Çemberin uzunluğu ve dairenin alanı: formüller, örnekler ve pi sayısı

1. sınıftaki çocuğunuzun önünde çemberlerle dolu bir çalışma kâğıdı, bir hesap makinesi ve birbirine çok benzeyen iki formül var. Çemberin çevresi, yani çemberin uzunluğu, onun etrafındaki mesafedir; dairenin alanı ise içindeki yüzeydir ve ikisi de pi adlı tek bir sayıdan gelir. Problemin size hangi ölçüyü verdiğini (yarıçap mı, çap mı) bildiğinizde çemberin çevresini ve dairenin alanını bulmak iki üç adım sürer.

Pi sayısı nedir ve her çemberin neden ona ihtiyacı var?

Pi sayısı (π), bir çemberin çapının kenarına kaç kez sığdığını gösterir ve dünyadaki her çember için aynıdır. Wikipedia'nın pi maddesi değeri yaklaşık 3,14159 olarak verir ve ondalık yazılışının "hiç bitmediğini, kalıcı olarak tekrar eden bir düzene de girmediğini" belirtir.

Pi irrasyonel bir sayıdır; hiçbir kesir ya da ondalık sayı ona tam olarak eşit değildir. OpenStax Prealgebra 2e öğrencilere, yarıçap ondalık sayı olarak verildiyse π için 3,14, kesir olarak verildiyse 22/7 kullanmalarını söyler. Türkiye'de MEB'in 2018 Matematik Dersi Öğretim Programı bu sabiti 6. sınıfta, ölçme yaparak buldurur (M.6.3.3.2) ve her problemde kullanılacak değerin "π'yi 3 alınız; 22/7 alınız; 3,14 alınız" gibi ifadelerle belirtilmesini ister.

Çizimde C çemberin çevresini, d çapı, r yarıçapı gösterir.

Yarıçap ve çap

Yarıçap ve çap, her çember formülünün başladığı iki uzunluktur. Yarıçap (r) merkezden çembere, çap (d) ise merkezden geçerek çemberin bir ucundan öbür ucuna uzanır; bu yüzden çap her zaman yarıçapın iki katıdır: d = 2 × r.

Çapı 30 cm olan bir pizzanın yarıçapı 15 cm'dir. Bir formüle dokunmadan önce iki sayıyı da yazın. Çember ödevlerindeki yanlış cevapların çoğu bu ikisinden yanlış olanı seçmekle başlar.

Çemberin çevresi adım adım nasıl bulunur?

Çemberin çevresi π × çap, yani C = π × d, ya da 2 × π × yarıçap, yani C = 2 × π × r'dir. İki formül de aynı sonucu verir, çünkü 2 × r çaptır. OpenStax çemberin çevresini "bir çemberin çevre uzunluğu" diye tanımlar; bu da onu kare ve dikdörtgenlerin alanı ve çevresi ile bağlar. MEB ders kitapları aynı uzunluğa "çemberin uzunluğu" der.

1. Çapı bulun. Merkezden geçerek çemberin bir ucundan öbürüne ölçün ya da yarıçapı ikiyle çarpın. Bir yemek tabağının çapı 26 cm'dir, yani d = 26 cm.
2. Pi için bir değer seçin. Problem ne istiyorsa onu kullanın: çoğu zaman 3,14, yarıçap 7'nin katı olduğunda 22/7, en kesin cevap için hesap makinesindeki π tuşu.
3. Pi'yi çapla çarpın. 3,14 × 26 = 81,64. Bu adımı elle yapmak için ondalık sayılarla çarpma ve bölme rehberine bakın.
4. Birimi yazın. Çemberin çevresi yaklaşık 81,64 cm'dir. Çevre bir uzunluktur; cm ya da m ile yazılır, küçük 2 almaz.
5. Büyüklüğü kontrol edin. Cevap 3 çaptan biraz fazla olmalıdır: 3 × 26 = 78, 81,64 de biraz daha fazladır. 3 çaptan küçük ya da 4 çaptan büyük bir cevap yanlıştır.

Yarıçapı 30 cm olan bir tekerlek öbür formülü kullanır: C = 2 × 3,14 × 30 = 188,4 cm.

Ücretsiz çalışma kâğıdıÇarpma — 6. Sınıf ÖğrencileriÇalışma Kağıdı · PDF

En çok karıştırılan nokta: yarıçap mı, çap mı?

Çemberin çevresinde en sık yapılan hata, yarıçapı C = π × d formülüne koymaktır. Yarıçapı 5 cm olan bir çember bu durumda 3,14 × 5 = 15,7 cm bulunur; bu, doğru cevap olan 31,4 cm'nin yarısıdır. Çarpmadan önce "Bu sayı çemberin baştan başa genişliği mi, yoksa yarısı mı?" diye sorun.

