另一路每 8 分钟发一班，9:00 同时发车。6 和 8 的最小公倍数是 24，所以下一次同时发车是 9:24。
• 通分（最小公倍数）： 算 5/6 + 3/8 时，用 6 和 8 的最小公倍数作公分母：5/6 = 20/24，3/8 = 9/24，所以和是 29/24。

在浏览器里免费玩倍数大冲刺三至五年级

一步步求最小公倍数和最大公因数

分解质因数一次就能求出最小公倍数和最大公因数，任何两个数都适用。下面用 24 和 36 做例子。

1. 把每个数分解质因数。 画因数树，或者每次除以能整除的最小质数：24 = 2 × 2 × 2 × 3，36 = 2 × 2 × 3 × 3。质数讲解一步步演示了因数树。
2. 把相同的质因数归在一起。 24 里有三个 2、一个 3，36 里有两个 2、两个 3；初中会写成 24 = 2³ × 3、36 = 2² × 3²。这样一来，后两步只是比较几个小数字。
3. 用公有的质因数求最大公因数。 只取两个数都有的质因数，每个取较少的那几个：2 × 2 × 3 = 12。
4. 用全部质因数求最小公倍数。 取在任何一个数里出现过的每个质因数，每个取较多的那几个：2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 8 × 9 = 72。
5. 两个答案都验算。 最大公因数必须能整除两个数（24 ÷ 12 = 2，36 ÷ 12 = 3），两个数都必须能整除最小公倍数（72 ÷ 24 = 3，72 ÷ 36 = 2）。

OpenStax《预备代数》里讲分解质因数和最小公倍数的一章用的是同一个办法，公有的质因数只算一次。

在浏览器里免费玩因数对三至五年级

最容易错的地方：取少的还是取多的

孩子最常弄反的，是每个质因数取几个。最大公因数取每个公有质因数里较少的那几个，因为公因数用的 2，不可能比 2 较少的那个数还多。

最小公倍数取每个质因数里较多的那几个，因为公倍数必须装得下 2 最多的那个数的所有 2。24 和 36 里，24 有三个 2，所以 24 的任何倍数都要有 2 × 2 × 2；36 有两个 3，所以 36 的任何倍数都要有 3 × 3。

列举法、分解质因数、短除法，三种办法对比

列举法、分解质因数和短除法求出的最大公因数和最小公倍数都一样，区别在于快慢。

短除法，做一遍

短除法用两个数公有的一个质数同时去除，把商写在下面，重复下去，直到最下面一行的两个数除了 1 没有别的公因数。24 和 36 先除以 2 得 12 和 18，再除以 2 得 6 和 9，再除以 3 得 2 和 3。

左边的除数相乘就是最大公因数：2 × 2 × 3 = 12。最大公因数再乘最下面一行剩下的数，就是最小公倍数：12 × 2 × 3 = 72。

两数之积的捷径

两个数的最大公因数和最小公倍数相乘，总是等于这两个数相乘。12 和 18 的最大公因数是 6，最小公倍数是 36，而 6 × 36 = 216 = 12 × 18。

这个捷径能由一个答案得出另一个。知道了最大公因数，最小公倍数就是 a × b ÷ 最大公因数：6 和 8 的最大公因数是 2，所以最小公倍数是 48 ÷ 2 = 24。

数比较小时，把较大数的倍数一个个往上数，直到较小的数能整除它：8、16、24，而 6 能整除 24。快速背熟乘法口诀练的正是这一步要用到的快速提取。

捷径为什么成立

这个捷径成立，是因为最大公因数和最小公倍数把两个数的质因数分了个干净。12 = 2 × 2 × 3，18 = 2 × 3 × 3，最大公因数拿走公有的 2 和 3，最小公倍数再拿一次公有的 2 和 3，外加多出来的 2 和 3。

6 × 36 的质因数是 2、3 和 2、2、3、3，和 12 × 18 的六个质因数一模一样。

这条规则只对两个数成立。三个数比如 4、6、8，最大公因数是 2，最小公倍数是 24，2 × 24 = 48，和 4 × 6 × 8 = 192 差得很远。

最大公因数和最小公倍数的常见错误

最大公因数和最小公倍数练习里的错答，大多出自四种错误，每一种都有一句话的纠正。

• 把两个弄混： 最大公因数不会比较小的数大，最小公倍数不会比较大的数小。把 36 当成 12 和 18 的最大公因数，一对就知道错了。
• 以为最小公倍数总是 a × b： 两数相乘得到的是一个公倍数，只有最大公因数是 1 时才是最小的，比如 4 和 9（最小公倍数 36）。6 和 8 相乘是 48，而最小公倍数是 24。
• 列得太短就停： 列出 9、18、27 和 12、24，没有相同的，孩子就想答 9 × 12 = 108。每列再多写一个，就到了 36，这才是最小公倍数。
• 把 1 当成质数： 1 不是质数，所以它从不出现在因数树里。写 12 = 1 × 12，树一步也长不出来；写 12 = 2 × 6，树就开始长了。

五、六年级会碰到两种特殊情况。一个数是另一个数的倍数时，比如 4 和 12，最大公因数是较小的数（4），最小公倍数是较大的数（12）。两个数是互质数、没有公有的质因数时，比如 8 和 15，最大公因数是 1，最小公倍数是 8 × 15 = 120。

怎么确认孩子真的会了

五个小问题能看出最大公因数和最小公倍数有没有学进去，每个都不超过一分钟。

• 说出定义： 问两个数的最大公因数和最小公倍数分别是什么，不许举例。两个回答里都要有“同时”或“都”。
• 那对出名的数： 问 6 和 8 的最小公倍数。答案是 24；答 48 说明他习惯直接相乘。
• 分清应用题： 问“18 个苹果和 24 个橙子装进一样的袋子”要用最大公因数还是最小公倍数。答案是最大公因数，6 袋。
• 分解质因数： 让他用因数树或短除法求 24 和 36 的最大公因数和最小公倍数。答案是 12 和 72。
• 验算： 让孩子用除法证明答案：12 能整除 24 和 36，24 和 36 都能整除 72。

求未知因数练习练的是每一次验算背后的除法提取能力。

最大公因数和最小公倍数检查清单

• 说出定义： 最大公因数能整除两个数，两个数都能整除最小公倍数。
• 掂一掂大小： 最大公因数不超过较小的数，最小公倍数不小于较大的数。
• 按大小挑办法： 20 以内用列举法，再大就用分解质因数或短除法。
• 用捷径： 两个数时，最小公倍数 = a × b ÷ 最大公因数。
• 对上应用题： 平均分组和约分用最大公因数；相遇时间和通分用最小公倍数。

同样的技能分布在四年级数学游戏和六年级数学游戏页面上，那里按年级列出了因数和倍数的练习。

MathIt 的 iOS 和 Android 应用免费，有大约 90 种游戏，难度会自动调整，只有简单的数对做对了，因数和倍数的练习才会变难；其中 22 种游戏可以直接在浏览器里免费玩，不用注册。