Ters hata, C = 2 × π × r formülünde çapı ikiyle çarpmaktır. Çapı 26 cm olan bir tabak 2 × 3,14 × 26 = 163,28 cm bulunur; bu, gerçek çevrenin iki katıdır. 5. adımdaki büyüklük kontrolü iki hatayı da birkaç saniyede yakalar.

Dairenin alanı nasıl bulunur?

Dairenin alanı π × yarıçap × yarıçaptır, yani A = π × r². Alan dairenin içindeki birim kareleri sayar; bu yüzden her zaman cm² ya da m² gibi kare birimlerle yazılır.

Yarıçapı 5 cm olan bir dairenin alanı 3,14 × 5 × 5 = 3,14 × 25 = 78,5 cm²'dir. Adımlardaki yemek tabağının yarıçapı 13 cm'dir, dolayısıyla alanı 3,14 × 13 × 13 = 3,14 × 169 = 530,66 cm²'dir. Çapı 30 cm olan bir pizzanın yarıçapı 15 cm, alanı 3,14 × 225 = 706,5 cm²'dir.

Sıra önemlidir: önce yarıçapın karesini alın, sonra π ile çarpın. r²'deki küçük 2 bir üstür; bunu üslü sayılar rehberi anlatır. Kare sayıları ezbere bilen çocuklar (25, 36, 49, 64) her alanı tek adımda bitirir.

Tarayıcıda ücretsiz oynayınKare Sayılar4–6. sınıf

Alan formülü neden işe yarar?

Alan formülü, daireyi pizza gibi ince dilimlere kesip dilimleri yan yana dizmekten gelir. Dilimleri bir yukarı bir aşağı bakacak şekilde dizdiğinizde paralelkenara yakın bir şekil oluşur. Ne kadar çok dilim keserseniz şekil dikdörtgene o kadar yaklaşır.

Bu şeklin uzun kenarı çemberin çevresinin yarısıdır, yani 2 × π × r'nin yarısı olan π × r. Yüksekliği bir yarıçaptır, r. Uzunluğu π × r, yüksekliği r olan bir dikdörtgenin alanı π × r × r'dir ve bu da formülün kendisidir.

Common Core 7.G.B.4 standardı ABD'de 7. sınıf öğrencilerinden çemberin alan ve çevre formüllerini bilip problem çözmelerini ve çevre ile alan arasındaki ilişkiyi sezgisel olarak türetmelerini ister; bu dilim resmi tam da o sezgisel türetmedir. MEB programı da dairenin alanını 7. sınıfa koyar (M.7.3.3.3) ve aynı yıl daire diliminin alanını merkez açıyla, orandan yararlanarak ilişkilendirir.

Çevre, alan, çap ve yarıçap karşılaştırması

Çevre, alan, çap ve yarıçap aynı çemberin dört farklı özelliğini anlatır.

Çevre yarıçapla aynı oranda büyür, alan ise yarıçapın karesiyle büyür. Çapı 40 cm olan bir pizzanın yarıçapı 20 cm, alanı 3,14 × 400 = 1.256 cm²'dir; bu, 30 cm'lik pizzanın 706,5 cm²'sinin yaklaşık 1,8 katıdır, oysa çap yalnızca üçte bir büyümüştür.

Problem hangisini soruyor?

Bir problemdeki sözcükler hangi formülün gerektiğini söyler. "Etrafı", "kenarı", "şerit", "çit" ve "tekerlek ne kadar yol alır" çevreyi gösterir. "Kaplamak", "içi", "boyamak", "halı" ve "ne kadar pizza" alanı gösterir.

Hacim nasıl bulunur rehberi dairenin alanını bir silindirin tabanı olarak kullanır: bir konserve kutusunun hacmi π × r² × h'dir.

Mutfak masasında çember etkinlikleri

Mutfak masasındaki çember etkinlikleri, çocuğun pi sayısını formülde kullanmadan önce kendi elleriyle bulmasını sağlar. Her biri bir cetvel, ip ve birkaç yuvarlak eşyayla yaklaşık on dakika sürer.

• Tabağın etrafına ip: Bir yemek tabağının etrafına ip sarın, işaretleyin ve cetvelin yanına yatırın. 26 cm'lik bir tabak yaklaşık 81 ya da 82 cm verir; 82 ÷ 26 yaklaşık 3,15'tir, pi'ye yakındır.
• Kavanoz kapaklarını ölçün: Farklı büyüklükte üç kapağın çapını ve çevresini ölçün. Her çevreyi kendi çapına bölün; her cevap 3,1 civarına düşer.
• Kutuyu yuvarlayın: Bir teneke kutunun kenarına bir nokta koyun, kutuyu bir kâğıdın üzerinde tam bir tur yuvarlayın ve izi ölçün. İz, çemberin çevresidir.
• Çiz ve say: Bir kavanoz kapağını santimetre kareli kâğıda çizin ve içindeki tam ve yarım kareleri sayın. Yarıçapı 4 cm olan bir kapak yaklaşık 50 kare kaplar; 3,14 × 16 = 50,24.

İlerleme nasıl kontrol edilir?

Beş kısa soru, çocuğun çemberi anlayıp anlamadığını ya da formülü kopyalayıp kopyalamadığını gösterir.

• Kavram kontrolü: Bir çemberi gösterin ve yarıçapı, çapı ve çevresini sorun. Üçünü de parmağıyla gösterebilen çocuk her sözcüğün ne anlama geldiğini bilir.
• Temel ikili: Yarıçap 10 cm olsun. Çemberin çevresi 62,8 cm, dairenin alanı 314 cm²'dir; her birinin birimi doğru yazılmalıdır.
• Çap tuzağı: Çapı 8 cm verin ve alanı sorun. Yarıçap 4'tür, dolayısıyla alan 3,14 × 16 = 50,24 cm²'dir.
• Büyüklük kontrolü: Çapı 4 cm olan bir çemberin çevresi 9 cm olabilir mi diye sorun. Olamaz, çünkü 3 × 4 zaten 12'dir.
• Ters soru: Çevresi 31,4 cm olan çemberin çapını sorun: 31,4 ÷ 3,14 = 10 cm.

Yöntemi bilen ama 3,14 × 16'da takılan bir çocuğun geometriden çok çarpma alıştırmasına ihtiyacı vardır. 6. sınıflar için matematik oyunu bu sayı işlerini çalıştırır; konuyu yeniden öğrenen yetişkinler aynı bilgiler için yetişkinler için matematik oyununu kullanabilir.

Çemberde sık yapılan hatalar ve sınır durumlar

Yanlış çember cevaplarının çoğunu dört hata doğurur ve her birinin kısa bir çözümü vardır.

• π × r² yerine (π × r)² yazmak: r = 5 iken (3,14 × 5)² = 15,7 × 15,7 = 246,49 bulunur; bu, gerçek alan olan 78,5'in 3 katından fazladır. Yalnızca yarıçapın karesini alın, sonra π ile çarpın.
• Çapın karesini almak: Çapı 10 cm olan bir daire için 3,14 × 10 × 10 = 314 bulunur; bu, gerçek alan olan 78,5 cm²'nin 4 katıdır. Önce çapı ikiye bölün.
• Birimleri karıştırmak: cm² ile yazılmış bir çevre ya da cm ile yazılmış bir alan yanlış türde bir ölçüyü anlatır. Çevre cm cinsinden bir uzunluktur; alan cm² ile yazılır.
• Yarıçapı erken yuvarlamak: 2,45 m'lik bir yarıçapı 2 m'ye yuvarlamak alanın yaklaşık üçte birini kaybettirir. Yalnızca son cevabı yuvarlayın.

Sınır durum: 22/7 mi, 3,14 mü?

22/7 kesri ile 3,14 ondalık sayısı pi'nin iki yaklaşık değeridir ve biraz farklı cevaplar verir. 22/7 yaklaşık 3,1429'dur, 3,14 ise pi'den biraz küçüktür; yaklaşık 3,1416 olan gerçek değer ikisinin arasında kalır.

Yarıçap ya da çap 7'nin katı olduğunda 22/7 kullanın, çünkü 7'ler sadeleşir. Yarıçapı 7 cm olan bir çemberin uzunluğu 2 × 22/7 × 7 = 44 cm, dairenin alanı 22/7 × 7 × 7 = 154 cm²'dir; 3,14 ise 43,96 cm ve 153,86 cm² verir. Hesap makinesindeki π tuşu 153,94 cm² verir. Türk sınavlarında soru hangi değeri istiyorsa o kullanılır; π = 3 alındığında aynı daire 147 cm² çıkar.

Alandan geriye yarıçapa gitmek için π'ye bölün ve karekök alın; bunu karekök rehberi anlatır.

Çember kontrol listeniz ve sonraki adımlar

• Yarıçap mı, çap mı: herhangi bir formülü kullanmadan önce ikisini de yazın, d = 2 × r.
• Çemberin çevresi: π × d ya da 2 × π × r ile çarpın ve cevabı cm ya da m ile yazın.
• Dairenin alanı: önce yarıçapın karesini alın, sonra π ile çarpın ve cevabı cm² ya da m² ile yazın.
• Pi'nin değeri: sorunun istediği değeri kullanın; çoğu ödevde 3,14, 7'nin katlarında 22/7, istendiğinde 3 ya da π tuşu.
• Büyüklük kontrolü: çevre 3 çaptan biraz fazladır, alan da yarıçapın karesinin 3 katından biraz fazladır.

MathIt, yaklaşık 90 oyun türü, uyarlanabilir zorluk ve her çember probleminin arkasındaki kare sayıları ve çarpım bilgilerini hızlı tutan kısa bir günlük alıştırma sunan ücretsiz bir iOS ve Android uygulamasıdır. Çocuklar 33 dilin herhangi birinde, 1 ila 4 arkadaşı ya da aile üyesiyle gerçek zamanlı matematik düellolarına da girebilir.